试析数形结合思想在初中数学解题中的应用

王莹

（辽宁省营口市大石桥实验中学，辽宁营口 115100）

在数学知识学习和探究的过程中，经常会运用到数形结合的思想方法。在初中数学学习中合理运用数形结合的思想方法，方便学生梳理题目信息、分析解题思路，帮助学生突破数学解题中的重难点，提高学生的问题解决能力。为此，初中数学教师在开展解题教学的过程中，可以结合教材内容，借助初中数学的重点题型，引导学生对数形结合思想的具体应用策略进行深入思考与分析，促使学生掌握数量与图形之间的转化方式，以此提升学生的数学解题能力，发展学生的数学核心素养。就这一方面而言，加强对数形结合在初中数学解题教学中运用的研究是非常必要的。

一、数形结合思想的概念

“数”与“形”是数学研究的基本对象，“数”指的是抽象的数量关系，“形”指的是图形、图像概念，两者虽然存在本质上的区别，但在一定的条件下，也是可以相互转化、结合运用的。简单来说，数形结合则是将数学知识中的数量关系和空间关系进行有机结合，并通过二者之间的内在关系，对数学问题进行思考和探究的数学方法。根据这一思想，学生可以将抽象的数据材料与直观的图形材料结合起来，快速找到问题的解决思路和方法，促使学生的解题能力得到有效提升。

在初中数学的课程体系中，教师需要积极寻找教学中与数形结合思想相关联的内容，结合实际案例对学生的数形结合思想进行培养，为学生今后在解题中灵活运用数学结合思想打下坚实的基础。首先，有理数与数形结合思想的联系，教师可以在解决有理数运算问题的时候，引导学生通过绘制数轴并在数轴上标记有理数对应的点，来实现“数”向“形”的转化；其次，不等式与数形结合思想的联系，通过语言、文字的讲解，学生对一元一次不等式或一元一次方程不等式组等概念知识的理解比较浅薄，而将其解集以数轴的方式呈现出来，就可以利用直观的图像强化学生的理解；再次，函数与数形结合思想的联系，可以通过数与形之间的灵活转化，将函数转化为对应的坐标系，加深学生对函数知识的理解与掌握。

二、初中数学解题教学的现状

（一）解题教学教条化严重

相较于小学阶段的数学教学，初中数学知识点的难度有了明显提升，且数学问题考查的范围也更深、更广，提高学生的数学思维能力，强化学生的解题能力成为教师教学的重点。但在实际教学中，部分教师过于依赖自身以往的教学经验，对于教学的内容以及教学的方法等，无法做到与时俱进，一味注重学生对理论知识的掌握，在解题教学中，习惯直接传授学生解题的套路和模式，让学生对所学的数学公式、定理等理论知识进行套用，却忽视了对学生数学思维的引导，这样教条化的模式只会限制学生数学思维的发展，非常不利于学生解题能力的提升。

（二）围绕考试范围进行教学

由于我国现阶段的初中教育采取的依然是考试升学制度，学生的考试成绩直接决定学生能否升入理想的高中，进而为将来的考大学做准备，因此无论是教师还是学生对考试的分值看得都很重。而为了提高学生的考试成绩，很多初中数学教师在制订教学内容的时候，都会根据考试重点来划范围，然后采取题海战术，带领学生进行大量、反复的试卷练习，以期能够提高学生的数学解题能力，学生为了提高解题的速度，学习大量的解题技巧，却忽视了数学知识的本质和规律，导致学生的数学解题思维受到禁锢，严重影响学生创造性思维的培养与提升。

（三）学生缺乏解题的自信心

与小学阶段的数学知识相比，初中数学不论是难度还是深度都提升了一个层次，且所教授的理论知识多而杂，学生需要记忆大量的数学公式、性质、定理等理论知识，年级越高考试考查的范围就越广，数学问题也就越复杂，学生解题时遇到的问题和难度就越多。而初中生正处于青春期，他们的情感较为敏感，这种挫败感会使得学生对数学解题逐渐失去信心，甚至让学生出现逆反和自卑的心理状况。如此，不但无法提升学生的数学解题能力，而且还会对学生今后的数学学习造成不利影响。

三、数形结合思想应用在初中数学解题中的意义

（一）提高数学解题教学的趣味性

我们都知道数学是研究数量关系和空间关系的学科，因而在初中数学知识的学习过程中，逻辑思维和空间立体思维是学生必须要具备的数学思维能力，这样学生才能对数学问题中的数量关系或空间关系进行正确梳理。但对多数初中生而言，他们这两种思维能力都相对较弱，这也使得他们在面对一些难度较大的数学问题时，就会感到束手无策，进而严重打击他们的学习自信心。而数形结合思想的合理运用，则可以促使学生从不同的角度思考和分析数学问题，使得数学问题的探究过程更加灵活、有趣，让学生更好地体会数学学习的乐趣，提升学生数学解题能力。

（二）提高数学解题思维的灵活性

数形结合思想在数学解题过程中的运用主要有两个方向：一是“以形助数”即将复杂的数量关系转化成直观明了的图形关系，减低数学问题的解题难度；二是“以数化形”即将抽象的图像问题转化为逻辑缜密的数量关系，使其变得更加具体。在初中数学解题教学中，学生可以灵活运用数形结合思想，从不同的角度对数学问题进行分析、理解与思考，尝试转换角度寻找解决问题的切入点，提高学生解题效率的同时，也能够实现学生抽象思维向逻辑思维的转变，提高学生数学思维的灵活性。

（三）加深对数学解题规律的掌握

初中数学的问题类型不外乎几何图形、数字方程，虽然存在本质上的区别，但两者之间是可以通过互相转化证明彼此的，学生在运用数形结合思想解决数学问题的过程中，可以逐渐掌握数学知识相互转化的规律，从其中总结出属于自己的解题方法，既能够加深学生对数学知识的理解与掌握，又能够提高学生的数学解题能力，为学生今后的学习和发展打好基础。

四、数形结合思想应用在初中数学解题中的策略

（一）以形助数，强化直观效果

在现实生活中处处充满了代数的身影，因而，在初中数学教学中代数成为了重要教学内容。然而，代数之间的数量关系往往都非常复杂，而为了增加问题的难度，出题人甚至还会在题目中设置各种陷阱，用一些无效的信息来干扰学生的解题思路，对逻辑思维能力较差的学生来说，解决这样的代数问题无异于一场灾难。但是在以往的初中数学解题教学实践中，教师的教学重心一直在解题思路和步骤的传授上，忽视了学生逻辑思维的培养。鉴于此，在新时期的初中数学解题教学中，教师则需要摒弃以往的教学方法，将数形结合中“以形助数”的思想方法渗透到其中，引导学生利用直观图像将复杂的数量问题表示出来，然后利用图形来解决数学问题，这样原本分散、隐藏于题目各个角落的有效信息变得明显，同时还能够帮助学生摒除题目中的干扰项，让繁杂的代数问题变得有条理、一目了然，进而有效降低代数问题的解题难度，提升学生的解题效率和水平。

例如，在判定有理数及方程的时候，由于小学阶段的数学教学并未涉及此方面的内容，初中生的相关知识比较薄弱，甚至理不清正数与负数的概念关系，为此，在解决此类型问题的时候，教师可以引导学生绘制数轴，确定中心0点，对题目中涉及的正数和负数在数轴上进行标记，原本杂乱的数字关系瞬间变得清楚，方便学生理解的同时，也提高学生解题的准确率。再如，在求一次函数y=x-2与二次函数y=x2+2x-2有几个交点的问题时，传统的初中解题教学中，教师一般都会让学生将二次函数与一次函数相联系，组成一个一元二次方程，通过解这个一元二次方程得出x的值，最后再结合一次函数得出两个函数交点的坐标，费时费力不说，复杂的解题步骤中一旦有哪个环节出现计算错误，就会影响最后的结论。而如果采取数形结合思想，教师可以引导学生首先以二次函数的一般形式化为顶点式，确定二次函数的对称轴和顶点坐标，然后再带入一次函数，求得与y轴和x轴的交点坐标，在平面直角坐标系中画出一次函数与二次函数的图像，通过观察图像就可以得出最终的结论。

（二）以数解形，加深知识理解

在初中数学解题中，数形结合思想不是只能通过“数”化“形”来增强直观效果，也可以通过“形”化“数”加深学生对问题的理解，即利用数量关系的逻辑性，说明图形之间的关系，让抽象的数学问题变得具体化，尤其对一些复杂的图形问题来说，转化成数量关系，能够方便学生理解的同时，提高学生的解题效率和准确率。而为了防止学生将“以数解形”简单理解成画图找答案，教师可以用一个引导性的问题抛砖引玉，引发学生对数学问题的积极思考与探讨，让学生从“数”的角度出发，对几何图形中各元素之间的关系进行研究，找到已知条件之间的逻辑与规律，同时明确数学题目的解题方向。

例如，在一个长、宽为2米，高为3米的封闭透明盒子里，一只小虫子想要从A点爬到B点，请为它设计出最短路程的路线。教师可以引导学生在纸上画出封闭透明盒子的几种展开图，标出长、宽、高并准确找到A、B两点，然后再分析两点的位置关系，找到最短的路程。

（三）数形结合，提升解题效率

虽然在数形结合思想中无论是以形助数还是以数解形，都存在各自的缺陷与不足，但两者之间相辅相成的转化效能，的确帮助学生解决了很多数学上的难题，学生可以通过数与形的灵活转化找到解决数学问题的最简方式，提高学生数学解题能力及效率的同时，加深学生对数学的理解与应用，为学生数学综合素养的提升奠定坚实的基础。

例如，在解决反比例函数的时候，用直观、明了的几何图形来解释反比例函数的重难知识点，可以帮助学生更好地理解数学，也帮助学生更好地解决类似问题。给出两个点的横坐标，比较两个点纵坐标的大小。以数字运算的方式虽然也可以得出正确答案，但如果采取绘制反比例函数图像的方法，则更加直观。教师可以引导学生根据已知条件计算两点坐标的比例系数k，并根据k的值来画出标准的函数图像，遵循“k大一三减，k小二四增”的口诀，轻而易举就可以得出正确答案，同时也进一步加深学生对数学知识的理解与口诀的运用，提高学生的解题效率。

（四）课后反思，深化理解

在对学生数形结合思想和能力培养的过程中，课后总结和反思是非常必要的。在课后学生有足够的时间对数形结合的思想方法进行总结和反思，这就要求初中教师应意识到这一点，并合理引导学生合理利用好课后时间，让他们在原有知识基础上，利用数相结合的思想方法对数学概念、定理和问题进行解读，并对数学结合的思想方法和用法进行总结反思，增强学生数学结合思想意识，提升学生数学学习能力。

例如，在对“正数和负数”这一部分的数学知识进行学习后，教师则可以引导学生利用课后时间，对课堂教学中的数学结合进行反思和总结。在学生课后反思的过程中，可以利用数轴表示正数和负数，并以此来正负数的概念、性质等进行理解，强化课堂所学。同时学生还可以利用数形结合的方式，对正负数数学问题进行解答，进一步深化对数形结合思想方法的理解和掌握，提升自身的数学学习能力。

五、结束语

综上所述，将数形结合的思想方法合理引入初中数学解题教学中，能够为学生数学问题的思考和探究提供新思路和方法，拓宽学生的数学思维，促使学生的数学核心素养获得良好发展。因此，初中数学教师应加强对这一方面的重视和研究，并在教学实践中，合理运用数学结合思想方法，引导学生通过“数”与“形”之间的灵活转化，将抽象、复杂的数学问题变得具体、简单，并通过分析题目中已知条件之间的逻辑与关系，突破传统解题教学模式对自身数学思维造成的限制，提升学生数学解题能力。