智慧课堂环境下建构式概念教学

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）提出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现。其中，数学抽象位于六大学科核心素养之首，是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础^[1]。实施以数学学科核心素养培养为指向的教学，旨在引导学生主动学习、个性化探究学习。目前，“畅言”等智能平台可以满足以上教学需求。新冠肺炎后疫情时代，数学教学乃至整个传统课堂教学都面临挑战，也面临机遇^[2]。如何使用现代化的人工智能技术支持师生互动、生生互动，帮助学生建构数学模型、理解数学概念，使课堂更智慧、高效，学习更个性化？笔者结合备课、授课实践谈自己的看法。

一、智慧课堂的优势

相较于传统课堂，智慧课堂的特点和优势主要表现在以下四个方面。

（一）教师备课更便捷

在智慧课堂环境下备课，操作更便捷，内容更全面。教师打开“畅言”智慧课堂软件的备课资源中心页面，可以获取教学设计、知识讲解、拓展素材、测试训练等相关内容。利用平台查阅资料非常方便，这也为备课提供了更多的思路。教师可以在电子课本中插入课件、素材，也可以标记、抓取关键内容将其插入课件，既便捷又全面。

教师通过平台推送资料，为学生提供全面的课前资源和课后资料。平台可以将教师准备好的文本、音频、视频、课件推送给学生，让他们在课前预习学案、资料。课后，平台可以将课堂上教师对关键题目的讲解视频推送给学生，多角度引导学生探究。

（二）教师教学方式更灵活

应用平板电脑，教师可以在讲课时走下讲台，走到学生中间，这样既拉近了师生距离又能更好地观察学生对教学内容的反应。教师可通过平板电脑控制教学进度，PPT和电子白板之间的轻松切换也为课堂讲解提供了便利。教师上习题课时，从PPT切换到电子白板，可完整呈现解题过程，讲解完后还可以通过屏幕推送。学生可以根据需要选择保存，如有必要可以将微课录制下来，以便课后查看。电子白板中数学学科工具的强大功能（如函数图象的直接插入），便于教师讲解题目。

（三）师生交流更有效

课堂上，教师可以选择全班作答，让学生上传答案，当堂了解所有学生的掌握情况，加强师生互动;也可以让学生当堂提交并相互评阅，实时交流学习成果，促进生生互动。这样互动有利于提高学生的注意力和专注度，学生通过分享交流及时调整方法与策略，提高学习效率。

（四）课后反馈更精准

相比传统模式，智慧课堂还可以将教学延续到课后。教师可针对学生作业中的问题，有针对性地录制微课视频进行辅导，帮助学生查漏补缺或拓展提升。智能平台还配有AI课后练习，根据每个学生课堂上对知识的掌握情况推送相似（变式）题目，帮助学生巩固所学。基于平板电脑的数据分析，教师可以查看学生近一段时间表现情况并组织学生进行自评和互评，为后续授课做好准备。

二、教学设计

“等比数列前项和”是人教A版选择性必修第二册4.3.2节的内容，下面以这节课为例谈如何使用智能平台教学。

（一）基于教材内容和学情分析确定教学策略

在本课之前，学生已经学习了等差数列、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前项和公式等数列相关知识。学生具备一定的观察、归纳和猜想的能力，也了解了一些求数列的基本策略和方法。但等比数列前项和公式的推导方法——错位相减法，对学生来说是一个难点，学生独立突破的可能性低。基于以上分析，教师确定本节课的教学重点和难点：等比数列前项和公式的导出及应用。

为突破教学重难点，教师分析教材结构和内容，考虑学生认知心理特征，借助“畅言”智慧课堂平台辅助教学，采用“问题探究—建构教学相结合”的模式，将整个课堂分为四部分：基于情境建立数学模型、基于数据分析对公式进行猜想、通过逻辑推理对公式进行推导证明、对公式的简单应用。这四部分是层层递进、阶梯上升的，有利于学生建构自己的知识体系。

（二）教学过程

1.课前预习任务

课前，通过“畅言”智慧课堂平台发布预习任务。

在世界数学史上，对数列的讨论由来已久。在中国，古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张丘建算经》等著作中作者对等比数列前项和都列举过计算的例子。教师让学生查阅资料，自选一个角度来阐述在查阅等比数列求和资料中自己感兴趣的点，写一篇小文章。学生将查阅资料过程中的困惑记录下来并利用平板电脑提交。带领学生复习等比数列的概念和通项公式。

设计意图：让学习真正发生，教师要有“让”的意识。为实现“学生先思，教师后结”，先给学生充分的时间自学和互学，激发学生学习的积极性和主动性，引导学生循着历史上等比数列求和的发展过程，去探索发现。教师通过智慧课堂平台的反馈，及时了解学生的学情，进行二次备课。

2.课堂活动

（1）创设情境。

①将平板电脑的互动模式设置为“学生讲”，找几个学生分享自己找到的关于等比数列求和的资料，反映困惑与问题。

②出示古书中关于等比数列求和的问题。

A.古巴比伦泥板M7857上记载的等比数列 99，891，8 019，72 171，649 539的求和问题。

B.约公元前1650年，一个名叫阿莫斯的埃及祭主在莱茵德草书上记下了一个问题：“有7座房屋，每座房屋有7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7粒麦穗，每粒麦穗含7个麦子容积单位，问房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子容积总数是多少”。

C.国际象棋起源于古印度。相传国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他想要什么。西萨说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个格内放1粒麦子，第2个格内放2粒，第3个小格内放4粒，照这样下去，每个小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到放完64个格子。”请问：这位发明者想要多少颗麦粒？

让学生尝试解决古书中记载的这些问题，并用数学式子加以表示。（采用随机选人的方式提问，有利于提高学生学习的专注度）

（2）探索学习。

①数学抽象：

建模：以上述求麦粒的数目问题为例，数麦粒问题实际上是计算1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³的问题，即求以1为首项、以2为公比的等比数列的前64项和。

思考：上述三个问题是否属于同一类问题？能否建立一个更大的数学模型来描述这类问题？

提问：如何求以为首项，以为公比的等比数列的前项的和？

设计意图：组织学生展示课前获取的信息，激发学生学习的主动性。教师以数学史上的三个经典问题引入新课，正好与学生课前的准备相呼应。教师通过一系列的问题将故事情节与相关知识点联系起来，引导学生从数学的角度看待故事中的问题，并用数学语言将其转化为等比数列求和问题，建立数学模型，用以训练学生数学抽象和信息理解能力。

在智慧课堂平台的支持下，课堂角色可以随时转换，教师可以让学生做主角展示，也可轻松切换回来。此过程中学生是课堂的主体，教师是课堂的主导者。

②公式推导：

计算=++²+…+ ^-1，先从第三个问题（一棋盘摆麦粒）入手研究。

【思考1】如果用特殊值法猜想，第三个问题的公式是怎样的？

【思考2】如果将公比换成，那公式是不是-1？如果不是，请举一个反例。

（使用抢答功能，让学生积极参与课堂活动）

【思考3】在平板电脑上使用课堂资料里推送的文件（公式已经编辑好了，如图1所示），在表格中改变的取值观察对应的数值变化，猜想一下首项是1、公比是的前项和公式是什么。（解锁学生的平板电脑，让学生使用文件来完成，这样避免了烦琐的计算，还可以让学生换几个数验证自己的结论）

上式成立的条件是1。

【思考4】首项是、公比是的前项和=++²+…+^-1该如何计算？

设计意图：学生从数学角度思考问题，研究数学对象，提高逻辑思维能力。教师引导学生探究已知的等比数列，从特殊值到一般值，总结、归纳、比较、验证，从而猜想出一般的等比数列前项和表达式。这样的训练有利于培养学生的合作交流能力和推理能力。学生应用软件可以节省运算时间，通过动手操作验证猜想、推导公式，有利于提高他们学习数学的兴趣和积极性。

③新知生成：

等比数列的前项和公式为

（3）推理证明。

【思考】如何证明是成立的？

思路1：要证，即证 - = - 成立。教师如是提示学生思考。

思路2：要证 ，即证 - = - = （ - ^-1） = （ - ），即证-=（-）成立。教师提示学生后，让学生参照此法，分组讨论。

课堂展示：鼓励学生展示证明思路。重点讲解思路1（在黑板上板书证明过程）以及其他学生提到的方法（让学生在电子白板上书写表达），最后整理学生思路，用课件展示。

设计意图：用数学的语言表达问题和解决问题，发展理性思维，并培养数学建模和数据分析的能力。鼓励学生独立思考，用分析法分析思路，为错位相减法的讲解作铺垫，培养学生演绎推理能力。鼓励学生阐述自己的证明方法，让学生在电子白板上书写思路，提高逻辑表达能力。

（4）迁移提升。

【例1】已知数列{}是等比数列：

（1）若，，求;

（2）若 =27，，<0，求;

（3）若 =8，，，求。

设计意图：让学生自主作答，在平板电脑上拍照提交，并参照答案进行生生互批，对学生的批改情况进行展示评价。学生批改同伴的求解过程，发现错误，分析原因，可以避免犯同样的错误。

【例2】计算数列， ²， ³， ⁴，…， …的前项的和。

设计意图：将学生的求解情况拍照，并进行对比和讲解。教师直观展示学生的求解情况，引导学生对问题分类讨论。教师用电子笔在学生的作业上直接批注，让学生注意使用公式的前提条件。

（5）课堂小结。学习本课，有何收获？

（6）书面作业。必做题：①完成教材第37页练习1、2、3;②已知数列{}的公比-1 ，前项和为 ，证明： ， - ， -成等比数列，并求这个等比数列的公比。

选做题：完成教材第40页练习3。

探究题：毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。毕达哥拉斯树的生长程序为：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此一直重复下去（如图2）。若毕达哥拉斯树在某一生长时刻共得到4 095个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为。

设计意图：必做题是课本习题，通过答题情况评测学生掌握知识的效果，巩固所学知识，强化基本技能，培养学生良好的学习习惯和品质;选做题是为学有余力的学生设计的，因材施教;布置探究性作业旨在培养学生建构知识体系并用以解决实际问题的能力。

三、课后反馈

学生登录作业平台完成作业并上传，系统会即时自动批改客观题作业，并即时反馈。学生可以将学习感受与疑问发布在班级空间交流群里。教师可以查看学生的课堂互动报告，结合课堂表现，根据学生的作业批改情况、学生群里交流的问题，拍摄疑难问题解答的小视频以帮助学生更好地巩固新知。

总之，应用智慧课堂平台教学，有利于激发学生的学习兴趣，引导学生从特殊的、有趣的、具体的问题情境出发，去感知、领悟、深入挖掘其背后蕴含的数学知识，深入思考并体验数学逻辑思考的趣味性，主动融入数学新知的学习中。教师合理使用人工智能技术，针对学生的共性和个性问题策略性安排教学活动引导学生思考，有助于学生主动构建知识体系，提高逻辑能力，发展数学的核心素养。人工智能在课堂上的应用前景广阔，教师应做好准备，用先进的技术手段和教育理念武装自己，迎接新时代的机遇和挑战。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 苏明宇，袁梦，高炼，等.智能时代中小学数学教育面临的机遇与挑战——智能时代的中小学数学教育变革研讨会纪要[J].数学通报，2021（5）：60-63.

（作者纪田甜、张春青系山东省青岛西海岸新区第一高级中学教师）

责任编辑：祝元志