基于线性代数矩阵理论的“学”与“用”

郑前前，杨文杰，岳晓鹏

(许昌学院，河南 许昌 461000)

线性代数是高校理工科教育中一门重要的数学公共基础课，是后续专业课程学习的基础，能够培养学生分析、解决问题的能力，提高学生的思维能力[1]。但在实际教学工作中，线性代数课程存在概念、理论较多，知识点彼此联系不紧密，不能形成完整的知识结构，内容抽象不易被学生理解等问题[2-3]。以线性代数中线性相关性为例，大部分学生只能从定义上理解向量之间的关系，认为向量组线性相关或者线性无关，不能深层次理解、掌握其与解方程组之间的关系[4]，在矩阵理论的学习中也会遇到同样的问题。线性代数是现代控制理论的基础课程，也是其应用的一个重要方向，如系统最优化、系统可测及可观等[5]。线性代数还是图论及复杂网络研究的重要工具，特别是特征值及特征向量[6]。线性代数与解析几何也存在一定的关系[7]，但是这些联系和承接关系，在线性代数课程学习过程中却很少涉及。

线性代数作为一门基础课程，不仅在学生学习过程中发挥着不可替代的作用，而且也是科研过程中重要的数学工具，如何在教学过程中发挥科研的作用是本文讨论的重点。

1 基于矩阵理论的学与用融合

学与用融合是目前高校教学探索的主要模式，课程学习是学生创新及科研能力培养的前提，科学研究是基础培养的主要目标之一，二者相辅相成，缺一不可。以矩阵理论与控制理论的融合为例，矩阵理论是线性代数中的主要学习内容，矩阵理论在应用数学与工程技术学科中都有着广泛的应用。但是，线性代数课程中却很少提及矩阵理论的应用，导致多数学生认为矩阵理论只能用于求解线性方程组，也不了解矩阵理论与后续课程之间的关系。以线性代数中矩阵理论的应用为出发点，在已有矩阵理论基础上讲授线性代数矩阵理论在微分方程求解问题及控制理论中的应用，使学生明确学习目标，激发学习兴趣。

线性代数中矩阵理论主要应用于解线性方程组

即Ax=b解的问题。下面介绍矩阵理论的另外两种应用：

在高等数学中，微分方程求解也是非常重要的问题，探讨一阶线性微分方程组[8]与矩阵理论之间的关系，一阶线性微分方程组的一般表达式为

(1)

其中

以上例子可以看出，矩阵理论不仅可以用于求解线性方程组，还可以求解线性微分方程，同时判定相应微分方程组的稳定性，为此方程组对应的实际问题提供理论参考。微分方程的求解可应用于多种领域，如SIR传染病模型、种群模型及电路问题，更进一步可以利用李雅普诺夫矩阵代数方程说明系统的稳定性及未来的发展动态。求解问题主要运用到矩阵的概念、矩阵的乘积、正定矩阵的概念及矩阵的求逆运算。通过实例，可以使学生掌握基础知识，激发学习兴趣，培养创新能力。

对于线性时变控制系统[8]

(2)

其中A(t)∈Rn×n,B(t)∈Rn×m,C(t)∈Rr×n,D(t)∈Rr×m分别是系统(2)的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和反馈矩阵，统称为系数矩阵，并且是分段连续函数。同样涉及矩阵的运算，说明矩阵理论影响深刻且应用广泛。假设A(t)是n-2次可导函数，B(t)是n-1次可导函数，这是对线性代数中矩阵理论的推广。线性代数中的矩阵运算包括线性运算、乘法运算、求逆运算、数乘及幂运算，并没有给出求导运算法则，实际上在高等数学课程中，求导运算是最基础的运算形式，但并没有推广到线性代数中。矩阵或向量的求导，只是对每一个分量进行求导即可，所以矩阵求导计算是线性代数矩阵理论的简单拓展，在上述假设条件下，记

(1)如果存在t>t0，使得R(Pc(t))=n，则系统(2)在t0处可控。

(2)如果存在t>t0，使得R(Po(t))=n，则系统(2)在t0处可观。

(3)如果系数矩阵均是常值矩阵，有

以上内容是对矩阵理论的简单应用，主要涉及矩阵的运算及矩阵的秩。这部分内容对于初学者特别是电气自动化专业学生来说容易接受，为矩阵理论的应用指明了方向。

2 结语

矩阵理论具有鲜明的学科特点，教师应充分利用其优势，重视学生综合素质和能力的培养，为学生未来的发展打下坚实基础。当前，高等教育对线性代数的学习提出了更高要求，不仅需要培养学生对知识理论的学习能力，更要培养学生学以致用的能力，使学生爱学数学、爱用数学，激发思想活力和创造力，培养适应时代发展的复合型人才。