玩转摩天轮

蔡珍珍

● 创新整合点

①利用新媒体中视频、图片、动画的直观性，让课程资源现代化、多元化。通过新技术将生活植入课堂，并在摩天轮中提炼数学模型，生动自然地生成数学概念。

②通过“互动课堂”下发和上传学习任务，“作品观摩”环节呈现学生作品，利用“文件传输”，将利用PowerPoint制作的“摩天轮”发送到学生的平板中;学生通过选择旋转按钮控制旋转方向和停止位置，人人都能在课堂上“玩转摩天轮”。

③利用数字化学习终端，通过人机对话建立新型关系，学生通过平板相互评价作业，丰富场域对话模式，使教学方式信息化、评价方式多元化，实现信息与知识、生活与数学多维融合。在自我推动和相互启发中，师生共同提高数学思维，养成直观想象、逻辑推理和数学抽象等学科素养。

● 教材分析

本节内容是人教A版高中数学必修第一册第五章《三角函数》的第一节《任意角和弧度制》第一课时，本次课属于概念型的新授课，是对角的推广。

教材对概念理解利用很多生活实例做了铺垫，笔者通过“翻转课堂”让学生课前自主学习微课，了解概念，再通过课中的小组合作探究进一步强化概念、深化概念。

在本次概念课中，为了帮助学生更好地理解和接受“任意角”，形成新的理论体系，笔者使用信息技术手段通过一条主线——“玩转摩天轮”，探究发现角的一些特殊规律，引导学生通过数形结合的思想方法来解决问题，在类比、猜想和归纳中渗透逻辑推理、直观想象等核心素养。

● 学情分析

通过高中阶段的学习，学生已经掌握了一些基本的数学思想方法，研究问题的一般方式，即定义、分类、性质、外延、应用等。

学生在小学、初中阶段已经学习过角的定义并认识了一些特殊的角，本节课从运动的角度去研究角，要学生重新接受对角的旋转定义，完善知识结构体系。笔者尝试从学生的元认知出发，将利用软件制作的“摩天轮”发送到学生的平板中，学生在摩天轮上探索任意角的形成和归纳相关性质，完成“静止”到“运动”的过渡。

● 教学目标

知识与技能目标：能从实际出发理解任意角的概念;掌握象限角的概念。

过程与方法目标：观察生活实例，抓住任意角形成的动态特征，学会用“旋转”的方式认识任意角;经历从现实生活中抽取出具体的数学模型，在模型中探索数学概念的生成过程，形成数学抽象的思维，提高数学抽象和数学运用的能力;在解题过程中提高推理能力和应用意识。

情感态度与价值观目标：经历从实际生活中抽象数学模型，形成数学概念，感受数学的应用价值，体会数学与生活息息相关，数学来源于生活。

● 教学环境与准备

多媒体教室，宽带网络，seewo触控一体机，计算机安装“互动课堂”“教学助手”软件，学生平板安装“互动课堂”、Office软件。

● 教学过程

1.在线检测，诊断学情

通过“微课前置”或课前预习，学生已经初步认识了任意角，教师有针对性地通过“在线检测”的四道题评估学生的自学情况（如图1）。

教师将这四道题通过“互动课堂”推送到学生平板中。

学生活动：通过平板将选择题结果提交到白板上。

教师从互动课堂“在线检测”中汇总的数据中快速得到反馈。

学生可能出现的问题：对第3题判断失误。

其他学生举手解答疑惑，通过自己预习后的理解解释任意角是通过旋转形成，如果角逆时针旋转了一周以后又回到了第二象限，那么这个角不是钝角。

设计意图：通过“互动课堂”的“在线检测”功能，检查学生自主学习情况，用数据说话，迅速掌握学情。

2.生活引入，揭示课题

教师利用白板播放摩天轮视频，通过在摩天轮上看到美丽的武汉东湖风景引出任意角。

活动一：认识任意角

①师：同学们，有没有去過东湖之眼？大家想不想在课堂上玩摩天轮？

教师将由软件制作好的“摩天轮”通过文件传输的方式发送到学生平板中。

学生活动：在接收到的“摩天轮”中，在选择顺时针或者逆时针按钮之后，摩天轮指针开始旋转，再次点击按钮，摩天轮停止。由起始和停止位置的两条射线可以组成任意角，如图2所示。

教师揭示课题：在摩天轮的旋转过程中我们发现，旋转可以形成角，而这种通过旋转形成角的例子生活中有很多，如跳水运动员空中向后翻转三周入水、时钟指针的旋转等。今天我们一起学习的任意角就是经过旋转形成的。（教师板书任意角的概念）

师生一起学习要点——任意角的概念：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角（射线OA为角的始边，射线OB为角的终边，点O为角的顶点）。任意角分为正角、负角和零角。任意角的记法：角或∠或∠AOB（∠BOA）（如图3）。

教师在学生熟悉游戏以后，随机挑选多位学生在白板上玩游戏“你说我画”，一部分学生控制摩天轮按钮，摩天轮停止后，另一部分学生说出任意角的大小，并画出任意角。

设计意图：利用小游戏让学生区分正角和负角，加深对任意角概念的理解。

②教师追问：任意角可以分为正角、负角和零角，与实数的分类相似，任意角是否可以进行加减运算？同学们能否通过图形的方式反映出30°与-30°，30°+120°与150°，30°-120°与-90°三组角的关系？

学生活动：小组讨论作出图形，通过平板推送到白板中，学生相互评一评，并总结任意角的运算规律。

教师总结：角可以进行加减运算，从“数”的角度，角的加减运算与实数相似，30°与-30°互为相反角;从“形”的角度，加一个角是将原来的角的终边进行相应的旋转。

活动二：认识象限角

①师：老师这里有两个角，同学们在平板中如何比较它们的大小？（教师将图形发送到学生平板中，如图4所示）

学生可能回答：利用量角器，估算角的大小;将角在平板中拖动，使得一边重合，观察另外一边，然后比较大小。

教师追问：如果将任意角210°放在直角坐标系中，同学们会如何放置？

学生可能回答：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴重合。

教师总结：将任意角放在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边成为研究对象，这样的角称为象限角，角的终边在第几象限就称该角是第几象限角，我们可以把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角。（教师板书“象限角”）

②跟进练习：请同学们在直角坐标系中作出-660°，并判断它是第几象限角。

教师展示优秀作品，指出学生可能出现的作图错误，如角的箭头不标注、作答不完整。

追问：将任意角放在坐标系中，除了这些分类还有其他的角吗？

学生可能回答：还有可能落在坐标轴上。

设计意图：通过信息技术手段制作“摩天轮”发送到学生平板中，打破时间和空间的界限，以生为本，学生在自己的平板中生成各不相同的任意角，抽象数学模型，通过游戏帮助学生直观地发现角是通过“旋转”形成的，进而强化角的概念。

3.情境探究，提升素养

①教师利用白板出示有关东湖之眼的视频，根据视频提问：如果摩天轮可以顺时针和逆时针旋转，我从水平位置A出发（如图5），如果现在处在摩天轮的最高点，摩天轮转了多少度？这些角有什么共同的特点？请将这些角用集合的方式表示出来。（使用“互动课堂”的“抢答”功能）

学生活动：利用平板抢答，并相互补充（学生可能出现任意角描述不准确的情况;集合书写不正确）。

教师评价：从“形”的角度，这些角的终边重合;从“数”的角度，这些角相差360°的整数倍。而具有这样性质的角，称为终边相同的角。

師生一起归纳要点：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

S={β|β=α+k×360°，k∈Z}，注意： k∈Z，α是任意角。

②教师提问：如果摩天轮静止的时候我停在最高点或者最低点，那摩天轮又转了多少度？这些角又有什么特点？请用集合的方式表示出来。

学生活动：利用平板写出结果并提交。

教师通过“互动课堂”中的“作业互评”功能，让学生已经提交的作业在其他平板间随机展现，学生将平板接收到的作业进行诊断、优化和打分。

教师收集汇总，并进行集体答疑，凸显常规错误，并由学生展示优势解法。

③教师追问，如果摩天轮停在某一区域，你还能用集合表示出来吗？如果停在第一象限呢？

学生活动：小组讨论，小组代表发言。

学生可能回答：第一象限的角用集合表示为：[360°k，90°+360°k]，k∈Z，（360°k，90°+360°k），k∈Z。

教师释疑：第一象限不包括坐标轴，应该用开区间表示。

④教师追问：如果终边落在第四象限角，组成的集合又该如何表示？

学生可能回答：（270°+360°k，360°+360°k），k∈Z，（-90°+360°k，360°k），k∈Z。

师生共同总结：终边相同的角的表示方式不唯一，不同的表示方式可以表示同一个集合。

设计意图：在摩天轮上探究问题，可以更好地锻炼学生直观想象能力、逻辑推理能力，用基于现实价值的教学，激发学生对未知领域的探索欲。利用作业互评让学生在诊断和被诊断中优化学习效果，引发思维的碰撞，加强对概念的理解并学会正确地书写解题过程。在摩天轮上研究任意角，为第二节在单位圆中研究三角函数的概念做铺垫。

4.概括总结，小组评分

教师引导：这节课你学到了哪些数学知识？体会到哪些数学思想方法？

学生活动：利用平板“弹幕总结”，将课堂心得体会展现在白板上。

师生共同总结：通过此次课堂内容的学习，我们理解了任意角的概念，并在摩天轮上体会到任意角是通过旋转形成;将角放在直角坐标系中，又可以将角进行几何划分;利用摩天轮的情境，我们发现一些具有特殊位置关系的角“数”的关系，如终边相同的角、终边在一条直线上的角等。此次课让我们体会到数学来源于生活，学会用数学语言表达生活。

教师利用“互动课堂”积分功能统计此次课堂上小组得分情况，给表现优异的小组成员相应的赞许和嘉奖，并鼓励其他小组再接再厉。

设计意图：小组合作学习，在整个课堂中学生纷纷抢答为小组增分，给课堂注入新活力。

● 教学反思

通过一条主线——“摩天轮”的位置建立数学模型，让每个学生都能够在课堂上玩转摩天轮，突出重点，以生为本;在探索过程中发现问题、解决问题，形成终边相同的角的集合，分别从“数”和“形”的角度突破了这节课的难点，以及相关性质的探究，延拓知识结构，在层层递进中渗透数学运算、数学建模、数学抽象和逻辑推理等学科素养。

1.以生活为教材，在情境中提炼知识

通过捕捉生活中“摩天轮”的例子，一条主线贯穿全文，用设计者的口吻让学生在情境中学习并逐层引导学生在摩天轮中探究问题，使教学内容场景化，让学生在实际生活中提炼数学模型，收获新知识。

2.以学生为主体，在翻转中实现高效

本次课是概念课，通过“翻转课堂”让学生在课前自主学习微课，掌握关于概念的基础知识;在课中通过情境探究，逐层深入，强化概念，创造高效课堂。

3.以游戏为载体，在玩转中提升素养

围绕学生的生活重建课程，用PowerPoint制作“摩天轮”使课堂上人人都能在平板上“玩转摩天轮”，促进教学方式的重心发生变化——由教转向学，用游戏的方式唤醒学生的好奇心，激发内驱力，实现基于现实价值的学习，化被动学习为主动学习。

4.以信息为媒介，在诊断中优化学习

充分利用“互动课堂”各项功能，使学生成为评价和诊断的主体，让诊断内容和过程贴近日常生活，充分发挥学生的主体作用，在“泛老师”“泛学生”中提高课堂效率，让学生在诊断过程中，加深课堂参与感和责任感。

笔者认为，学生只有在日常生活现象和学习情境中发现和提炼数学知识，不断产生新的学科知识结构，才能为核心素养构建坚实的护翼，提供基础性引擎。