库伦主动土压力的数解法及其应用

张宁宁

1776年，法国工程师库伦根据挡土墙后滑动土楔体处于极限平衡状态时的静力系平衡，提出一种土压力计算方法，即库伦土压力理论，该理论有3个基本假定：即平面滑动面假定、挡土墙为刚性、楔体土体处于极限平衡状态。库伦主动土压力公式最早是从无黏性土（c=0，q=0）情况下得出的，其后推广到了适用于各种墙背形状和填土面，边坡规范列出了该公式。这一古典理论不仅具有足够的计算精度，而且一直广泛沿用至今。《建筑边坡工程技术规范》（GB50330-2013）、《建筑地基基础设计规范》（GB50007-2011）规范指出，当挡墙后土体破裂面以内有较陡的稳定岩石破面的主动土压力合力计算公式，《建筑地基基础设计规范》（GB50007-2011）规范指出较陡坡脚为，但两本规范均未提出当土体破裂面与稳定围岩的夹角以及填土面有均布荷载时的计算方法。因此，现通过数解法，推导出适用于上述条件的库伦主动土压力计算公式，为从事边坡设计的工作者提供一定参考。

1.数解法公式推导

当墙后土体表面有均布荷载q作用时，土压力可换算成当量土厚为：

式中：

γ—土体重度，kN/m3。

当墙后土体表面倾斜、墙背也倾斜时，土压力仍可换算成当量土厚为h′，采用延长墙背法，延长AB至AE，见图1。

图1 土体表面倾斜示意图

由图1并根据正弦定理得，滑裂面滑

滑楔体自重

由 图 知，AF=h，∠EAF=90°-α，∠AEF=α+β，则∠AFE=90°-β在△EAF中，根据正弦定理：

所以均布荷载q作用在墙背上的主动土压力为：

Ka为主动土压力系数；

则作用在墙背上同时考虑了粘聚力c与均布荷载q的总主动土压力：

2.不同岩坡坡脚土压力计算

图2 不同岩坡坡脚滑裂面情况

该情况与规范公式相一致，此时将式（7）中的φ→δγ，δγ为填土与岩石坡面间的内摩擦角，此时

简化情况（a）：当c=0，q=0

将式（1）、（2）代入（7）中得到：

式中：

G—为滑动楔体自重，kN/m。

简化情况（b）：当c≠0，q=0

将式（1）、（2）代入（7）中得到：

当θ为实际岩石与填土的夹角时，此时土压力情况同的计算公式相一致。

3.实例计算

某建筑旁有一稳定的岩石山坡，坡脚60°，依山拟建挡土墙，墙高6m，墙背倾角75°，墙后填料采用砂土，重度20kN/m3，内摩擦角28°，表面均布荷载为20kPa，土与墙背间的摩擦角为15°，土与山坡间的摩擦角为12°，墙后填土高度为5.5m。计算挡土墙的主动土压力；若坡脚为45°，则此时土压力为多少。案例图见图3。

图3 案例图

解：

第一问：

情况一，取θ=45°，沿土与岩石面滑动。

情况二，取θ=59°，沿 土体内滑动。

（a）简化公式计算Ka1：

（b）理论公式计算Ka2：

Ea1≈Ea2，用Ka1代替Ka2基本合理。

综合以上两种情况，Ea取大值，Ea=389.40kN/m。

通过对比发现，此时沿岩石坡面仍为最不利滑面，计算的土压力最大，按照库伦土压力公式理论，破裂面与大主应力面的夹角为时计算的土压力应为最大，这是因为土与岩石滑动面之间的粘聚力与内摩擦角小，较土层内部滑动的粘聚力和内摩擦角小。

4.结论

通过数解法，文中得到以下结论：