翻转课堂在地方院校数学建模教学中应用的可行性探讨

黄慧青 温坤文 胡汉章

摘  要：随着计算机技术的迅速发展，数学建模在现在应用数学领域中的作用也日益显得更加重要。各高校为培养高质量、高层次的应用型人才，都开设了数学建模这门课程，因此，对数学建模教学设计的研究具有重要的现实意义。文章研究了当今地方院校数学建模的现状，并指出传统的以授课为主的教学模式已不再适合数学建模这门课程。从而引入翻转课堂这一教学模式，借鉴翻转课堂的基本要求，我们探讨了包含课前自学、课中知识内化、课后提高与考核的数学建模教学模式。这一教学模式的主要优点是可以调动学生学习积极性、发现问题与分析解决问题的能力，促进学生利用所学知识解决实际生活问题。

关键词：翻转课堂;数学建模;地方院校;教学改革

中图分类号：G640 文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2022）01-0096-04

Abstract： With the rapid development of computer technology， mathematical modeling plays an increasingly important role in the field of applied mathematics. In order to cultivate high-quality and high-level applied talents， all colleges and universities have set up the course of mathematical modeling. Therefore， the study of mathematical modeling teaching design has important practical significance. This paper studies the present situation of mathematical modeling in local colleges and universities， and points out that the traditional teaching mode is no longer suitable for the course of mathematical modeling. Thus， the flipped classroom teaching model is introduced. By referring to the basic requirements of flipped classroom， we discuss the mathematical modeling teaching model， which includes self-study before class， internalization of knowledge in class， and improvement and assessment after class. The main advantage of this teaching mode is that it can mobilize students' learning enthusiasm， discover and analyze the ability to solve problems， and promote students to apply the knowledge they have learned to solve problems in real life.

Keywords： flipped classroom; mathematical modeling; local colleges and universities; teaching reformation

二十一世紀以来，随着计算机技术的飞速发展，信息技术也得到了快速的发展。从而对传统的教学方法带来巨大的冲击，推动高校对传统的黑板、粉笔与三尺讲台教学方法进行改革，现在多媒体教室已成为必不可少的教学工具。而近几年大数据、人工智能等新技术的出现，这些新手段给大学教学提供了有效的帮助，从而推动了高校教育教学的改革。因此，近十年来，探讨如何将信息技术、大数据等新技术更好地融入到教学中去成为教学研究的新热点[1-2]。

对于数学在我们生活中的重要性，我国著名的数学家华罗庚说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。[3]”这句话完美地阐述了数学与生活的关系。高校数学课程改革方向也是强调培养能运用所学数学知识解决现实生活问题的学生，而数学建模的课程培养目标正是培养能灵活运用所学的数学与相关学科的知识解决现实生活问题的学生，其对培养当代大学生创新能力和实践能力的效果是目前大家比较认可的，也是能有效地提高当今大学生各方面综合素质的重要途径之一。因此，如何上好数学建模这门课是现在很多高校面临的挑战。与大部分的数学课程不同，数学建模这门课程注重动手操作与实践。数学建模为学生在日常生活中遇到的问题与数学知识之间架起了一座桥梁，从而体会到生活中无处不用数学，感受到数学的实用性，进而激发学生能自觉利用自己所学数学知识来解决现实生活中的问题，做到学以致用，让学生进一步体会数学的价值和作用，激发学生学习数学的兴趣[4]。

美国学者Lage等在其论文“Inverting the Classroom： A Gateway to Create an Inclusive Learning Environment”中，首次介绍了他们采用新的教学模式“翻转教学”教授“经济学入门”以及由此而取得的成绩[5]。在论文中，他们并没有用“翻转课堂式”或“翻转教学”来定义这种新教学模式，且这种教学模式也没得到广泛地推广。直到2007年，美国科罗拉多州林地公园中学的两位教师Jon Bergmann和Aaron Sam为了让缺席的学生不至于落下太多课，他们自己使用视频软件录制了PPT并附上他们的讲解声音，并把这些录好的视频内容上传到网络，让缺席的学生在家进行网上学习。由于教学效果显著，不久之后他们进行了更大范围地尝试，不再局限只是那些缺席的学生在家看视频，所有的学生都在家先观看预先录制好的视频，而在课堂上老师则主要对学生集中的问题进行解答，或者给在做实验过程中遇到困难的学生提供必要的帮助。他们尝试后取得了非常好的效果，从而推动这个模式在美国中小学教育中的广泛使用。有学者提出，自从2012年，重庆聚奎中学的张跃国、张渝等教师对翻转课堂这种教学模式进行研究以来，国内教育研究者对翻转课堂的教学模式已开展了一些研究[6-11]。

一、翻转课堂的意义

基于所在学校的教学大纲与授课内容，课任教师先根据课程的重点、难点和部分新知识，录制教学微视频、PPT等知识资料，并将这些资料放在搭建好的网上学习平台;而学生在新课上课前，上网在学习平台上通过观看教学微视频或PPT进行自主学习新课;完成观看后，学生自主完成平台上的在线测试，从而加深对新知识的掌握，然后再带着在观看过程中产生的疑问与教师、同学们在课堂中互动交流与讨论，从而达到学生对所学新知识的完全理解和掌握。这种教学模式就称为翻转课堂（Flipped Classroom）又称颠倒课堂或反转课堂。翻转课堂这种教学模式的出现改变了一直以来在教学过程中主要是学生被动听课的状况，变为了课前学生先自主学习并发现问题的过程，然后在课堂加深理解新知识[12]。因此，翻转课堂的教学模式完全体现了新课改要求“以学生为中心”的教育理念，培养了学生自主学习的习惯，学生的学习状态也从以前的“要我学”的被动状态转变为主动的“我要学”的状态。

二、地方院校数学建模的教学现状

数学建模是利用所学数学知识去解决实际问题的重要手段，也是当前培养大学生创新能力和实践能力的重要途径之一。目前，地方院校都开设有数学建模这一门课程，但大部分的教学模式还是采用传统的教学方式，因此存在教学方法单一、教学手段落后以及课程内容多而课时不足的矛盾等问题[13]。以嘉应学院为例，数学学院数学与应用数学专业的学生在大二下学期开设数学建模这门课程，课程共有51个课时，其中34个课时为课堂授课，17个课时为上机实验课。众所周知，数学建模这门课程涉及的知识点多且广，因此一学期51个课时是远远不够的。而现在大部分地方院校仍没摆脱以讲授为主的教学模式，这样必然会减少学生动手操作的训练，从而学生慢慢地陷入被动学习的状态，制约了学生思维的发挥，创新能力也得不到有效地发掘。而数学建模这门课注重的是学生实际遇到生活问题时利用所学知识去动手实践的能力，因此以讲授为主的教学模式已不适合数学建模这门课程。不过，数学建模课程的这些特点却与翻转课堂的教学模式有着很好的契合度。因此，下面我们对在数学建模教学中引入翻转课堂模式的可行性进行了探讨。

三、翻转课堂下的数学建模课教学模式的探讨

近年来，随着科学技术的快速发展，更多便民电子产品的出现，如平板电脑、智能手机等，不仅给人们生活带来方便，更给人们的生活方式带来改变。这种改变也影响到教育领域，为教学的方法与手段增加了更多的选择。以此为契机，新的教学模式“翻转课堂”也应运而生。这种新的教学模式与传统的教学模式有本质的不同，其利用互联网技术把知识传授转移到网络上完成，而在课堂上通过教师、同学的交流与讨论完成所学知识的内化[14]。随着计算机技术与互联网技术的发展，在网上能找到许多优质的教学资源，这为翻转课堂的实现提供了大量的资源保障。

由翻转课堂模式的教学特点来看，翻转课堂模式具有两方面的突出优势，该教学模式突出了学生自主学习和自动思考的能力。在翻转课堂实施过程中，老师只负责指导学生学习，而相关的知识点的学习与讨论均由学生自主完成。因此，与以老师为主导学生被动学习的传统教学模式不同，翻转课堂的教学过程中的学生自主化程度很高，由要我学转化为我要学，从而极大地激发了学生学习的积极性。结合翻转课堂的这些优势与数学建模这门课程的特点，我们对教学过程进行划分，分为课前学生自主学习新模型环节、课中针对模型师生与生生讨论环节和课后提高环节。课前学生自主学习新模型环节主要依靠学生利用网络以及教师创建的学习平台进行的主动学习新模型及相关理论知识;在课中的模型讨论与应用环节，学生就课前自学部分对具体案例进行分组讨论并建模，而教师则在一旁加以指导;课后，教师则利用网络平台与学生进行远程答疑与交流。因此，我们将对于数学建模教学融入翻转课堂教学模式的可行性与有效性进行详细分析，期望能对数学建模教学现状有所帮助。

（一）数学建模教学资源平台的搭建

计算机技术的快速发展为教学的方式方法注入更多的可能，我们以超星学习通为平台， 根据数学建模的教学大纲，利用教学资料和网络上优秀的数学建模教学资源， 搭建一个学生可自主学习、师生互动方便、评价方式多元化等特点的数学建模教学资源库平台。教学资料包括数学建模课件、教学计划进度安排、教师自制录屏教学视频与课后练习等。网络上优秀的数学建模教学资源包括学习通上的教学包、微课视频资源、慕课教学视频资源与网络资源等。学生可自主学习是指搭建的平台里有数学建模课程的所有资料，如课件、教学视频、课后练习等，学生可自行借助智能电子产品登录平台进行课程的学习。互动方便是指老师与学生、学生与学生之间可以不受空间与时间的限制，只要有智能手机、电脑或平板电脑随时随地都可以互动交流，这样能更好地提高教学的效率。评价方式多元化是指在平台上学生与学生之间可以互相评价以及学生对教师的教学评价等，这样就可以互相学习、互相进步，因为有时自己对自己的学习有盲点，而旁人可能看得更清楚，这样防止大家多走弯路。在搭建的教学资源库平台上，教师依据数学建模课程的特点和学生的层次水平制定适合地方院校的教学目标、确定教学重点和难点，确定合适的教学内容，编制学习任务单。

（二）课前学生自主学习

数学建模是一门涉及知识面非常广的课程，涉及概率统计、最优化、回归分析、微分方程、神经网络、模糊数学、力学、图论等多学科的知识。因此，若所有的知识点都要放在课堂上讲授的话，必然会带来课时不足的问题并且也使得课堂效率很低。而采用翻转课堂这一教学模式，这些问题都会迎刃而解。课前教师会根据课程内容与教学大纲布置相应的学习任务，而学生的学习任务主要是观看数学建模教学资源平台上的教学视频、PPT 或提供链接让学生观看网络上优秀的教学视频，然后通过配套的练习题来检验自己的自学效果，并通过平台记录学生自学过程中的疑问及学生做练习题容易出错的问题。同时，有效地利用学习通进行交流互动，提高学习效率。例如，在讲解数学规划模型时，课前先让学生在数学建模教学资源平台上找出与数学规划模型相关的电子资料、PPT或视频资料，然后通过阅读或观看学习数学规划相关知识点，从而了解数学规划中不同类型的决策变量的区别，如何根据实际问题列出目标函数与约束条件。自学LINGO和MATLAB软件，下载数学规划实验内容，并打开LINGO或MATLAB軟件运行程序，然后对程序运行结果进行分析。学生在自学过程中遇到解决不了的问题，可以先把问题记录下来，并把问题发布到交流平台上与其他同学或老师进行交流。学生课前自主学习是实施翻转课堂教学的关键，因此只有精心准备好学生课前学习的内容与学习资料，才能吸引学生的注意力，让其主动学习，从而达到课堂教学的教学目的。

（三）课中学生将知识内化

学生经过了课前自主学习，已了解每次课堂要学习的相关知识，但如何把这些通过阅读文档或PPT，观看相关视频所得知识的内化过程是教学过程中至关重要的一环，也是检验实施翻转课堂教学模式是否成功的关键指标。在课堂中，教师首先针对课前学习时学生比较集中的问题进行讲解，这个过程不仅可以让学生对课前学习的知识进行回顾与梳理，也可以对学生在学习过程中比较薄弱的知识进行集中讲解，从而大大地提高教学效率。接着，让学生自愿组队，把学生分成若干小组，每一组人数为三名学生。然后提出一个现实生活中的实际问题，让学生利用所学的知识来解决这一问题。学生通过小组讨论、机理分析等，先利用所学的知识与新学习的知识对实际问题进行简单建模，然后通过模型分析与数值仿真测试，发现所建模型的优缺点，并以这些依据对模型进行改进，使得所建的模型能更贴切地反映实际问题，这样根据建模所求解的结果更为准确。在模型分析阶段，三人要把各自对解决问题的见解与思路详细地在小组中阐述并讨论，然后总结大家具有建设性的见解与思路，并把这些讨论中总结的建模思路及初步的模型用数学符号与文字表达出来。这里以文献[15]公平的席位分配的问题为例，根据权重的不同，席位分配的方案可以有很多，学生可根据自己对公平的理解和问题具体情况制定合理的席位分配方案，并把最终方案交给老师，由老师集中所有学生的方案，然后拿出几个比较有代表性的方案让学生进行讨论并指出各方案的优缺点，从而找出相对公平的席位分配方案。教师在这种互动式的课堂中，充当多种角色，不再仅仅只是课堂上解答问题的老师，也是课堂的组织者与引导者。在课堂上，教师要组织好学生快速进入学习状态，若当学生遇到不能解决的问题时，教师要先倾听他们的疑问及建模的具体思路，然后根据他们的疑问与思路有目的的引导他们解决问题，在引导的过程中与他们一起讨论他们所要解决的问题。在这种多维互动式的学习氛围里，学生的思路与想法得到充分碰撞与融合，从而迸发出很大的学习合力。数学建模利用数学工具运用到具体生活的各个领域，能学以致用，可大大地增强学生学习数学的使命感。

在课后，教师对小组提交的建模小论文进行仔细评阅，根据论文的完成度给出初步的评语和成绩，并将这些评语和成绩反馈回各小组，这样有利于学生总结消化所学内容。教师评阅学生建模小论文也是了解学生学习情况的重要途径，可以通过学生提交的建模小论文的质量了解学生知识掌握程度。

（四）课后提高与考核

学生经过课中知识内化，已基本掌握了本节课所学的知识点，然而由于数学建模与传统数学课程不同，模型建立的有效性更需要数值仿真结果的支撑，这就需要大量的上机操作，对建模各参数多次调试才可能得到更趋于有实用价值的模型。而仅有课堂上那点时间是远远不够的，这就需要学生在课后多观察、多测试才能将课中所学知识巩固、吃透，从而完善课中建立的模型。课后总结提高不仅仅只是针对学生，同时对教师也提出了反思要求。教师要通过之前搭建的平台跟进学生课后学习的情况，了解学生对课中知识的掌握程度。根据学生反馈情况，反思这节课翻转课堂设计有哪里不够科学的地方，思考出现这种情况的深层次原因，从而避免再次犯类似错误。根据学生对课堂内容的掌握情况，也给教师教学内容灵活调整提供了重要依据，从而能更有效地设计好每一节课。

由于数学建模这门课的课程特点，是以学生的书面成绩为主要依据的，这种传统考核方式已不能全面反映学生真正的学习水平。因此，根据课程特点采取多元化的考核评分，包括学生自我评分、学生互评得分与教师评分，而它们在总评中的权重分别是10%、20%与70%。教师评分中包含教师对学生、对课程过程中各个过程的评分，主要有课前自学程度评分、课中表现评分、课后总结性评分。学生课前自学程度评分主要是根据平台里统计的视频观看时长、问题讨论次数等给学生打分（满分100分）。课中表现评分主要是根据学生课堂上所在组组员提问题与回答问题的情况、还有动手解决问题的能力等给学生打分。课后总结性评分主要是依据小组提交的建模小论文完成程度与完成质量给学生打分。课前自学程度评分、课中表现评分、课后总结性评分在教师评分中的权重分别为30%、30%、40%。而学生的总评成绩是通过进行加权平均得到的。

四、结束语

由于翻转课堂的教学模式与数学建模课程的特点具有很好的契合度，近年来翻转课堂在地方院校数学建模教学中的作用已越来越受到教师的喜爱， 也为地方院校的教学改革注入新活力与动力。翻转课堂在课前让学生自主学习并进行相关资料的搜索，从而提高学生的自学能力;在课中的分组交流与讨论不但提高了学生发现问题与解决问题的能力，也提高了学生的团队合作能力。这些都与当代高校教育教学改革的目的相一致，因此翻转课堂教学模式在数学建模教学中的实施与推广也必将推动地方院校教育教学改革。

参考文献：

[1]刘熹.云技术时代高校计算机的教学方法改革研究[J].电脑知识与技术，2019，15（17）：148-149+153.

[2]高祥民.云技术时代高校计算机的教学方法与手段的改革初探[J].中国多媒体与网络教学学报（上旬刊），2019（2）：87-88.

[3]华罗庚.大哉数学之为用[J].数学教学，1959（6）：1-3.

[4]杨军庆.数学教学中要关注学生实践应用能力的培养[J].小学数学教育，2014（11）：27.

[5]Lage M J， Platt G J， Treglia M. Inverting the Classroom： A Gateway to Creating an Inclusive Learning Environment[J]. The Journal of Economic Education， 2000，31（1）：30-43.

[6]沈书生，刘强，谢同祥.一种基于电子书包的翻转课堂教学模式[J].中国电化教育，2013（12）：107-111.

[7]蔡建东，贺玉婷，喻静敏.中学信息技术课翻转课堂教学模型构建与应用研究[J].现代教育技术，2014，24（12）：92-99.

[8]朱银芬.翻转课堂教学模式在数学建模教学中应用的可行性研究[J].科技视界，2019（19）：150-151.

[9]李伟，赵俊锋.翻转课堂模式下数学建模案例教学的实践与研究[J].教育教学论坛，2019（43）：191-192.

[10]刘清华.高职数学建模翻转课堂教学模式的优势特征及其教学操作[J].科技视界，2017（19）：20-21+19.

[11]梁道雷.基于线上+线下融合的离散数学翻转课堂教学实践探究[J].大学数学，2019，35（2）：45-49.

[12]陈玉玲.翻转课堂在高职数学建模教学中的应用研究[J].贵州广播电视大学学报，2017（2）：34-37.

[13]范馨月.高校數学建模课程改革的实践与探索[J].大学教育，2019（2）：77-79.

[14]盛璐.OBE理念与翻转课堂结合下的高等数学实验课教学的初探[J].数学学习与研究，2018（5）：26-27.

[15]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2018.