从数系的扩充谈起

文／卞书彦

我们在七年级已经系统地学习过有理数，知道了数的扩充源于两方面的需求：一是为了解决实际生产、生活中的某些问题；二是为了数学内部的运算可以进行（即运算的封闭性）。我们也知道了每次数系扩充遵循的基本原则：第一，增加新元素；第二，原有的运算性质仍然成立；第三，新数系能解决旧数系中的矛盾。

本章一开始以运用勾股定理计算直角三角形边长为情境，让我们感受到“数的开方”的必要性，顺理成章地让我们学习平方根的概念。我们在七年级就知道非完全平方数（如数2）的平方根（算术平方根）是客观存在的，能用逼近法知道它是无限不循环小数，并能用数轴上的点将它表示出来。为了进一步研究这样的数，我们有必要用符号来表示。法国数学家笛卡尔使用符号“”很好地解决了这类数的表示问题。

有了平方根概念和表示符号后，我们就可以研究其性质与应用了。根据平方与开平方互逆的关系可以得到：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。我们可以类比学习三次方根的概念以及符号“”所表示的意义，根据立方与开立方互逆的关系得到：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是0。同理，根据平方根与立方根的学习经验，我们也可类比得到“n次方根”的符号“”及其有关的性质了。

我们认识到，开方开不尽的数是无限不循环小数。无限不循环小数除了开方开不尽的数外，还有像化简后含“π”的数与0.1010010001…（1 后面的0 依次多一个）这一类数，以后我们还会学习到其他形式的无限不循环小数。为此，我们将无限不循环小数定义为无理数，并将有理数和无理数统称为实数。由此，我们就实现了从有理数集到实数集的扩充。

下面，我们通过图1 一起回顾一下人类对数的认识吧。

图1

数系扩充到实数后，对有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，有理数比较大小的方法，有理数的运算性质、运算律，仍然都适用。在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，还可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算。

由于无理数是无限不循环小数，有时根据实际需要，我们要用它的近似值来代替。因此，我们还要了解近似数的概念，体会近似数的意义以及近似数在生产、生活中的作用，并能根据要求对结果取近似值。于是，我们得到本章的知识框图（如图2）。

图2

实数这一章的知识是我们学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，为今后数系的扩充提供了范式，相信同学们一定能够学好本章的有关内容。