关于圆形电流内部的磁感应强度和磁通的研究

么强

内蒙古农业大学理学院 内蒙古自治区 呼和浩特 010018

引言

圆形电流内部的磁感应强度B和磁通Φ是电磁学中一个较重要的问题，在一般普通物理书中，作为比奥－沙戈尔－拉普斯基定律应用的典型例子，只计算其中心点的B[1]。个别电磁学书中，随给出了B的表达式，但具体计算在仍一点B的数值时仍很困难；而且推导中使用了普通物理未涉及的矢量势概念，最后结果也看不出B随位置的变化情形。至于圆形电流内部不同圆面积上的磁通Φ，更未见有书刊讨论过，而它是研究与圆形线圈有关的电感、感应电动势等问题不可缺少的[2]。此外，圆形电流内部的B和Φ也是普通物理学人们常常提出疑问的问题，对于一些书上有关系已的解答往往发生困难。

本文将从毕－沙－拉定律出发给出圆形电流内部B和Φ的计算公式，并按照对半径的均匀等分点给出B和Φ逐渐变化的精确结果（一般精确到5位有效数字）。并对结果进行了讨论验证。

1 圆形电流内部任一点的磁感应强度[3-5]

设圆形电流的半径为a，电流强度为I（图1）。P为圆内任意一点，从圆心O到P点的距离OP＝λa（显然0≤λ≤1），根据毕－沙－拉定律，电流元IdlIdl在P点产生磁感应强度dB的大小为：

图1 B推导用图

方向垂直于纸面向外，而：

图2随变化图

由此可知，圆形电流内部任意一点的磁感应强度和电流强度成正比，和圆半径成反比，而比例系数是仅与有关的数。

可以证明，磁感应强度也可以写为：

均为椭圆积分；K、E随k的变化。这里：

（2）式经过简单的变换和单位制更动之后（本文所谈及的物理量、公式均采用国际单位制）其结果完全一致。

图3 真实情况的圆导体

2 圆形电流的磁通[6-9]

由于圆形电流内B随而变化。因此通过同一圆心半径为的圆面的磁通（图4）：

图4 求用图

（3）式表明：在圆形电流内部的任一个圆面积（圆心为同一点）上的磁通，均与圆形电流的半径和电流强度成正比，并且比例系数是一个仅与有关的数。

由于B在处为，计算整个电流线内的比发散。由前所述，考虑到真实电流线横截面积有一定大小，B既不可能出现，亦不可能发散。我们也同时计算了不同值下的之值，并绘制了～的图形（图5）。

图5随变化图