分数阶微分方程初值问题解的存在唯一性*

张业双， 徐 润

(①山东省平度市第一中学，266700，平度市; ②曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市)

0 引 言

分数阶微分方程在经济、工程及现代科学中起到重要的作用,例如在化学、生物学、电磁学、机器人研究等很多实际问题中有大量的应用模型.许多研究者致力于分数阶微分方程的研究,特别的,在分数阶微分方程解的性质研究方面取得了一系列成果.解的存在唯一性也是其中的热点之一.另外,许多学者考虑了多项分数阶系统,并给出了相应的应用.具有两个阻尼项的动力系统解的存在性和唯一性比以往所考虑的一个阻尼项更为广泛.基于以上工作,考虑以下具有2个阻尼项的分数阶微分方程

(E)

其中0<γ≤1<β≤2<α≤3,0

Sheng在文献[2]中讨论了下面方程的解的存在性和唯一性

其中0<β≤1<α≤2,0

其中cDq是0

本文在上述文献的基础上,研究初值问题(E)解的存在唯一性.先给出本文需要用到的定义.

定义[3]函数x:[0,∞)→的α阶Riemann-Liouville积分定义和Riemann-Liouville导数以及Caputo导数的定义为

下面给出证明结论需要用到的引理和一些典型结果.

设J=[0,T],定义从J到n的所有连续泛函组成的空间C(J,n)是巴拿赫空间,∀x(t)∈n,定义上确界范数‖x‖c=sup{|x(t)|:t∈J},其中|x(t)|(·)是任一向量范数(比如1范数,2范数,∞范数),‖(·)‖是由向量范数导出的矩阵范数. 例如,若向量范数定义为1范数,即向量x=(x1,x2,…,xN)的向量范数为那么矩阵范数为矩阵1范数,即矩阵A=(aij)n×n的范数为

由Riemann-Liouville积分和Caputo导数的定义,可得下面的复合运算结果.

其中t>0,α>0和n-1<α≤n.

函数δ(t)的Lp范数定义为

x(t)≤a(t)Eγ[g(t)(Γ(α)tα+Γ(β)tβ)],

1 主要结果

首先给出下面3个条件

(Ⅰ)函数f:J×n→n是连续的.

|f(t,x1)-f(t,x2)|≤l2(t)|x1-x2|.

为了方便,我们给出下边的记号

定理假定条件(Ⅰ)-(Ⅲ)成立. 如果

那么方程 (E) 有唯一解.

(1)

由(1)式以及条件(Ⅰ),可知G是明确定义的.

(2)

根据引理2,可得

(3)

将(3)式带入(2)式,可得

‖x1-x2‖cK≤‖x1-x2‖c.

可知G是一个压缩映射.