巧添垂线 妙解相似

殷娟

在几何证明或计算过程中，我们常常需要利用相似来求解线段长度，研究线段间的比例关系，进行线段或角的转化。但很多时候，相似三角形的存在并不明显。添加“垂线”构造相似是常用的方法，尤其是在“等角”的条件下，“垂线”的添加更能体现出其优势。

一、利用“相等角”作垂线构造相似三角形

如果有“等角”条件，那么构造相似三角形的方向就更明确了。我们可以试图找到等角所在的三角形，利用已知条件作垂线构造直角三角形相似，从而为求解或证明创造有利条件。

例1 如图1，BD是△ABC的高，点E在AB边上，∠BEC=60°，BE=2CD，CE与BD相交于点F，则[BFCF]= 。

【分析】此题想利用相似三角形解决线段比值问题，但相似条件不明显。我们可以从这里的“高”考虑，添加垂线，再结合“对顶角相等”构造Rt△BFH∽Rt△CFD得到结论。

解：如图2，过点B作BH⊥CE于点H。

∵∠BEC=60°，∴在Rt△BEH中，

BH=[32]BE=[3]CD。

∵∠BFH=∠CFD且BD是高，

易得Rt△BFH∽Rt△CFD，

∴[BFCF]=[BHCD]=[3]。

变式 如图3，已知在△ABC中，AB=AC，点D是线段BC上一点，∠BAC=60°，F是AC上一点，AF=2CF，∠FDC=∠ABF，延长DF至点G使得GF=BF。证明：AG∥BC。

【分析】由条件“AF=2CF”和要证明的结论“AG∥BC”，我们应联想到可以利用相似三角形解决问题。在已知的等角条件中（∠FDC=∠ABF），作两条垂线构造相似，由线段成比例找到DF∶FG=CF∶AF=1∶2，从而证明△AFG∽△CFD来得到平行。

证明：如图4，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥CD于点N。

∵AB=AC且∠BAC=60°，

∴∠C=60°，易得Rt△AMF∽Rt△CNF，

∴[MFNF]=[AFCF]=2。

又∵∠FDC=∠ABF，

∴Rt△BMF∽Rt△DNF，

∴[MFNF]=[BFDF]=[GFDF]=2，

∴[GFDF]=[AFCF]，∠AFG=∠CFD，

∴△AFG∽△CFD，从而得到AG∥BC。

二、利用“角平分线”作垂线构造相似三角形

“角平分线”也是提供“等角”常用的条件。在全等问题中，我们经常通过添加垂线来解决问题，在相似图形中也可以这样操作。

例2 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，若BC=4，AC=3，则点B到射线AD的距离是 。

【分析】要求“点B到射线AD的距离”，即为图6中垂线段BM的长。由角平分线AD可以得到△ABM∽△ADC，则问题就转化为求线段CD的长。

解：如图6，过点B、D分别作AD、AB的垂线段，垂足为M、H。

∵AD平分∠BAC，

∴CD=DH且易得AH=AC=3。

∵BC=4，AC=3，

∴AB=5，∴BH=5-3=2。

設CD=DH=x，在Rt△BHD中，

由勾股定理，得x2+22=（4-x）2，

解得x=[32]。

故在Rt△ADC中，可得AD=[352]。

利用△ABM∽△ADC，可得BM=[5]。

变式 如图7，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=6，AC=4，AD平分∠BAC交BC于点D，则BD= 。

【分析】由条件出发感觉无从下手，但是如果利用角平分线作垂线，将线段BD放在相似三角形中，问题解决就有抓手了。本题中平分的又是60°的特殊角，所以作垂线的同时还能得到含30°角的直角三角形，为找线段关系创造了更多条件。

解：如图8，分别过点C、B作AD的垂线段，垂足为F、E。

∵∠BAC=60°且AD是平分线，

∴∠BAD=∠CAF=30°。

分别在Rt△ABE与Rt△ACF中求得BE=3，CF=2，AE=[33]，AF=[23]，∴EF=[3]。

∵BE∥CF，易得△BED∽△CFD，

∴[EDDF]=[BECF]=[32]，∴ED=[353]，

∴在Rt△BED中，得BD=[657]。

三、利用“同角或等角的余角相等”作垂线构造相似三角形

“同角或等角的余角相等”作为条件找相等的角在全等证明中应用十分广泛，同样也是证明三角形相似常用的方法。

例3 如图9，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，点O是AC边中点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E。若AC=2AB，则[OFOE]= 。

【分析】此题构造三角形相似并没有明确的等角，但是利用已知的直角条件以及“等角的余角”，我们可以构造直角三角形相似，再利用比例线段求解。

解：如图10，过点O作OM⊥CD，ON⊥AD，垂足分别为M、N。

∵O是中点，易证得ON∥CD且△AON≌△OCM，∴AN=OM。

又∵AD⊥BC，∴四边形DNOM是矩形，

∴OM=DN=AN且∠MON=90°，

∴∠MOE=∠NOF，

∴Rt△MOE∽Rt△NOF，

∴[OFOE]=[ONOM]=[ONAN]。

由条件易得△AON∽△BCA，

∴[OFOE]=[ONAN]=[CAAB]=2。

变式 如图11，在▱ABCD中，AC⊥AB，∠ABC=60°，点E在边AD上，点F在AB的延长线上，且∠ECF=60°。

（1）证明：CF=2CE;

（2）若tan∠DEC=[32]，AB=2，则BF= 。

【分析】此题虽然没有出现“同角或等角的余角”，但是出现了“∠ABC=∠ECF=60°”的条件，关联“等角的余角相等”，我们可以找到等角∠F=∠BCE=∠CED。

（1）证明：如图12，过点C作CH⊥AD于点H。∵∠ABC=∠ECF=60°且▱ABCD，

∴∠F=∠BCE=∠CED，

易证得Rt△ACF∽Rt△HCE。

∴[CFCE]=[ACCH]=2，即CF=2CE。

（2）解：∵tan∠F=tan∠DEC=[32]，

∴[ACAF]=[32]。

又∵AB=2，∠ABC=60°，

∴AC=[23]，∴AF=4，则BF=2。

（作者单位：江苏省苏州中学园区校）