考虑弱耦合关系的全维灵敏度矩阵快速VCA方法

李英量，王康，王德明，朱豪，武晓朦

(西安石油大学 电子工程学院，西安 710065)

0 引 言

随着电力系统的不断升级，电力网络结构日趋紧密和复杂。当系统出现局部电压失稳而又无及时有效的调控手段时，将有可能波及全网[1]，乃至影响整个电网的安全稳定运行。将整个电网划分为若干个具有稳定特征的区域，并采用合理的无功电压控制方案，不仅可以加强局部电压控制，保证区域无功需求和电压合格要求[2]，而且对维持整个电网安全稳定运行意义重大[3]。

在各种电压控制策略当中，使用较为广泛的是由法国电力公司提出的分级分压控制策略{Paul, 1987 #27}{Paul, 1987 #27}[4]，该控制系统已广泛应用于国内外电气工程实际当中。分级电压控制可分为三个控制等级[5]，分别涉及到不同的控制功能和地理位置。其中初级电压控制和三级电压控制设置在系统的供电单位和调度中心，分别实现就地控制和全网控制功能。二级电压控制一般设置在系统的枢纽变电站，用来实现区域控制的功能，是实现分级电压控制的核心环节[6]。

无功电压控制通过将系统划分为互相解耦的控制区域来实现二级电压控制，而在无功电压控制方法中，研究如何快速有效的分区方法具有重要的价值。文献[7]考虑了发电机的无功电压响应，在无功源控制空间中利用层次聚类方法进行分区，从而将原分区问题转化为高维空间分类问题；文献[8]采用局部稳定指标来定义电气距离，并使用内外图层叠加法实现了对复杂网络的分区；文献[9]结合无功电压控制分区的问题，利用SAGA聚类法对系统所有节点进行快速、有效地分区；文献[10]将PV节点的灵敏度加入原负荷节点灵敏度矩阵中，利用SAS聚类一次求取分区结果，并对分区结果进行电压越限问题的处理；文献[11]通过选取合适的阈值去除小元素，利用雅可比矩阵中有功、无功对电压偏导的等维度子矩阵之和进行无功电压分区。分区方法既考虑了有功对电压的影响，又不会掩盖无功的主要作用；文献[12]提出了一种综合电气距离指标，并以节点之间电气距离的特征期望作为分区的权重，降低了PQ和PV节点分区的复杂程度；文献[13]针对传统分区伸缩性不强的缺点，提出了一种基于网络拓扑的映射分区法，可以保证区域内被控节点与对其控制能力最强的无功源节点同属一个分区。上述文献或采用不同方法使电源节点归并至负荷区域，或利用逐次递归原则分步聚类，其目的都是保证分区的无功控制和地理邻近，但是分区的步骤及计算量却略微复杂。

采用多次聚类分析和节点类型调整的传统分区方法存在一定的复杂性。针对此类问题，文中提出了一种考虑弱耦合关系的全维灵敏度矩阵快速VCA划分方法。新方法利用有功功率和电压相差之间的弱耦合关系修正传统方法中的灵敏度矩阵结构，使分区结果更加准确合理。采用凝聚的层次聚类方法一次对各类节点进行处理，不仅缩减了分区步骤，而且提高了分区效率。由于系统在重负载情况下不存在PV解耦，所以新方法利用有功对节点电压幅差和无功对节点电压相差的偏导数来反映系统弱耦合的事实，并得到了合理的分区结果。

1 基于灵敏度电气距离的计算方法

1.1 节点灵敏度计算解析

灵敏度分析法是无功电压控制分区中最常用方法之一，其核心的步骤是计算节点之间的灵敏度强弱以及电气距离的大小。极坐标下的节点功率方程为：

(1)

式(1)是关于节点电压的非线性方程组，在潮流计算中通常以功率变化量的形式表达。通过求解网络功率的不平衡量，利用牛拉法潮流计算修正系统注入功率，并得到线性方程组：

(2)

假设系统1～m是PQ节点，m+1～n-1为PV节点，n为平衡节点。将式(2)按Taylor级数展开后略去其高次项，可得到矩阵表达形式如下：

(3)

式中ΔP、ΔQ分别表示节点注入的有功及无功功率变化量，其由潮流计算生成的雅可比矩阵J和节点电压的相差ΔU/U、幅差Δδ计算得出。

潮流雅可比矩阵中各子矩阵元素定义如下：

(4)

(5)

式中Hij、Nij、Jij、Lij为雅可比子矩阵，反映了功率与电压之间的偏导关系以及各子矩阵的元素相关性，为构建灵敏度矩阵提供了必要条件。

基于输电线路中电抗X与电阻R的关系，以及节点灵敏度矩阵构建时功率与电压的关系，构建四种灵敏度矩阵结构：

(6)

文章采用上述第四种灵敏度矩阵构建方式，其物理意义是研究无功电压控制分区中功率和电压之间存在的影响。这种构建方法的优点是全面考虑了N和J子矩阵的影响，并基于无功电压的主控制性排除了H子矩阵的干扰。由于N和J对应的耦合关系弱，所对应的雅可比子矩阵元素数值很小，不会影响无功对电压控制的主要作用。若要实现快速雅可比解耦，则需对雅可比矩阵中非对角耦合项进行修正[14]。

利用节点之间的电压幅差量化灵敏度矩阵：

(7)

式中αij表征节点之间的电压耦合，可通过节点之间电压变化的最大衰减来量化。在节点j处注入无功功率，将节点i与节点j的电压偏移之比定义为量化后的灵敏度矩阵。αij矩阵中元素的数值越小，节点间电气连接的紧密程度就越小，电气距离就越大，反之则节点之间的电气距离越小。当i=j时，表示节点对自身的灵敏度大小为1；当i≠j时，因为系统中存在其它节点的影响，导致一个节点注入无功对另一个节点的电压控制不具有对称的性质，所以灵敏度矩阵为非对称矩阵。

1.2 电气距离的计算

由灵敏度矩阵可推导出电气距离矩阵，其非对角元素关系为：

dij=dji

(8)

定义电气距离矩阵元素dij为：

dij=-αij×αji

(9)

通过考虑节点电气距离的区分度以及距离本身具有的对称性，构建电气距离的映射函数。将灵敏度矩阵元素对数变换，可以扩大坐标之间的差异性，从而更好的表征距离的区分度：

Dij=-lg(αij×αji)

(10)

式中电气距离矩阵Dij为(m×m)阶矩阵，负号是为了确保电气距离矩阵的正定性，其对角元素为0。

由于空间电气距离的映射函数相比于节点之间的实际电气距离(节点等效阻抗距离)能够更加真实地反映节点之间的电气连接性，文中采用空间映射函数来定义电气距离实用性更强。

2 弱耦合全维灵敏度分区方法

针对传统无功电压分区中先负荷分区，再人工归并电源节点的过程存在复杂性的问题，文中拟构建一种同时考虑无功源节点的分区模型。通过计算获得了同时包含PQ、PV节点的全维灵敏度矩阵，以此获得了考虑PV节点的全维电气距离矩阵。

在系统PV-PQ节点类型转换的问题中，一个PV节点的无功功率变化对其他PV节点电压幅值的影响较小。通过分区实验可知，PV节点类型转换之后引起电压幅值和雅可比矩阵元素的变化较小，反映到灵敏度矩阵和距离矩阵中变化同样不大。基于以上分析，文章提出了新的分区方法。

2.1 建立全维灵敏度矩阵

电力系统中无功与电压的关系可以在雅可比矩阵元素中体现。基于文章1.1中灵敏度矩阵的构建方法，加入无功源节点的灵敏度信息构建包含无功源节点的全维灵敏度矩阵。

2.1.1 对节点类型进行处理

(1)通过潮流计算得到雅可比矩阵，并考虑对雅可比子矩阵进行变换；

(2)通过节点类型的变换，一次性将除平衡节点以外的PV节点设置为PQ节点，进行潮流计算；

(3)在传统连续潮流计算中，由于平衡节点电压等级相对较高且负荷集中，若潮流产生的有功变化量全部由人为选择的系统平衡节点来承担，会使得潮流计算的结果受到平衡节点选择的约束。

在处理平衡节点时，将平衡节点的类型转换为PQ节点，并选择一个电压等级比较高的电源节点作为新的平衡节点。如此做法的意义是保证在重新进行潮流计算时，能获得与原潮流接近的结果。因为雅可比矩阵的计算不考虑平衡节点，所以文中的分区过程也不考虑平衡节点的灵敏度计算，平衡节点在分区结束后以地理邻接关系直接就近归并。

2.1.2 构建全维灵敏度矩阵

通过上述方法先进行节点类型的转变，再进行潮流计算，可以获得包含无功源节点的全维雅可比矩阵Jmax：

(11)

Svq2=-(L(n×n)+N(n×n)+J(n×n))-1=

(12)

节点类型转换之后对系统无功和电压的偏导影响较小，可以预计新生成的全维灵敏度矩阵中与原负荷节点灵敏度矩阵相同维度的部分变化不大。因此，文中所构建的全维灵敏度矩阵是正确有效的。

最后，量化全维灵敏度矩阵并求取电气距离，以此进行快速VCA的划分：

(13)

2.2 聚类分析实现快速VCA

聚类分析(Cluster Analysis)是一种多元数据统计的方法[15]，其分类统计的对象是多元参数变量或样本数据，目标是使数据在具有一定的相似程度的基础上进行区域划分。聚类分析的方法通常被用作描述数据之间的多元性质，衡量数据源之间的相似程度，并根据相似度将数据源划分在不同的簇中，因此VCA的划分问题也常采用聚类方法[16]。VCA划分的目的是分出区内强耦合，区外弱耦合的无功电压控制区域，从而更好地进行区域控制。VCA也是实现二级电压控制目标的最优方法之一，与聚类分析的定义一致。文章1.2中所建立的电气距离矩阵元素，可以作为节点之间“相异”特性的度量标准进行聚类。

基于层次聚类法对电力节点系统进行分区，分区流程如图1所示。

图1 全维灵敏度聚类分区流程Fig.1 Partitioning process of full-dimensional clustering

利用凝聚的层次聚类方法进行划分，并根据最小簇间距离依次合并，直至簇的个数满足分区要求为止。在此合并距离的过程中，最关键的因素是定义距离的类型。类间距离的定义有许多种，文中采用离差平方和(Ward)距离进行聚类[17]，可以保证每次合并类间的离差平方和最小。聚类过程如下：

(1)利用Matlab将距离矩阵D2从方阵的形式转化为上三角形矩阵Y，Y中的所有元素作为节点之间的初始合并距离；

(2)因为合并过程中的距离越小，簇间的联系就会越紧密，分区结果的稳定性也就越高。因此，利用Ward距离计算(1)中合并距离的聚类效果优于其他几种类间距离；

(3)通过聚类评价信息函数，测评聚类的效果与实际电网的相符程度；

(4)通过逐级聚类法构建数据集，选取节点簇所对应的合适阈值进行切割；

(5)通过确定聚类分区的数目来构建聚类谱系图，并分析谱系图中合并距离的增幅，确定合理的分区数目。

通过聚类分析之后得到分区结果，其合理性判断的标准如下：

(1)划分结果中各控制区域内具有强耦合性，区域外具有弱耦合性；

(2)分区数量适中，便于整体控制；

(3)控制区域内的节点满足地理邻接关系；

(4)分区过程中节点的归并均匀，并能够保证所有区域均含有无功源节点，以达到无功对电压控制的要求。

3 算例分析

IEEE 9节点、IEEE 39节点系统均含有无功源节点，适用于文中所构建的全维灵敏度模型。文章以这两种节点系统为算例，通过所提的新方法分析电力网络的无功电压控制，并基于Matlab对两种算例进行仿真分析。

3.1 IEEE 9节点

以IEEE 9节点系统为例，其包含六个负荷节点、三个无功源节点(包含平衡节点9)。利用文中所提的考虑弱耦合关系的全维灵敏度法对9节点系统分区，得到与原负荷节点相同维度的部分电气距离矩阵如表1所示。

对比传统分区方法中负荷节点的电气距离[18]，文中考虑无功源节点对负荷区域的影响而得出的合并距离数值较小，但在满足清晰区分度的基础上具有均匀的增长幅度。IEEE 9节点系统网络拓扑分区见图2。

表1 部分节点分区电气距离Tab.1 Electrical distance of partial node zones

图2 IEEE 9节点网络拓扑分区图Fig.2 Partitioning diagram of IEEE 9-node network topology

由图2可知，考虑全维灵敏度矩阵的电压分区方法可以兼顾节点地理位置的邻接性，分区结果更加合理。图3为节点合并过程的分区谱系图。

图3 全维灵敏度IEEE 9节点分区谱系图Fig.3 Full-dimensional sensitivity IEEE 9-node partition spectrogram

图3中负荷节点合并过程与传统负荷区域合并过程一致，体现了文中所提方法存在的PV耦合情况对于负荷节点合并过程的扰动很小。结合文中2.1节的描述，因为雅可比矩阵的维度存在限制，所以得到的分区结果包括除平衡节点以外的8个节点。结合文中2.1节的描述，将平衡节点就近归并至网络拓扑结构中地理邻近的{1、2、3}节点簇中即可。表2为IEEE9节点系统3分区结果，分区结果中每个控制区域均包含无功源节点。

表2 IEEE 9节点全维灵敏度分区结果Tab.2 Full-dimensional sensitivity partitioning results of IEEE 9 node

在传统方法对PV节点的归并过程中[19]，将三个无功源节点7、8、9分别归并至各负荷节点的控制区域中，使分区的结果与文中方法结果相同。

表3为系统全维灵敏度聚类分区的合并过程，其包括仅考虑L矩阵的传统合并过程[20]与文中考虑弱耦合关系的新合并过程。

表3 全维灵敏度9节点系统聚类分区合并过程Tab.3 Partition merging process of full-dimensional sensitivity IEEE 9-node clustering

分析节点三分区的合并过程可知，文中方法的节点簇{1、2、3}的合并距离为0.342 3，节点簇{4、7、5、6、8}的合并距离为0.532 7，两者距离差为0.190 4。传统方法中节点簇{1、2}的合并距离为0.404 6，节点簇{6、8、3、4、7、5}的合并距离为0.540 4，两者距离差为 0.135 8。虽然在传统分区方中三分区结果可以体现出PV节点的合理归并，但是相比于文中方法，传统三分区的区分度较小。聚合过程中所提方法的合并距离增长更匀称，三至二分区的合并距离较长。不仅增强了区域数量划分的合理性，而且更能够体现分区之间的区分度。基于以上分析，选取文中所提方法更合理。

PV节点的归并过程中，耦合程度是较大影响因素。若使用传统灵敏度分区，电源节点7会在负荷节点5之前归并，而使用文中所述方法分区，电源节点7会在负荷节点5之后归并。新方法体现了区域内无功对电压的强控制能力，其归并过程也更加合理。

3.2 IEEE 39节点

IEEE 39节点是由10个无功源节点(包含平衡节点31)，29个负荷节点组成的节点系统，利用文中所提考虑弱耦合关系的全维灵敏度的方法进行电网分区。

表4为39节点系统6分区结果，其每个控制区域内均包含有无功源节点，且与传统方法对IEEE 39节点系统的PV节点归并结果一致。图4是IEEE 39节点网络拓扑分区图。

表4 IEEE 39节点全维灵敏度分区结果Tab.4 Full-dimensional sensitivity partitioning results of IEEE 39 node

图4 IEEE 39节点网络拓扑分区图Fig.4 Partitioning diagram of IEEE 39-node network topology

由图4可知，采用文章所提方法进行分区可同时满足各节点之间的地理邻接性，使分区结果稳定可靠。

结合2.1中的方法来处理平衡节点，先将系统平衡节点(节点31)设置为PQ节点，再考虑到雅可比矩阵具有维度限制，将具有相近电压等级且存在有功、无功裕度的节点39设置为新的平衡节点并进行无功电压控制分区，可以得到38个节点的分区结果。对于新的平衡节点，将其就近归并至网络拓扑结构中地理邻近的{1、9}节点簇即可。

节点簇的合并过程中，节点1、9的合并过程与其他节点簇的合并距离大，表明了文中方法存在PV耦合的影响。

表5为39节点系统分区的部分合并过程，由于节点簇内的节点数量过多，结合篇幅限制，上表节点簇中的数字分别代表了集成节点的归并过程。分析表5可知：文中方法的分区数量由6凝聚为5的过程中合并距离增幅为0.033 9，而传统方法过程中分区数量由6凝聚为5的合并距离增幅为0.010 1。虽然两种归并过程都可以表征分区之间的相异程度，但是文中考虑弱耦合关系构建灵敏度的方法得到的结果区分度更佳。

分析聚类谱系图(图5)可知：文中方法节点合并的过程中，所有无功源节点都缓慢而均匀地并入负荷节点的区域之中，未出现无功源节点在负荷节点之前归并的不良情况。传统分区方法中电源节点32的归并过程在负荷节点12之前，对比系统内其它无功源节点的归并过程，传统方法的PV耦合程度更严重，证明了文中方法在归并过程中的优越性。

表5 全维灵敏度39节点系统部分聚类合并过程Tab.5 Partition merging process of full-dimensional sensitivity IEEE39-node clustering

图5 全维灵敏度IEEE 39节点分区谱系图Fig.5 Partition spectrum of full-dimensional sensitivity IEEE 39 node

分区数量由6凝聚为5时合并距离明显增大，且在此合并之前所有节点都均匀缓慢合并为簇，合并距离较小且增长缓慢，节点彼此之间联系紧密。而在6分区合并之后合并距离明显变大，导致合并代价随之增高。

一般来说，系统所有节点合理的最优聚类数上限为根N[21-22]。式(14)表示分区上限要求，K表示分区个数。

(14)

综合以上条件，针对39节点系统进行聚类分析，合理分区数为6，符合最优聚类数区间的要求。系统在重负载情况下不存在PV解耦的情况[25]，因此在节点类型转换的过程中，应当考虑PV节点一次电压控制的自动电压调节所带来的物理响应。

4 结束语

文章针对传统无功电压分区中PV节点归并过程复杂的问题，提出了一种考虑弱耦合关系且包含无功源节点的快速VCA方法，分析可得：

(1)文中所构建的全维灵敏度矩阵综合考虑了PQ、PV节点间电气相关性和节点功率、电压间的耦合性，使分区过程更加合理；

(2)文中提出的节点类型转化方法不仅大大降低了传统分区方法中多次潮流计算对分区结果带来的不利影响，而且考虑了平衡节点的归并问题。

以IEEE 9、IEEE 39节点系统为例，应用凝聚的层次聚类算法进行全网统一分区仿真分析。结果表明，采用文章所提方法可以保证区域外弱耦合性与区域内的强耦合性，并且在PV归并的过程中更具有优越性，为电力系统的VCA划分提供了更为便利的选择。