巧构一次函数模型 妙解生活决策问题

陈军

数学来源于生活，又应用于生活。用生活中的信息构建数学模型，既能解决实际问题，又能彰显数学魅力。下面，老师以生活中的实际问题为例，与同学们谈谈如何构建一次函数模型来解决决策性问题，希望对同学们的学习有所启迪和帮助。

问题1：学校欲购置一批标价为4800元的某种型号电脑，需求数量在6～15台之间。经与两个商店商谈，优惠方法如下：

甲商店：购买电脑打八折;

乙商店：先赠一台电脑，其余电脑打九折优惠。

设学校欲购置x台电脑，甲商店购买费用为y甲（元），乙商店购买费用为y乙（元）。

（1）分别写出购买费用y甲、y乙与所购电脑x（台）之间的函数表达式;

（2）对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更划算。

【分析】问题（1），可直接根据甲商店和乙商店优惠的条件，得出函数表达式;问题（2），要确定这所学校购买哪家电脑更划算，也就是到哪家购买电脑的费用更少，实际上就是分类讨论甲商店购买费用与乙商店购买费用的大小关系，结合（1）的表达式，运用方程和不等式即可解决问题。

解：（1）由题意可得，y甲=4800×0.8x=3840x（6≤x≤15）;y乙=4800×0.9（x-1）=4320x-4320（6≤x≤15）。

（2）当3840x=4320x-4320时，解得x=9，即当购买9台电脑时，到两个商店购买费用相同;当3840x<4320x-4320时，解得x>9，即当10≤x≤15时，到甲商店更划算;当3840x>4320x-4320时，解得x<9，即当6≤x≤8时，到乙商店更划算。

【点评】本题考查应用一次函数模型解决实际问题的能力。读懂题目信息，理解“更划算”的实际意义，并将其转化为数学语言，再构建数学模型是解决本题的关键。

问题2：某工厂计划生产A、B两种产品共50件，已知A产品成本2000元/件，售价2300元/件;B种产品成本3000元/件，售价3500元/件。如果该厂每天最多投入成本140000元，那么该厂生产的两种产品全部售出后，最多能获利多少元？

【分析】由于该工厂计划生产A、B两种产品的件数都是变量，因此，可建立该厂每天生产A种产品x（件）与两种产品全部售出后共可获利y（元）之间的函数表达式，再根据问题中的条件“该厂每天最多投入成本140000元”建立关于x的不等式，求得x的取值范围，从而根据函数的性质确定该厂生产的两种产品全部售出后，最多可获得的利润。

解：设该厂每天生产A种产品x件，两种产品全部售出后共可获利y元。由题意可得y=（2300-2000）x+（3500-3000）（50-x）=-200x+25000，

即y与x的函数表达式为y=-200x+25000。

∵该厂每天最多投入成本140000元，

∴2000x+3000（50-x）≤140000，

解得x≥10。

∵y=-200x+25000，

∴当x=10时，y取得最大值，此时y=23000。

答：该厂生产的两种产品全部售出后，最多能获利23000元。

【点评】本题巧妙地利用待求问题与变化量之间的关系建立一次函数表达式，考查了同学们灵活应用一次函数、一元一次不等式等知识解决实际问题的能力。解答本题的关键是构建一次函数数学模型。

总之，数学无处不在。数学知识是解决生活问题的关键，建模是解决实际问题的一个重要手段，而构建一次函数模型解决实际生活中的决策问题，又是常见的方法之一。学习函数不仅能帮助同学们形成良好的数学思维，还能提高同学们解决实际問题的能力。

（作者单位：江苏省建湖县秀夫初级中学）