依托认知工具 促进深度学习*

孟凡英

“富有想象力”的教育是指教师充分利用认知工具在教学过程中有效激发学生的情感、想象力和智慧的教育理论与实践体系[1]29。认知工具既是“富有想象力”教育的理论核心，又是实施这种教育理念的具体策略和方法。基兰·伊根教授立足维果茨基的理论，把认知工具的研究引向了教育实践领域，逐步发展成为一个有机的认知工具系统，并把认知工具发展成前后连贯的五个亚系统，即身体的认知、神话的认知、浪漫的认知、哲学的认知、批判的认知（见表1）。每一种认知方式中，又包含着若干相互联系的具体认知方法[2]。

表1 认知工具的五个亚系统

这五种认知方式，不仅反映了人类语言能力的发展规律，也反映了人类认知世界方式的变化过程。基于这样的理论视角，本文试着运用认知工具五个亚系统中的具体认知方法对儿童在数学学科教学中进行想象力的培养。

一、身体的认知——做中学习，加深数学理解

身体的认知是指在掌握语言之前的婴幼儿时期，儿童通过自身的感知觉系统和情感反应机制与周围环境相互作用，并获得对世界的基本理解的认知方式[1]98。具身认知理论的倡导者认为，认知是身体的认知，心智是身体的心智，离开了身体，认知和心智根本就不存在。因此，认知深深地嵌入身体的感知觉系统之中，它们对理解力的支配作用大大超出了我们的想象。在教学中，教师应当充分让学生动手做数学，在做中感知、理解、体会、想象，让学生的想象力得以萌发生长。

例如教学苏教版小学数学一年级上册《图形的认识》一课时，教师经过研究发现：在培养儿童空间思维时，不应该把“平面”和“立体”完全割裂开来，而是要以立体图形为载体，通过充分探究生活中的立体实物，引导儿童想象，并从多角度去感知立体图形上的平面图形。掌握了这个规律，教师在教学时，让学生充分地看一看、摸一摸、摆一摆、滚一滚、说一说，调动多种感官，多角度地感知长方体、正方体、圆柱和球等立体图形的特点。教学中教师让学生把长方体、正方体、圆柱和球这4 个物体进行分类，学生在动手玩积木的过程中，有充足的时间观察积木的形状、触摸积木、积累搭建积木的经验，眼、手、脑并用，形成了丰富的感知。做中学活跃了课堂气氛，启发了学生的想象和思考，让学生经历了知识发生、发展、形成的过程，深化了他们对长方体、正方体、圆柱和球的认识和理解，以及数学思想方法的感悟，最终获得数学素养的提升。

二、神话的认知——建立模型，学会数学迁移

神话认知，即神话思维、原始思维，是人类发展处于口语阶段的思维。这是一种有别于逻辑思维的“我向”思维方式，是一种以移情、体验和想象力为主要特征的象征性或隐喻性思维方式[1]99。表1 中神话的认知第4 点包含了建模。模型思想是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的思想。掌握模型思想就是把握现实世界中一类问题的本质与规律，用恰当的数学语言描述问题的本质与规律，用合适的数学符号表达问题的本质与规律，最后得到刻画一类事物的数学模型[3]。数学建模可以拓展学生的思维空间、想象空间，改变“唯书唯上”、习题演练的现状，为学生获取新知提供组织架构，为将来更高层次的学习提供理解基础，让学生体会到数学学习的价值。

例如，整数乘法单元的教学是在学生已有知识经验的基础上，让学生自主探索计算的方法，理解算理，掌握算法，建构模型，发展想象力。原来的教材体系将这个知识内容安排在三年级下册和四年级下册，如果按照教材编排按部就班地进行教学，学段的跨越、年级的转换、碎片化的教学等因素就会割裂知识的内在结构，一方面增加了教学中的“重复劳动”，另一方面无法让学生形成深刻的理解和自主迁移的能力，限制了学生的思维和想象力的发展。因此，教师在教学苏教版三年级下册《两位数乘两位数》和四年下册《三位数乘两位数》时，突破了单元和年级的界限，将两位数乘两位数（不进位）、两位数乘两位数（进位）和三位数乘两位数这三节课关联起来进行教学，引导学生发现：整数乘法计算都是先分再合，即先把第一个乘数看作一个整体，第二个乘数个位和十位分别和第一个乘数相乘，乘得的积再加起来。不论怎样乘，最后都要回归到一位数乘一位数。所以，两、三位数乘两位数甚至更多位数，计算方法是一致的，可以建立整数乘法笔算的模型（如图1）进行计算。有了这样的笔算模型，以后如果遇到三位数乘三位数、四位数乘三位数……，都可以按照这个计算模型进行计算。在这个过程中，学生体会到了数学建模的价值，同时，有能力去解决更多位数的整数乘法计算，并把建模能力迁移到其他知识的学习中去。

图1 整数乘法笔算模型

三、浪漫的认知——突破极限，激发数学想象

浪漫的认知是指儿童借助于逐步熟练的读写能力而发展起来的把握世界的思维方式[1]102。表1 浪漫的认知中第2 点是现实的极限，在数学学习中体现为极限思想，即运用极限概念分析、研究问题的一种数学思想。在数学教学中适当地渗透极限思想可以发展学生的辩证思维，帮助学生认识相关数学问题的本质，对于学生的数学学习有深远的意义[4]。极限思想留给学生更多想象的空间，可以很好地培养学生的数学想象力。

例如教学苏教版小学数学五年级下册《解决问题的策略》例2，如图2。

图2 分数计算数形结合图

上面算式、下面图形，数形结合。教师问：请你想象一下，如果就这样一直分下去，你能想到什么？学生通过观察算式，依托极限思想的力量，找出了算式中每一个数的变化规律，结合图像无限平均分小正方形，越往下分下去，数变得越来越小，图形也变得越来越小，体会到“无限”“逼近”“趋近于”等字眼所蕴含的意义，体悟极限思想中所蕴含的思维方法，并体会它在解决实际数学问题中的作用。借助数形结合的数学思想，学生的想象力得到极大的发挥。

四、哲学的认知——探根究底，培养学生的辩证思维

到了青少年时期，学习内容开始以科学知识为主体，这正是学生系统习得理论语言的时期。他们开始更加关注事物之间的联系，开始发现原以为毫无联系的细节和经验，实际上是由各种规律和理论把它们联系在一起的。在人生的这个阶段，他们正在发展对世界的系统认知，即哲学认知[1]105。在课堂教学中，培养学生的思辩精神，其实就是让学生能够从整体上认识客观世界，从不同的角度观察、发现问题，从而用不同的方法解决问题。

例如教学苏教版小学数学五年级上册《怎样围长方形面积最大》，在解决了长方形周长一定的情况下，长和宽越接近面积越大，以及接近成正方形时面积最大这两个问题后，教师继续追问:12 根1 米长的木条，如果一面靠墙，怎样围长方形面积最大？ 通过画示意图，有些学生得出结论：一面靠墙，长是宽的2 倍时长方形的面积最大。可部分学生发现之前已经得出结论：周长相等，围成正方形时面积最大。为什么会有矛盾的结论出现呢？经过激烈地讨论，学生们一致认为，问题就出在这面墙身上，因为一面靠墙了，长方形就不是封闭图形了，所以结论也就随之发生了改变。教师提示学生抓住长是宽的2 倍这个关键信息再继续往下思考，看图发挥想象力。这时有学生说出了“镜面原理”，其他学生豁然开朗：如果在墙的对面还有一个完全相同的长方形，墙这边和墙那边合起来就围成了一个边长是6 米的正方形，周长相等的情况下，正方形的面积最大，那它的一半也一定是最大的，所以在这里，长是宽的2 倍时，图形面积最大。教师趁机引导学生感受：虽然题目的具体信息改变了，但是本质规律还是不变的，都是周长相等的情况下，围成正方形的面积最大。殊途同归，这就是数学中的变中有不变的辩证思想。在一次次的主动探究过程中，学生找到了知识间的相互联系，建立了知识结构，走向了数学的深度学习。

五、批判的认知——质疑思辨，走向深度学习

批判的认知，也称讽喻认知。从青年时期开始，人们意识到系统的哲学思维方式并非无所不能的，而是有限的。他们开始重新体悟那些理论，甚至重新看待那些客观可靠的理论语言。他们越来越意识到，在语言能够表达的可能意义和语言实际表达出来的意义之间存在一个巨大的鸿沟，在准确表达自己的意愿和深刻把握世界对象方面，他们所掌握的理论语言已经难以胜任。对理论语言局限性的认识使人们能更加理智灵活地看待语言在理论思维中的使用，以达到反讽和解放的效果。因此，基兰·伊根将这一阶段称为“喻讽阶段”[1]106。表1 批判的认知中第4 点是基本知识怀疑，在数学教学中可以体现为批判性思维的培养。批判性思维是以一种合理的、反思的、心灵开放的方式进行思考，从而能够清晰、准确地表达、逻辑严谨地推理、合理地论证，以及培养思辨精神。在数学教学中，教师应当根据情况与需要在不同的方面与环节之间做出灵活的转换，甚至创设让学生怀疑的机会，“逼”着学生突破思维定势，走向深度学习。

例如教学苏教版小学数学五年级下册《3 的倍数的特征》，学生通过自主探索、小组合作、交流汇报，总结出3 的倍数的特征：各位上数的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数。教材中提出一个问题：如果一个数不是3 的倍数，这个数各位上数的和会是3 的倍数吗？找几个这样的数算一算。学生找了很多不同的数进行验证，没有找出一个能打破这个规律的数，所以最后一致得出结论：如果一个数不是3 的倍数，这个数各位上数的和也不是3 的倍数。教师继续追问：对于3 的倍数的特征大家还有疑问吗？经过这一问，班里的“小小数学家们”开始思考，小手举了起来：老师，我们都是一个一个数列举出来的，可是我们没有列举完，可能后面就有一个数，就能打破这个结论呢？这个学生的假设点燃了全班同学思考的热情，教师鼓励学生像数学家解决问题一样：发现问题、提出问题、实验验证、得出结论。结果学生居然真把问题解决了。他们得出结论：假设一个数为ab，ab=10a+b=9a+a+b,从这个算式中可以推出：9a一定是3 的倍数，所以只要a+b 的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数。

尊重学生、理解学生，给学生创造可以质疑思辩的场域，学生就会用批判的眼光去发现问题、提出问题，从而创造性的解决问题。在这样的学习过程中学生不再是被动地接受，而是主动地探究，学习的过程也不断地从浅表学习进入深度学习。在生动活泼、自主开放的学习环境中，教师循着学生的思维轨迹，参与学生思维的发生、发展与表达，最终引领学生提升思维品质，走向深度学习。