借助GeoGebra发展学生直观想象素养

随着课程改革全面推进，传统的“一支粉笔、一块黑板”的授课模式已无法适应时代要求。信息技术的发展与应用为教与学方式变革提供了可能。教学软件的应用为数学教学打开了一扇新门。直观想象是连接现实与数学的桥梁，其作用不可估量。教师借助GeoGebra（以下以“经典5”为例），能变静为动，形象化表达数学知识，打破“意会”与“言传”之间的壁垒，必将成为培育学生直观想象素养的有效利器。

一、直观想象与动态几何软件GeoGebra

作为数学学科核心素养之一的直观想象，其核心主要在于利用图形来表征数学问题，建立形与数之间的联系，从而使学生加深对事物本质和规律的认识^[1]。GeoGebra凭借可视化手段，沟通“数与形”之间的联系，促进学生对数学知识的直观感知和整体把握，诱发学生的空间想象。GeoGebra的应用能与直观想象深度结合，加深学生对数学知识的理解，培育其直观想象素养。正如曹一鸣教授所言：“GeoGebra作为动态几何软件，可以实现传统数学课堂中所无法实现的灵活的动态演示，更好地实现数形结合，培养学生的直观想象素养，实现多元表征的呈现与连接。”^[2]

二、借助GeoGebra发展学生直观想象素养的实践

（一）多区域联动，构建数与形之间的内在联系

GeoGebra有多种视图区，这些区域不是彼此无关的个体，而是相互联系的整体。比如在绘图区创建一个图形，代数区会同步显示它的具体信息;反之，在代数区变动图形的具体信息，绘图区内的图形也会发生相应变化。教师利用这种功能，能实现数与形的呼应，让学生“观赏”数学抽象之美。

【例1】（2018年合肥三模理12）已知函数 （）=²---2有零点、，函数 （）=²-（+1）-2有零点、，且<<<，则实数的取值范围是。

A.（，-2） B.（，0）

C.（-2，0） D.（1，+∞）

【点拨1】根据函数 （）、 （）的解析式与条件“ < < < ” 做出图象（如图1），由两个函数图象的位置关系，可得 （） > 0， （） = 0， （） = 0， （） < 0， （） < 0， （） = 0， （） = 0， （） > 0。化简，得 （1-） < 0， （1 - ） < 0， （1 -） > 0， （1-） > 0。要确定的符号，需要知道、、、与1的大小关系。由于的值不确定， 因此无法直接由图1得出它们的大小关系。下面，借助GeoGebra来做实验。

【实验1】先输入 （）=²---2，创建滑动条，范围为[-5，5]，增量为0.01;再输入 （）=²-（+1）-2，利用“零点值”工具创建 （）的零点、， （）的零点、（如图2）;创建直线=1，然后拖动滑动条，观察。

【结论1】函数 （）的图象与 （）图象的交点始终在直线=1上。

【点拨2】结合图1，有<<1<<。由 （1-） < 0，得 < 0。再由两函数图象的交点在轴下方，知 （1）= （1） < 0，即 > -2，故-2 < < 0。借助GeoGebra来验证这个结果，并探索当取其他值时，这两个函数的零点的大小关系。

【实验2】拖动滑动条，观察。

【结论2】当-2 < < 0时，<<<;

当>0时，<<<;

当=0时，=<=;

当=-2时，<<=;

当-2.25<<-2时，<<<;

当=-2.25时，<=<;

当<-2.25时，<，，不存在。

反思：建立数与形的联系是直观想象素养的主要表现之一，是培育与评价学生直观想象素养的基本途径之一。GeoGebra是从数到形再到数之间自由转换的桥梁，教师可以用它将数与形沟通起来，达到借形释数、以数辅形以及数形结合的功效。本例中，“两函数图象恒过直线=1”是隐藏很深的条件，如何把它挖掘出来并确定它与零点的大小关系是解题的难点。借助GeoGebra可以直观地看到这个结果，并能“细致入微”地看到的取值不同导致两函数图象的位置差异，进而为解决问题提供启迪。

（二）便捷的工具栏，构建直观模型，发展几何直观能力

GeoGebra拥有丰富的作图工具，既能画出数学教学所需要的基本图形，又能构造出基本图形的位置与数量关系。利用这些工具构建解决问题的直观模型，配以动态演示，可为学生创造一个良好的纠正错误的情境，发展学生的几何直观能力。

【例2】已知&nbsp;=2，=3，则

的最小值为。

错解：由平面向量加法法则，得

方向相同时等号成立。所以，的最小值是4。

点拨：从形式上看，该解法没有问题。然而，由平面向量减法法则，得

，当且仅当，方向相反时等号成立。故4不是的最小值。因此，可以断定问题出在“，方向相同”上。那么，如何判断它们的方向是不是相同呢？显而易见，将所有模相等的向量的起点平移到同一点，那么它们的终点构成的是一个以共同的起点为圆心、以模长为半径的圆。因此，可构造两个半径分别为2和3的同心圆模型。

实验：用圆工具创建半径为2和3的同心圆、;用点工具在圆上创建点，用直线工具创建直线，用交点工具创建直线与圆的交点、，以及与圆的另一个交点。隐藏直线，并用向量工具创建 ==;用点工具在圆上创建点，再用向量工具创建 = 、 = + 、 = - ，故 =+。用文本工具分别创建文本、、+（如图3）。拖动点在圆上运动，观察。

结论：（1），不可能同向，即

的最小值不是4 ;（2）当，反向，即点与点或重合时，+取最小值6;（3）当点在圆弧的中点时，+取最大值7.21，是2&nbsp; 13的近似值。

解决：由图3，可令 = ， = ， 则有²+² = 26，故可将问题转化为在约束条件²+²=26，1≤≤5，1≤≤5下，求=+y的最小值和最大值，然后利用线性规划的知识来解决问题。

反思：对于学生而言，判断向量当 + ， -方向能否相同较为困难。教师借助GeoGebra构造同心圆模型，再配以动态演示，让学生直观地“看”出向量 + ， - 方向的不同以及在何种情况下取最值。学生借助该模型的直观，进行代数换元，进而利用线性规划的知识解决问题。例中，GeoGebra为学生搭建了可视化的平台，引导学生经历联想模型、构造模型、利用模型解决问题的过程，在纠错中发展几何直观能力。

（三）应用3D功能创建逼真的三维场景

用平面表达三维空间是很抽象的，尤其是“错综复杂”的线面关系，更是让学生很头痛。使用GeoGebra的3D功能，不仅能轻松完成图形的“拉出”和“展开”等操作，而且能让图形旋转起来（只需用鼠标拖曳一下），进而为学生呈现不同视角下的图形样态，提高学生的空间想象力。

【例3】直线与平面平行的性质定理的实验操作。

分析：此实验教学旨在培育学生发现与提出问题能力。人教A版教材先提问“如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论？”然后，通过分析，得到“若过直线的平面与平面相交于，则∥”。接着给出证明。然而，“过直线的平面”（与平面不平行的）是“任意”的。如何理解“任意”是学生的思维难点。

实验：构建直线与平面平行;在平面内创建点，并构造滑动条;过点和直线创建平面，并构造平面与平面的交线;再过点创建直线的平行线，与重合（如图4）;然后拖动滑动条，观察。

结论：当平面变化时，直线始终与直线平行。

反思：借助GeoGebra的3D功能，能够为学生创设立体空间，让学生在动感直观中做出合情推理。然后，通过演绎推理验证合情推理的结果，丰富几何直观与空间想象的经验，发展直观想象素养。

（四）丰富的指令集为数据整理与分析提供几何直观

频率分布直方图是反映数据分布特点的重要形式，而让学生体会组距（或组数）对数据分布的影响是必要的。GeoGebra拥有的指令集能为该内容提供技术帮助。

【例4】样本数据的分布。

分析：人教A版教材给出了100户居民的月均用水量数据，单位为t（如图5）。如何直观感知组距（或组数）对数据分布的影响呢？

实验：将数据创建到代数区，得到列表;输入指令“组限（，）”，得到列表，并创建滑动条，范围为1～40，增量为1;输入指令“直方图（false，，，true，1/100）”，得到直方图;把比例“轴∶ 轴”改为“50∶1”，并创建文本“频率/组距”和“月均用水量”（如图6）。拖动滑动条，观察。

结论：

（1）当=9时，数据的分布情况;

（2）拖动滑动条，观察组距（或组数）对数据分布的影响，形成从直观感知到理性分析的跨越。

反思：利用传统的教学手段进行数据整理、分析并做出合理的判断是很困难的。GeoGebra拥有丰富的统计指令，能使数据以图表等直观的样态呈现，供学生分析，进而做出合理判断，提升学生的数据分析素养。

（五）动态演示为诱思探究提供可视化平台

探究数学对象的运动规律，始终是传统的数学教学“难言的痛楚”。教师应用GeoGebra的动态演示功能，能很好地解决这个问题。“开启跟踪”按钮或“轨迹”工具，就能使运动变化下的规律性变得一览无余。

【例5】（2020年莆田市3月模考16）△的内角、、的对边分别为、、。已知cos + cos（+）=0， 是边上的中线，且=1，则△面积的最大值为。

问题：易得=2 。当 =2时，点的轨迹是什么？

实验：用点工具创建点，用线段工具创建长度为1的线段，用直线工具构建直线;创建滑动条，用位似工具创建点、，用中点工具构造的中点。用圆工具构造以为圆心、以为半径的圆;在圆上创建点，再用线段工具构造线段、，用文本工具分别创建文本、、 。

结论：（1）拖动点在圆上运动，发现的值始终为常数2，即点的轨迹是以为直径的圆（如图7）。

（2）跟踪圆，拖动滑动条，可得：当=1时，圆不存在;当∈（0，1）时，的值越小，圆越收敛于点;当∈（1，+∞）时，的值越大，圆越收敛于点（如图8）。

反思：数学探究是有效发展学生直观想象等数学学科核心素养的综合性实践活动。GeoGebra能为师生开展数学探究提供可视化的平台，帮助学生打开探究数学奥秘之门，引领学生“窥视”数学的本质，探寻数学问题的源与流，让学生的想象付诸可操作的探索活动之中。该软件的应用可揭示数学知识本质，培育学生的问题意识和创新精神。

当然，GeoGebra只是一种信息技术，只是发展学生直观想象素养的工具。在教学中，教师要依据教学内容做出抉择，不能将数学课堂变成“炫技”的舞台，不能背离技术应用的初衷。

注：本文系安徽省教育信息技术研究课题“借助GeoGebra培养高中生数学直观想象素养的实践研究”（立项号：AH2020045）的阶段性成果。

参考文献

[1] 代钦，王光明，吴立宝.新版课程标准解析与教学指导（高中数学）[M].北京：北京师范大学出版社，2018.

[2] 刘怡轩.GeoGebra在中学数学教学中的应用与展望——访谈曹一鸣教授[J].中学数学教学参考（上旬），2021（5）：42-44.

（作者系安徽省阜阳市临泉田家炳实验中学高级教师，阜阳市骨干教师）

责任编辑：祝元志