基于模糊熵的组合混沌映射及其性能

张雪锋，惠嘉珺，范九伦

(西安邮电大学 网络空间安全学院，陕西 西安 710121)

随着互联网技术的飞速发展，越来越多的数字信息在互联网上传播。传输的信息中往往包含着用户隐私甚至机密信息等需要保密的信息，如果这些私密信息被非法获取，可能会造成严重的安全问题。在传输和存储过程中，如何保证数字信息的内容不被非授权访问或恶意篡改，成为亟需解决的问题。

使用传统的加密方式，如数据加密标准(Data Encryption Standard,DES)，高级加密标准(Advanced Encryption Standard,AES)对数据加密时，存在效率低、实用性差等问题[1]。混沌是一种非线性动力学系统，具有初值敏感性、遍历性、不可预测性和伪随机性等特性[2]。这些特性使得混沌映射在应用于加密算法时具有良好的雪崩效应、安全性和更大的密钥空间[3]。正是由于混沌的这些特性，使得混沌系统被越来越广泛地应用于数字信息的保密中。

应用于加密算法中的混沌系统可以分为一维混沌映射和高维混沌映射两类[4]。相对而言，高维混沌映射的结构复杂、参数较多，保密效果较好[5-8]。然而，多个参数增加了高维混沌映射实现的难度和计算复杂度。一维混沌系统结构简单、计算速度快，易于实现[9-12]。但是，经典的一维混沌映射的保密效果相对较差，比如，某些混沌系统的混沌区间具有有限性或不连续性，当受到外界因素干扰时，混沌特性容易被破坏，使得其混沌轨迹易于被预测，保密效果有待提高。

作为一个经典的一维混沌映射，Logistic混沌映射[13]由于其结构简单、计算方便，已经被广泛应用于数字信息加密领域中。但是，其存在密钥空间小、复杂度和安全性较低等缺点，使得相关的加密算法容易被破译。

针对一维Logistic混沌映射在应用时存在的密钥空间小、安全性差等问题，文献[14]提出了一种改进的Logistic混沌映射，该映射将全映射参数和混沌参数的范围与原始映射相乘任意β次。将修改后的映射应用于加密算法后，密钥空间和密钥的敏感性均得到增强。但是，该映射的分岔图存在窗口，混沌状态较差。另外，该映射的Lyapunov指数(Lyapunov Exponent,LE)较小，混沌行为不够复杂。文献[15]提出了一种新的一维正弦(One-Dimensional Sine Powered,1DSP)混沌映射。受到正弦映射的启发，1DSP映射将结构扩展到包括两个控制参数，同时保持单一维度。性能分析表明，与其他一维混沌映射相比，1DSP混沌映射具有较好的混沌行为和较大的控制参数区间。但是，1DSP映射的分岔图窗口较大，进入混沌状态的控制参数区间较小，并且初值敏感性较差。文献[16]提出了一种基于余弦对正弦分数的一维混沌系统(One-Dimensional Chaotic System,1-DFCS)，该系统存在复杂的混沌行为和较高的初值敏感性，但是，其产生的混沌序列随机性较差。混沌系统的混沌行为不够复杂、初值敏感性和随机性较差，在应用于加密算法时混沌轨迹容易被预测，难以保证加密的安全性。

针对一维混沌映射存在的密钥空间小、混沌行为简单等问题，本文拟提出一种基于模糊熵和Logistic映射的一维混沌映射(One-Dimensional Chaotic Mapping Based on Fuzzy Entropy and Logistic,1DFL)。将模糊熵的基本函数和Logistic映射相结合，增大系统的控制参数，进行取模运算生成新的一维混沌映射，从而扩大混沌区间，提升初值敏感性，生成随机性较好的混沌序列。

1 预备知识

1.1 Logistic映射

Logistic映射的数学定义式[13]可以表示为

xi+1=μ·xi(1-xo)

(1)

式中：系统参数μ∈[0,4]；xi∈[0,1]。

当3.569 9…<μ≤4时，Logistic映射的Lyapunov指数μ>0，表明系统进入稳定的混沌状态，产生的混沌序列分布在(0,1)区间中。

由于Logistic映射结构简单、计算方便，已经被广泛应用于保密通信的各个领域。但是，Logistic映射存在随机性差、密钥空间小，安全性差等问题。

1.2 1DSP映射

2020年Mansouri A等人提出了一种一维混沌1DSP映射[15]，其数学定义式为

xi+1=(xi(α+1))sin(βπ+xi)

(2)

式中：xi(α+1)用于生成状态值的递增值；指数sin(βπ+xi)使用正弦函数形式，以避免指数值增加，限制1DSP映射的输出；系统控制参数α>0，β∈[0,1]。

与Logistic映射相比，1DSP映射增加了控制参数个数，扩大了控制参数范围，使得1DSP映射不太容易预测，混沌性能较复杂。但是，1DSP映射分岔图的窗口较大，进入混沌状态的控制参数区间范围依然较小，并且初值敏感性仍然较差。

1.3 1DFCS映射

2021年Midoun M等人提出了一种基于余弦对正弦分数的一维混沌系统1DFCS映射[16],其数学定义式为

(3)

式中，系统参数α>0。

1.4 模糊熵

熵是模糊变量的一个重要的数字特征，用来衡量模糊变量的不确定性，是处理模糊信息的重要工具[17]。模糊集用来描述元素无法明确界定是否属于给定集合的集合类。模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。

构成模糊集A的模糊熵的一个基本函数形式[17]为

xi+1=μA(xi)e1-μA(xi)+(1-μA(xi))eμA(xi)

(4)

其中：xi+1为模糊熵；μA(xi)是模糊集A的一个函数。

2 基于模糊熵的组合混沌映射

观察Logistic映射的基本公式xi+1=μ·xi·(1-xi)和模糊集X函数的定义式xn·(1-xn)可以发现，这两个函数的特点都是在x=0和x=1时值为0，在x=1/2时值最大且均为上凸函数，因此，可以考虑将二者组合起来，在Logistic映射和模糊熵基本函数式(4)的基础上，提出一种一维组合混沌映射，通过增大控制参数和增加模运算使得映射的序列分布更加均匀，提出的一维映射1DFL可以表示为

xi+1=(μ(xie1-xi+(1-xi)exi)modt)

(5)

式中：xi∈[0,t]；系统参数μ的取值范围为(-∞,0)∪(0.8,+∞)；系统参数t的取值范围为[1,30]。

接下来，将进行仿真，分析提出的1DFL混沌映射的混沌区间、遍历性和初值敏感性等性能。

3 性能分析

为了分析本文所提1DFL映射的性能，采用MATLAB软件对所提映射的对该映射的分岔图、Lyapunov指数、相关性和初值敏感性等性能进行仿真，并与经典Logistic映射、文献[15]的1DSP映射以及文献[16]的1DFCS映射进行比较。

3.1 分岔图

分岔是指系统参数小而连续的变化，结果造成系统本质或是拓扑结构的突然改变。映射的分岔特性反映了映射的轨迹特征[18]。Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4种的分岔图仿真结果如图1所示。可以看出，相比其他3种映射，提出的1DFL混沌映射的轨道分离速度更快，分岔点分布情况更为复杂，说明1DFL映射的混沌性能优于其它3种映射。这是因为，1DFL混沌映射产生分岔时，对应的系统参数μ的取值范围比Logistic映射、1DSP映射和1DFCS映射的参数取值范围更大，因此，产生混沌序列的随机性更好。在加密算法中，使用1DFL混沌映射进行加密具有更好的安全性。

图1 4种映射的分岔图仿真结果

3.2 Lyapunov指数

初始状态的敏感性是混沌行为最明显的特征之一[18]。Lyapunov指数可以定量描述映射对初始状态的敏感性，其描述了一个混沌系统的吸引子中相邻轨道间发散或者是收敛的物理量，是判断一个动力系统是否为混沌系统的重要标志[18]。

Lyapunov指数为正值，表示混沌映射的轨迹在每个单位时间内发散，并随着时间的增加演化为完全不同的轨迹。因此，如果一个混沌映射的Lyapunov指数为正，则表示该映射呈混沌状态，Lyapunov指数越大，意味着映射轨迹的分叉越快，混沌行为越明显[18]。

Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4种映射的Lyapunov指数仿真结果如图2所示。可以看出，Logistic映射的混沌区间较小，进入混沌后状态不稳定。1DSP映射和1DFCS映射虽然具有较大的混沌区间，但是，其混沌状态不稳定。提出的1DFL映射不仅具有更大的混沌区间，并且系统能更快地进入混沌状态，进入混沌后系统的混沌状态也更加稳定。

图2 4种映射的Lyapunov指数仿真结果

3.3 序列分布

序列分布在一定程度上能够反映混沌映射输出的随机性[19]。如果一个混沌映射的序列分布占有较大的相空间，则表明其具有良好的随机输出性和更好的遍历性，从而具有更好的安全性能。Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4种映射的序列分布仿真结果如图3所示。可以看出，Logistic映射、1DSP映射和1DFCS映射在相空间存在明显的局部聚集，并且1DSP映射和1DFCS映射遍历性较差，而提出的1DFL映射的在相空间内满足近似均匀分布，且相空间更大。

图3 4种映射的序列分布仿真结果

3.4 自相关性

自相关性在一定程度上可以反映混沌系统的随机性，自相关系数值与步长有关，自相关系数越接近于0，表明映射产生的二值序列的随机性越好，混沌映射就具有越好的自相关性[13]。

Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4种映射的自相关性仿真结果如图4所示。可以看出，当步长不等于0时，提出1DFL映射产生的二值序列的自相关系数接近0，与其他3种映射相比无明显差别，说明4种映射产生二值序列的自相关性性能基本相同。

图4 4种映射的自相关性仿真结果

3.5 互相关性

互相关性在一定程度上可以反映混沌系统的随机性，互相关函数的取值越接近0，说明两个序列越互不相关，差异程度越大，混沌映射的随机性就越好[13]。

Logistic、1DSP、1DFCS、1DFL映射的互相关性分析如图5所示。可以看出，1DFL映射产生的序列相关性与其他映射的生成序列相关性基本相同。

图5 4种映射的互相关性仿真结果

3.6 初值敏感性

初值敏感性描述了初始条件下的微小变化经过一定次数的迭代所产生的明显偏差的明显程度。初值敏感性反映了系统的复杂性和不可预测性。初值敏感性越高，混沌系统的性能越好[20]。

设定序列的初始值为0.4，对初始值作1×10-12的微小改变，Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4种映射的初值敏感性仿真结果如图6所示。可以看出，初始值改变后，提出的1DFL映射在3次迭代后发散，1DFCS映射在4次迭代后发散，而Logistic映射和1DSP映射在20次内迭代无发散，说明提出的1DFL映射的初值敏感性较好，当应用于加密算法中时，算法的安全性较高。

图6 4种映射的初值敏感性仿真结果

(续)图6 4种映射的初值敏感性仿真结果

3.7 分叉迭代次数

分叉迭代次数是指混沌映射对应两个不同初始值所产生的混沌序列，在给定分叉判断阈值后，将产生的混沌序列作差得到分叉迭代次数[21]。序列的分叉迭代次数越小，说明映射序列分叉的速度越快，混沌状态就越稳定[21]。

在[0,1]区间内，依次选取10 000个采样点，给定分叉判断阈值分别为0.2、0.4和0.6，逐次计算相邻点之间所需要的分叉迭代次数，取平均值得到平均分叉迭代次数。4种映射产生分叉所需的平均迭代次数如表1所示。可以看出，1DFL映射所需的平均迭代次数明显小于其他3种映射，说明1DFL映射分叉的速度快于其他3种映射。在加密过程中，与其他3种映射相比，1DFL映射能够较快地进入稳定的混沌状态，安全性更好。

表1 4种映射产生分叉所需的平均迭代次数

4 结语

以模糊熵和经典Logistic映射为基础，提出了一种基于模糊熵的组合混沌映射1DFL。该映射主要以模糊熵的基本函数与Logistic映射作为种子映射，然后通过增大控制参数和取模运算，使得混沌序列均匀分布。仿真结果表明，与其它映射相比，1DFL映射扩大了控制参数，改善了混沌区间小、混沌区间不连续、初值敏感性和随机性差等问题，混沌性能较好。下一步的研究重点是，将所提出的1DFL混沌映射应用于加密算法中，在不降低安全性的前提下提高计算效率。