汽车动力总成非线性能量阱参数设计方法

李堃, 由玥, 刘晓昂, 李欣业， 陈勇,3， 甄冬,3

(1.河北工业大学机械工程学院， 天津 300130； 2.潍柴动力股份有限公司， 潍坊 261069； 3.天津市新能源汽车动力传动及安全技术重点实验室， 天津 300130； 4.中国机械设备工程股份有限公司， 北京 100073)

动力总成激励是引起整车振动的主要激励源，动力总成的振动主要表现为垂向振动和绕曲轴方向的振动。其中，绕曲轴方向为动力的输出方向，该方向的振动不可避免。为实现较好的减振效果，Vakakis[1]提出了非线性能量阱(nonlinear energy sink, NES)的概念，它包含立方刚度元件，利用靶能量传递来实现振动抑制，克服了线性动力吸振器减振频带窄、鲁棒性差等缺点。

非线性能量阱被广泛应用在航空航天和土木工程等领域的减振抑振方面。Georgiades等[2]用NES可以吸收和耗散梁的大部分冲击能量，并对NES在梁上的安装位置进行优化。Nucera等[3]将NES安装在三层框架结构上，试验表明NES能显著减弱地面运动的影响。陈勇等[4]将NES应用在高耸结构上进行了减振分析，将系统简化为悬臂梁模型，得到一个NES参数优化的经验公式，NES能很好地抑制梁的振动。刘海平等[5]研究表明NES可以有效抑制星载飞轮的瞬态和稳态输出扰振。Zhang等[6]在飞机机翼上安装两个NES以控制自由流引起的振动，研究发现升沉模式和俯仰模式的能量可以传递到不同的NES上，大大提高了能量的转移效率。Yang等[7]采用缩放的航天器模型，利用NES使其振动大大降低。孙斌等[8]在民用航空发动机上安装NES，将双转子发动机两激励频率比设为1∶4.75，NES对这种双频带激励取得了明显的振动抑制效果。李爽等[9]研究表明NES能使得受外部冲击激励的船舰快速趋于稳定，但冲击能量需超过临界阈值才能实现靶能量传递。贾富淳等[10]采用二自由度线性动力吸振器控制汽车发动机整机振动以减少其传递到车身的能量。

但当减振结构附加上NES后，系统会表现出复杂的动力学特性，并影响结构的减振性能。Malatkar等[11]在耦合了非线性能量阱的谐波激励下的线性子系统中发现了倍周期分岔、霍普夫分岔、混沌等现象。Starosvetsky等[12]通过改变初始值使得系统在同一激励频率下可同时出现三种响应类型，分别是周期响应、准周期响应和混沌响应。Starosvetsky等[13]进一步研究了在简谐激励和随机激励共同作用下非线性能量阱发生强调制响应的激励幅度阈值。Zang等[14]研究了与非线性能量阱耦合线性结构的复杂非线性行为，分析刚度和阻尼对混沌运动的影响。陈建恩等[15]发现随着激励幅值的增加，高低两个稳定分支的出现与合并。钟锐等[16]使用串联NES消除高分支响应，并对NES参数进行优化。

基于此，现建立四分之一汽车动力总成-NES二自由度系统动力学模型，考虑动力总成激励力为简谐激励和冲击激励两种情况。简谐激励下，运用复变量-平均法得到系统的慢变方程，推导系统稳态响应方程，并判断解的稳定性。通过动力总成垂向振动幅频响应分析NES对动力总成垂向振动的抑制效果；以平均能量耗散率最大为优化目标对NES的刚度进行优化；进一步分析周期解的稳定和不稳定区域，利用时域响应、相轨迹和Poincaré映射分析讨论系统响应机制，总结解的稳定性和NES阻尼对减振效果的影响规律，提出NES阻尼的优化原则。最后，在动力总成冲击激励下，分析系统参数对NES能量耗散率的影响规律。以期为动力总成-NES系统中NES参数的设计提供理论基础。

1 动力总成-NES模型

将非线性能量阱安装在动力总成上，建立动力总成附加NES的系统动力学模型如图1所示。

Mp、Kp和Cp分别为动力总成质量、悬置刚度和悬置阻尼；Mn、Kn和Cn分别为非线性能量阱的质量、刚度和阻尼；Fcosωt为动力总成的简谐激振力；F为简谐激振力的幅值；ω为简谐激振力的频率； t为时间图1 四分之一动力总成-NES振动模型Fig.1 Quarter powertrain-NES vibration model

在动力总成简谐激励下，建立附加NES的系统运动微分方程:

(1)

(2)

(3)

式(3)中：0<ε<<1。

(4)

引入变量代换，令φ1=p1+iq1，φ2=p2+iq2。其中，p1、q1、p2和q2为关于时间t的函数。将式(4)中的实部和虚部分离，可得

(5)

(6)

通过式(6)解得p1、q1，则动力总成振幅为

(7)

为判断系统稳态响应的稳定性，将式(6)在稳态解附近展开，取p1=p10+Δ1，q1=q10+Δ2，p2=p20+Δ3，q2=q20+Δ4。其中，p10、q10、p20、q20为方程的稳态解，Δn(n=1,2,3,4)为对应稳态解附近的微小增量，代入式(5)得到有关增量的方程为

(8)

求系数矩阵的特征值以判断稳态解的稳定性，特征因子为

Λ=max[Re(λ1,λ2,…,λn)]

(9)

式(9)中：λi(i=1,2,…,n)为式(8)右侧的系数矩阵的特征值。若Λ<0，则该稳态解逐渐稳定。若Λ=0，则该稳态解临界稳定。若Λ>0，则该稳态解不稳定。只有当所有特征值的实部均为负数时，该解才是稳定的。

2 简谐激励下的NES参数优化及减振效果分析

2.1 动力总成幅频特性分析

四分之一动力总成悬置系统的模型参数如表1所示。

令系统参数为激励力幅值系数A=5，NES的质量比一般取ε=0.1，刚度系数kn=8×106，阻尼系数λn=5。采用复变量-平均法和龙格库塔法分别计算动力总成垂向振动响应，结果如图2所示。从图2中可以看出，这两种方法求得的数值解基本一致，且附加NES对抑制动力总成垂向振动有明显效果。

表1 系统参数Table 1 System parameters

图3为激励力幅值系数A=20，不同NES刚度和阻尼下的动力总成幅频特性曲线。当激励力幅值系数A=20时，从图3(a)和图3(b)可以看出，动力总成幅频曲线出现两个三解区。对比图3(a)和图3(b)，阻尼不变减小刚度，第一个三解区的高振幅分支逐渐降低；低振幅分支升高；动力总成固有频率处的振幅升高；三解区所在频率范围缩小。对比图3(a)和图3(c)，当阻尼不变，刚度减小到一定值，如图3(c)所示，三解区消失，但固有频率处峰值升高。对比图3(b)和图3(d)，刚度不变增大阻尼时，三解区也会消失。对比图3(d)和图3(e)，阻尼不变增大刚度，能更大的降低峰值。如图3(f)所示，虽然刚度进一步增加使得固有频率处的振幅持续降低，但峰值的出现降低了NES的减振效果，所以刚度不能无限的增大。选择较大阻尼、合适的刚度，才能使NES实现良好的减振效果。若刚度阻尼选择不当，会出现分支或峰值。

图2 A=5时的幅频特性曲线(kn=8×106,λn=5)Fig.2 The amplitude-frequency characteristic curve when A=5 (kn=8×106,λn=5)

图3 A=20时的动力总成幅频特性曲线Fig.3 Powertrain amplitude-frequency characteristic curve when A=20

2.2 NES刚度优化

由2.1节分析可知，NES刚度影响着NES的减振效能，本节对NES的刚度进行优化，系统参数为激励力幅值系数A=20，NES的质量比ε=0.1，阻尼系数λn=5。

动力总成和NES在时间(t0,t)中耗散的能量分别为E1和E2，即

(10)

设某激励力频率下的NES能量耗散率为

(11)

从图3(f)可知，虽然在某些刚度下，固有频率处的峰值会降得很低，但为避免新峰值的影响，所以优化目标不是单个频率下的能量耗散率，而是一段连续频率范围内的平均能量耗散率，选取频率范围为[14，18] Hz，频率间隔为0.1 Hz，总点数为40，则能量耗散率的平均值表示为

(12)

式(12)中：η2j为单个频率点处的NES能量耗散率；j=1，2，…，40；N=40。

表2为不同激励力幅值下最高平均能量耗散率对应的NES最优刚度系数。激励力幅值越大，最优NES刚度越小，平均能量耗散率略有降低。

2.3 系统运动响应对NES减振效果的影响规律

对于图3(a)的幅频响应，动力总成振幅A1在激励力频率f=14.5 Hz存在三解a1、a2和a3，在f=16.6 Hz存在一解b，在f=18.3 Hz存在三解c1、c2和c3。对于图4(b)NES刚度优化后的幅频响应，动力总成振幅A1在f=16.6 Hz存在一解d。对比4点有无NES时的振幅，如图5所示。衰减效果从高到低为d>b>a3，而a1、a2、c1、c2、c3对振动没有抑制效果。为深入分析各点减振机理，下文利用时程曲线、相轨迹和Poincaré映射图研究各点的响应机制，以建立响应机制与振动效果抑制的关系。

表2 不同激励力幅值下最优刚度Table 2 Optimal stiffness under different excitation force amplitudes

图5 选取验证点Fig.5 Select verification point

激励力频率f=14.5 Hz时的系统响应如图6和图7所示。图6(a)为动力总成和NES的时程曲线，图6(b)为动力总成的相轨迹及Poincaré映射。图6中动力总成经短暂的准周期运动后变为稳态周期运动，振幅A1稳定在0.01 m，即a3点的幅值，其中准周期运动受不稳定解a2的影响。图7中给定初始值，动力总成表现为周期运动，振幅A1稳定在0.04 m，即a1点的幅值。所以当初始值较大时，动力总成振幅就会落在高振幅分支上。

激励力频率f=16.6 Hz时，b点系统响应如图8所示。由图8可见单个不稳定解时，动力总成表现为混沌运动。

激励力频率f=18.3 Hz时的系统响应如图9所示。因两不稳定解c1和c2的幅值较小，且距离稳定解c3较近，动力总成响应经一段准周期运动后变为稳态周期运动，动力总成振幅A1稳定在0.007 m，即c3点。

激励力频率f=16.6 Hz时，d点系统响应如图10所示，动力总成表现为准周期运动。

图6 对应于a3点的动力总成的周期运动Fig.6 The periodic motion of the powertrain corresponding to point a3

图7 对应于a1点的动力总成的周期运动Fig.7 The periodic motion of the powertrain corresponding to point a1

图8 对应于b点的动力总成的混沌运动Fig.8 The chaotic motion of the powertrain corresponding to point b

图9 对应于c3点的动力总成的周期运动Fig.9 The periodic motion of the powertrain corresponding to point c3

图10 对应于d点的动力总成的准周期运动Fig.10 The quasi-periodic motion of the powertrain corresponding to point d

从图6～图10可以看出，图5(a)的单不稳定解区域的系统响应为混沌运动，三解区的高稳定分支在较大初始条件下可能出现，应注意避免；三解区的不稳定解会使得动力总成产生短暂的准周期运动，但很快变成稳态周期运动，不稳定解影响不大。图5(b)的不稳定解区域的系统响应为准周期运动。

结合图5(a)和图5(b)中各点的衰减效果，可见减振效果从高到低依次为准周期运动、混沌运动和稳态周期运动。

2.4 NES阻尼优化

选取系统参数为激励力频率f=16.6 Hz，NES质量比ε=0.1，刚度系数kn=3.73×106。以NES的阻尼为分岔参数，分析其对系统动力学特性的影响。动力总成和NES位移随NES阻尼系数λn变化的分岔情况如图11所示。

从图11可以看出，随着阻尼的增加，系统存在十分复杂的响应，如混沌运动、倍周期运动、准周期运动和单周期运动。根据2.2节的结论，在准周期运动的范围内动力总成振动衰减效果明显，因此，NES阻尼取值的最优范围应为[2.7，5.6]。

图11 位移随NES阻尼变化的分岔图Fig.11 Bifurcation diagram of displacement with NES damping

3 冲击激励下的NES参数优化和减振效果分析

系统初始能量和NES在时间(t0,t)中的耗散能量可以表示为

(13)

设NES的能量耗散率为

(14)

图12为NES刚度和阻尼对能量耗散率的影响。由图12可知，刚度系数kn=[5 500,0.51×106]，阻尼系数λn=[0.9,9.6]范围内的红色区域均能取得65.85%以上的能量耗散率，其中最高能量耗散率为74.71%，此时刚度和阻尼为kn=1×105，λn=3.3。

图15为有无NES时的动力总成时程曲线对比。由图15(a)可见无NES时的动力总成振幅经过2 s减到0，NES采用图13中最优刚度和阻尼时的动力总成振幅经过0.5 s减到0，大大缩短了冲击激励的振动衰减时间。图15(b)有NES时的振动衰减速度和图15(a)相比变慢。

图12 NES刚度和阻尼对能量耗散率的影响 Fig.12 Influence of NES stiffness and damping on energy

图13 初始速度和NES刚度对能量耗散率的影响 (ε=0.1,λn=3.3)Fig.13 The influence of initial velocity and NES stiffness on energy dissipation rate (ε=0.1,λn=3.3)

图14 初始速度和NES质量对能量耗散率的影响 (kn=1×105,λn=3.3)Fig.14 The influence of initial speed and NES quality on energy dissipation rate (kn=1×105,λn=3.3)

图15 有无NES时的时程曲线对比 (ε=0.1,λn=3.3)Fig.15 Comparison of time history curves with and without NES(ε=0.1,λn=3.3)

4 结论

以四分之一动力总成垂向振动模型为研究对象，研究了非线性能量阱耦合对动力总成模型垂向振动的抑制性能和NES参数优化方法。通过理论与仿真分析得到以下结论。

(1)NES选取合适的刚度和阻尼时，可消除动力总成垂向振动幅频响应的高振幅分支和新共振峰。

(2)以NES平均能量耗散率最大为目标得到的最优NES刚度，在动力总成固有频率附近取得了更为明显的减振效果。简谐激励幅值越大，最优NES刚度越小，平均能量耗散率略有降低。

(3)结合动力总成垂向振动幅频响应进行系统响应机制分析得到减振效果从高到低依次为准周期运动、混沌运动和稳态周期运动。NES阻尼选择位移分岔图中准周期运动产生的区间。

(4)在动力总成冲击激励下，为取得较高的能量耗散率，NES阻尼可选范围较大，NES刚度应小一些；初始速度越大，NES刚度应越小；NES质量不应过小。以能量耗散率最大为优化目标得到的最优NES刚度和阻尼，能有效地抑制动力总成在冲击激励下的振动。