基于矢量控制两相混合式步进电机技术研究

潘进

（通快（中国）有限公司，江苏苏州，215400）

0 引言

由于步进电机的本身控制精度较高，误差不累计、无接触老化、机械坚固性的特点，是自动控制领域比较依赖的电气产品[1]。步进电机被广泛的运用在各种工业控制场合，比如机器人、机床、打印机、扫描仪等。步进电机的典型控制结构是开环控制，一般有开环控制、闭环控制和混合伺服模式控制三种控制方式。开环控制一般是给电机输入一系列电压脉冲，以精确的步距改变静止位置，最后一个位置以脉冲停止后保持。但是在一些比较严格的控制系统中，步进电机的精度和性能还远达不到工程师们的要求，于是开发了步进电机闭环控制方法，即引入编码器等测量器件结合PID算法实现对步进电机转矩、速度、位置的闭环控制，常用的方法大多采用硬件电流环，加上软件控制位置闭环和速度闭环的方式进行电机三环闭环控制。但是近年来人们发现可以将伺服电机矢量控制的思想引入到步进电机控制中来，因此人们又在在闭环控制的基础上又实现了混合伺服控制。混合式步进电机采用永磁转子，定子和转子均采用齿形磁结构，既能产生永磁转矩，又能产生磁阻转矩。该混合步进电机最初设计为用于低速应用的交流两相同步电机。理论上，该电机可以看作是多极同步电机。近年来对低速大扭矩电机的需求使得混合步进电机与传统交流电机相比更具吸引力，由于混合式步进电机在机械原理上类似伺服电机，因此人们很容易的想到将伺服的矢量控制方法引入到步进电机的控制系统中，从而提升步进电机控制系统的性能和控制精度。矢量控制（SVPWM）方式原则上是适用于同步电机的，其目的是产生一个圆形的磁场，为了达到控制电机的目的，我们使用理想磁通圆作为理想基圆，本文提出的矢量控制算法式是基于两相混合式步进电机的，由于传统的伺服电机三相桥结构的控制方式不能直接用在两相混合式步进电机的控制系统中，因此，本文将用双H桥的电气拓扑重新推导一些参数。

基于此，本文主要从混合伺服模式的方向提出了一种基于两相混合式步进电机的矢量控制的方法，将步进电机近似成一个伺服电机，在文中完整的推导出了矢量空间调制的方法，包括坐标变换、扇区判断、矢量合成时长的计算以及使用定时器产生SVPWM波的方法。

1 两相混合式步进电机的数学模型

两相混合式步进电机定子和转子均为凸极。绕组自感和互感的关系如式（1）～式（3）。式中，L0分量为步进电机的平均自感，L1分量为自感的基本分量;LAA分量绕组A自感，LBB分量表示绕组B的自感，MAB分量为绕组A的互感，MBA分量表示绕组B互感; θ分量为转子的机械角度位置，用电气度表示。

定子和转子之间的互感可以表示为下式， 式中Msr分量为定子与转子之间的最大互感。

磁转矩Te矩角特性方程如式（6），式中Nr分量表示转子的机械齿数，L1分量表示定子绕组的自感基波分量，θ分量为转子的角度，Msr分量表示定子与转子的最大互感系数，Im分量表示转子励磁电流。

电压方程如式（7），其中 RA分量表示A相绕组的内阻，RB分量表示B相绕组的内阻，ke分量表示反电动势系数，ωr分量表示转子实际的速度。

图1为电机空间坐标矢量图，定子绕组A相和B相在静止的α和β轴上，α和β轴为正交坐标系，转子的永磁体磁链轴为d轴。使用坐标变换，αβ坐标系中的电流被转换为dq坐标系中的电流。因此电机输出的转矩可以通过坐标变换后控制d轴和q轴来改变电流大小以达到控制转矩的目的[2]。

图1 两相步进电机矢量图

下面是Park变换，我们将定子电流iα和iβ放在d轴和q轴上，id和iq可以表示为：

反Park比变换，从dq坐标系变换到αβ坐标系转换的电流只需反转即可。

我们将式（9）代入式（6），重新排列后即可得到式（10）。

根据公式（1）和（2），转子永磁磁通轴为d轴，Ld和Lq可表示为：

因此，对于两相混合式步进电机，电机的转矩是由d轴分量和q轴分量共同产生的，其电磁转矩表达式形式为式（12）。

2 两相步进电机SVPWM模块

三相伺服电机一般采用SVPWM，即基于一组三相三桥臂逆变器。在本文中，因为两相混合式步进电机只有两相，一因此采用了双H逆变桥结构（见图2）控制思路，参考三相伺服电机的SVPWM的概念推导，对两相SVPWM算法进行了分析。

图2 双H桥电路拓扑图

如果八功率晶体管可以分别控制，可得到16个基本向量见图3(a)，但这需要多个PWM引脚，并要求高性能的控制核心。因此，针对H桥的导通方式，采用了一种上下互补导通和对角同时导通的两相H桥，如图3(b)所示。经过分析，双H桥的拓扑结构可以产生4个非零矢量和2个零矢量。它们各自的的状态表示如表1所示。

图3

表1 基本空间电压矢量

取位于扇区的参考电压矢量,例如在满足约束条件时，即t1+t2+t0=Ts(Ts表示频率载波周期，t0表示零矢量的作用时间，即不起作用的时间，t1和t2是表示扇区内的两个相邻基本矢量作用时间)，当a=b=c=d=0时输出的开关状态为零状态，根据SVPWM的基本原理和原理和伏秒平衡原理，可以得到式(13)。当载波频率高时式(14)可近似表示为(13)。

经计算可得式(15)～ (17)：

当电机突然加速或负载突然变化时，计算出的转矩变化比较大，SVPWM计算出来的矢量幅值可能超过母线电压，如图3(b)所示。因此，必须对计算出来的电压矢量进行限制，以保证给定的电压矢量在矢量图的实心圆内。约束条件如下:

当计算出的电压矢量超出约束条件式（18）时，重新给定电压矢量的公式为式(19)：

若在不满足式（18）约束条件的情况下出现t1+t2>Ts的情况，则t1和t2应表示为：

SVPWM的推导过程分为了四步：第一步进行坐标变换，第二步需要进行扇区判断，第三步进行矢量时长的计算，第四步使用单片机生成CVPWM的波形。经过了坐标变换从Vd、Vq得到了静止坐标系下的Uα分量和Uβ分量，从而得到了合成矢量Uref，然后更具Uα和Uβ值的大小进行扇区判断，如果Uα>0，Uβ>0，则矢量处于第一扇区，如果Uα<0，Uβ>0，则矢量处于第二扇区，如果Uα<0，Uβ>0，则适量处于第三扇区，如果Uα>0，Uβ<0，则矢量处于第四扇区[3]。

为了便于代码的实现，我们需要将扇区的判断比较直观的描述出来，根据三相伺服电机SVPWM的理论我们将N=4C+2B+A的方法引入进来，如下式,我们定义N=1+A+2B,这样我们只需要在程序中判断N的数值即可得到矢量所在的扇区。合成矢量所处的象限与N的关系如表2所示。

表2 扇区与N的关系

当我们扇区判断完成后下一步则开始矢量时长的计算，根据观察以下得出式：

再结合式（15）和式（16），得出第一扇区：

同样，我们求出和合成矢量Uref分布在其他扇区时，其等效于相邻的两个基本非零矢量的作用时间。

当矢量Uref在第二扇区时，Uref相邻的两个非零矢量的作用时间t1，t2分别为：

当矢量Uref在第三扇区时，Uref相邻的两个非零矢量的作用时间t1，t2分别为：

当矢量Uref在第四扇区时，Uref相邻的两个非零矢量的作用时间t1，t2分别为：

我们设Tx=Ts/Td*Uα，Ty=Ts/Td*Uβ则可以得到合成的矢量分布在不同扇区下基本相邻电压矢量的时间t1和t2关系如表3。

表3 矢量时长与扇区编号的关系

计算完矢量时长之后，下一步则需要生成svpwm波形了，svpwm波形很难使用定时器模拟出来，所以推荐带有硬件pwm的MCU，本文推荐使用STM32F303系列，该单片机为M4内核，内部带有FPU硬件除法器，主频72MHz，外设内容丰富，通过高级定时器1生成PWM波来模拟5段式SVPWM。[4]每个扇区对应的SVPWM波形如图4所示，我们需要将比较值实时的输入进定时器，由此就可以动态的生成SVPWM波形，实现矢量控制了，当然想要系统稳定还需要加入PID调节算法，调节我们的电流环、角度环、速度环，然后一个完整的混合式步进控制系统才算完全[5]。

图4 五段式SVPWM

3 总结

在步进电机中，由于缺乏转子绕组，重量和惯性减少，而动态增加。此外，可靠性、无接触老化、机械坚固性和零速度扭矩的可用性是吸引人的特点，使步进电机在上述领域广泛应用步进电机的典型控制结构是开环控制。给电机输入一系列电压脉冲，以精确的步骤改变静止位置。最后一个位置在切断电源后保持[6]。这种方法虽然简单有效，但有一些缺点和局限性，因为步进行为可能产生机械共振、振动、噪声和老化，并且控制的带宽本质上减少了。然而，步进电机在纺织工业中的应用之所以吸引人，主要是因为它是一种低成本的解决方案。随着自动化技术的发展，混合伺服必然会受到更加广泛的关注和使用，本文提出的一种适用于两相混合式步进电机的矢量控制技术，实现了任意细分和恒扭矩的功能，因此可以用于更高要求的场合，提升了步进电机的用途[7]。本文从数学模型开始推导，两相混合式步进电机的SVPWM技术共分为4步，第一步坐标变换、第二步扇区判断、第三步矢量作用时长计算和第四步SVPWM波形产生，我们在文中已经一一推导完成。