Matlab软件在时滞混沌系统仿真实验中的应用

赵海滨，颜世玉

摘要：时滞混沌系统具有非常复杂的动力学行为，在保密通信和图像加密等领域具有广泛的应用前景。对于三种常见的时滞混沌系统：时滞Liu混沌系统、时滞Chen混沌系统和时滞Rössler混沌系统，采用Matlab软件进行数值仿真，给出了对应的脚本程序，并绘制状态变量的二维相图。通过数值仿真，可以使学生对时滞混沌系统有更加直观的认识，加深对时滞混沌系统的理论理解。

关键词：时滞混沌；数值仿真；Matlab；仿真实验

中图分类号：TP273        文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）35-0096-03

1 概述

混沌是一种复杂的自然现象，对初始值非常敏感，并具有长期不可预测性和伪随机性等特点，可以用于保密通信和数据加密[1-2]。在实际的工程系统中，时滞现象是广泛存在的。在混沌系统的微分方程中，添加时滞项后得到的时滞混沌系统具有非常复杂的动力学行为。时滞混沌系统的维数是无穷维的，即具有无穷多个自由度，动力学行为比非时滞混沌系统更加复杂。时滞混沌系统的同步控制是非线性领域研究的热门课题之一[3-4]。时滞混沌系统提高了混沌系统的复杂度，在保密通信和图像加密等领域都具有广泛的应用前景[5]。

本文对三种常见的时滞混沌系统采用Matlab语言进行数值仿真。三种时滞混沌系统分别是时滞Liu混沌系统、时滞Chen混沌系统和时滞Rössler混沌系统。Matlab软件功能强大，应用广泛，非常适合进行混沌系统的数值仿真[6-7]。在Matlab软件中采用函数dde23进行时滞混沌的数值仿真[8]，给出了对应的脚本程序，采用函数plot绘制状态变量的二维相图。本文将Matlab软件用于时滞混沌系统的实验教学，通过数值仿真，使学生对时滞混沌系统有更加直观的认识，加深对时滞混沌系统的理论理解。

2 时滞Liu混沌

时滞Liu混沌系统，可以表示为：

[x1（t）=x3（t）-ax1（t）+x1（t）x2（t-τ2）x2（t）=1-bx2（t）-x21（t-τ1）x3（t）=-x1（t-τ1）-cx3]      （1）

其中，[x1]，[x2]和[x3]为时滞Liu混沌系统的状态变量，[t]为时间，[a]，[b]和[c]为常数，[τ1]和[τ2]为延迟时间常数。

对于时滞Liu混沌系统，当参数设定为[a=0.2]，[b=0.5]，[c=0.1]，[τ1=0.4]和[τ2=0.1]时，该系统处于混沌状态。当[τ1≤t≤0]时，初始值设定为[（x1（t），x2（t），x3（t））=（1.0，1.0，1.0）]，采用函数dde23进行数值仿真。仿真时间设定为300秒，步长为0.001秒。时滞Liu混沌系统进行数值仿真时，Matlab脚本程序如下：

clear; clc; close all;

a=0.2; b=0.5; c=0.1;

tau=[0.4， 0.1]; history=[1; 1; 1]; tf=300;

Liu=@（t，x，Z） [x（3）-a*x（1）+x（1）*Z（2，2）;

1-b*x（2）-Z（1，1）^2; -Z（1，1）-c*x（3）];

sol=dde23（Liu， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（1，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在腳本程序中，建立匿名函数Liu，然后采用函数dde23进行数值仿真，通过函数plot绘制状态变量的二维相图。时滞Liu混沌系统中，状态变量[x1]和[x2]的二维相图，如图1所示，状态变量[x1]和[x3]的二维相图如图2所示。由图1和图2可以看到该系统处于混沌状态。

3 时滞Chen混沌

三维Chen混沌系统，状态方程表示为：

[x1（t）=a（x2（t）-x1（t））x2（t）=（c-a）x1（t）-x1（t）x3（t）+cx2（t）x3（t）=x1（t）x2（t）-bx3（t）]      （2）

其中，[x1]，[x2]和[x3]为Chen混沌系统的状态变量， [a]，[b]和[c]为常数，[t]为时间。

在Chen混沌系统的第三个微分方程中，添加时滞控制项，得到时滞Chen混沌系统，表示为：

[x1（t）=a（x2（t）-x1（t））x2（t）=（c-a）x1（t）-x1（t）x3（t）+cx2（t）x3（t）=x1（t）x2（t）-bx3（t）+k（x3（t）-x3（t-τ））]   （3）

其中，[x1]，[x2]和[x3]为时滞Chen混沌系统的状态变量，[t]为时间，[a]，[b]，[c]和[k]为常数，[τ]为延迟时间常数。

对于时滞Chen混沌系统，当参数设定为[a=35]，[b=3.0]，[c=18.5]，[k=3.8]和[τ=0.3]时，该系统处于混沌状态。对于时滞Chen混沌系统，当[τ≤t≤0]时，系统的初始值设定为[（x1（t），x2（t），x3（t））=（1.5，1.5，2.0）]，采用函数dde23进行数值仿真。仿真时间设定为40秒，步长为0.001秒。时滞Chen混沌系统的MATLAB脚本程序如下：

clear; clc; close all;

a=35; b=3; c=18.5; k=3.8;

tau=0.3; history=[1.5; 1.5; 2]; tf=40;

Chen=@（t，x，Z）[a*（x（2）-x（1））;（c-a）*x（1）-x（1）*x（3）

+c*x（2）; x（1）*x（2）-b*x（3）+k*（x（3）-Z（3，1））];

sol=dde23（Chen， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（1，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在脚本程序中，建立匿名函数Chen，然后采用函数dde23进行数值仿真，通过函数plot绘制状态变量的二维相图。时滞Chen混沌系统中，状态变量[x1]和[x2]的二维相图如图3所示，状态变量[x1]和[x3]的二维相图如图4所示，系统处于混沌状态。

4 时滞Rössler混沌

三维Rössler混沌系统的状态方程为：

[x1（t）=-x2（t）-x3（t）x2（t）=x1（t）+bx2（t）x3（t）=b+x1（t）x3（t）-cx3（t）]            （4）

其中，[x1]，[x2]和[x3]为状态变量，[t]为时间，[b]和[c]为常数。当[b=0.2]，[c=5.7]时，Rössler系统处于混沌状态。

在Rössler混沌的第一个微分方程中添加两个时滞项，可以得到时滞Rössler混沌系统，表示为：

[x1（t）=-x2（t）-x3（t）+a1x1（t-τ1）+a2x1（t-τ2）x2（t）=x1（t）+bx2（t）x3（t）=b+x1（t）x3（t）-cx3（t）]    （5）

其中，[x1]，[x2]和[x3]为时滞Rössler混沌系统的状态变量，[t]为时间，[a1]，[a2]，[b]和[c]为常数，[τ1]和[τ2]为延迟时间常数。

对于时滞Rössler混沌系统，参数设定为[a1=0.2]，[a2=0.5]，[b=0.2]，[c=5.7]，[τ1=1.0]，[τ2=2.0]时，系统处于混沌状态。当[τ2≤t≤0]时，初始值设定为[（x1（t），x2（t），x3（t））=（3.0，0.3，5.0）]时，采用函数dde23进行数值仿真。仿真时间为300秒，步长为0.001秒。时滞Rössler混沌数值仿真的Matlab脚本程序如下：

clear; clc; close all;

a1=0.2; a2=0.5; b=0.2; c=5.7;

tau=[1， 2]; history=[3; 0.3; 5]; tf=300;

Rossler=@（t，x，Z） [-x（2）-x（3）+a1*Z（1，1）+a2*Z（1，2）;

x（1）+b*x（2）; b+x（1）*x（3）-c*x（3）];

sol=dde23（Rossler， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（2，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x2（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在腳本程序中，根据时滞Rössler混沌的状态方程建立匿名函数，然后采用函数dde23进行数值仿真，通过函数plot绘制状态变量的二维相图。时滞Rössler混沌系统中，状态变量[x1]和[x2]的二维相图如图5所示，状态变量[x2]和[x3]的二维相图如图6所示。由图5和图6可以看到时滞Rössler系统处于混沌状态。

5 结论

时滞混沌系统具有复杂的动力学行为，在保密通信和图像加密等领域有广泛的应用前景。本文对三种常见的时滞混沌系统采用Matlab软件进行数值仿真。通过Matlab软件的函数dde23进行时滞微分方程的求解，并采用函数plot绘制状态变量的二维相图，给出了对应的脚本程序。时滞混沌系统比较抽象不容易理解。本文将Matlab软件用于时滞混沌系统的实验教学，通过该仿真实验使学生对时滞混沌系统有更加直观的认识，加深对时滞混沌系统的理论理解。

参考文献：

[1] 杨文涛，叶欢，李子龙，等.基于一类复混沌系统的图像加密研究[J].齐鲁工业大学学报，2021，35（6）：73-80.

[2] 方鹏飞，黄陆光，娄苗苗，等.基于四维超混沌系统的彩色图像加密算法[J].计算机工程与设计，2022，43（2）：361-369.

[3] 陈亚英，姚凤麒.混沌时变时滞系统的有限时间脉冲同步[J].湖北民族大学学报（自然科学版），2020，38（4）：446-452.

[4] 高俊山，张玉双，邓立为.时滞混沌系统的鲁棒自适应容错同步控制[J].计算机仿真，2020，37（6）：247-251，261.

[5] 林周彬，罗松江，高俊杰.一种基于忆阻时滞混沌系统的图像加密方法[J].仲恺农业工程学院学报，2021，34（2）：60-63.

[6] 赵海滨，于清文，刘冲，等.基于Matlab/Simulink的混沌同步控制实验[J].实验室研究与探索，2019，38（1）：16-19.

[7] 赵海滨，于清文，颜世玉.混沌系统的有限时间投影同步控制仿真实验[J].中国现代教育装备，2020（3）：15-17.

[8] 吐克孜·艾肯，阿布都热西提·阿布都外力.一类具有时滞的微分代数系统解的数值算法实现[J].山西师范大学学报（自然科学版），2013，27（3）：11-16.

【通联编辑：王力】