外力驱动下耦合弹簧振子的法诺共振

郑子睿，卢思伟，廖晨昊，杨 坤，葛昱骅，高 华，黄昊翀

(1. 中国地质大学(北京) 信息工程学院，北京 100083；2.中国地质大学(北京) 数理学院，北京 100083)

法诺共振的概念起源于量子物理领域，最早是由意大利物理学家Fano在1961年提出，他早期在研究惰性气体的吸收时，首次发现了非对称的吸收谱，经过数年的努力终于在1961年利用物理系统中分离态能级与连续态能带之间的量子干涉成功进行了解释，并提出了法诺共振的概念[1].法诺共振在许多物理系统中都普遍存在，其物理本质是两个共振模式之间的相干耦合[2]，一般而言，一个共振模式谱线较宽，称为亮模，一个共振模式谱线较窄，称为暗模.当两个共振模式之间的位相差接近于π时，二者发生相消干涉产生一个明显的干涉谷以及与谷相连的一个干涉峰，从而形成一个不对称的共振线型，即法诺共振.法诺共振现象在各种研究领域中不断被发现，比如早期的有光栅的导模共振[3]，微纳光学中波导与微腔的耦合[4]，光子晶体微腔共振[5]，多纳米颗粒组合[56]，金属颗粒二聚体[7]，电磁诱导透明[8]等.近几年，法诺共振逐渐被科研工作者所熟悉，各种各样的法诺共振结构被成功设计出来并应用到传感[9]、滤波[10]、光电调制[11]等各个方面，直到现在法诺共振仍是人们研究的热点.

但是，法诺共振如此重要的物理现象在大学物理课程以及教学体系中尚未有体现，即使是作为物理专业的学生，授课教材也几乎没有涉及到法诺共振.很多同学对法诺共振这一现象并不熟悉，比如它的微观图像是什么，激发法诺共振的要素是什么，共振时它的振幅和位相分布各有什么特点？其实，这些都是值得关注的问题.如上所述，法诺共振不仅存在于量子力学系统，也同样存在于经典力学系统中，比如弹簧振子的共振.本文就以经典力学中最简单的两个弹簧振子的耦合为例，成功设计并类比了量子力学中的法诺共振现象.通过分析弹簧振子的动力学方程，解析求解每个弹簧振子的振动公式，明确在什么时候发生法诺共振，什么时候发生洛仑兹共振，使读者能够对法诺共振及其激发条件有个更深刻的了解.

1 双耦合弹簧振子的动力学分析

F1=Aeiωt

(1)

图1 耦合弹簧振子系统

当考虑两个振子之间的相互作用时，每一个弹簧振子的动力学方程均可写出.对于振子1，在振动过程中受到的力有外部驱动力F1，左边弹簧和右边弹簧分别给它的弹力，为了不失一般性，我们还考虑其在振动过程中受到的阻尼力，设其阻尼系数为γ1.振子1的动力学方程为

(2)

同理，振子2的动力学方程为

(3)

其中γ2是弹簧振子2所受阻尼力的阻尼系数.对于受迫振动，稳态时，弹簧振子的振动频率与外部驱动力的频率相同，因此可以设其稳态时的位移函数分别为：

x1=C1eiωt

(4)

x2=C2eiωt

(5)

其中C1和C2可以是复数，即两弹簧振子的振动可以不同相.把式(4)和式(5)代入到式(2)和式(3)中可得

A-iωγ1C1-k1C1+kC2-kC1=-m1C1ω2

(6)

-iωγ2C2-k2C2-kC2+kC1=-m2C2ω2

(7)

联立式(6)、(7)，可以得到C1，C2的二元一次方程组，求解可得

(8)

把式(8)代入式(6)可得

(9)

再把式(8)和式(9)分别代入到式(5)和式(4)中，则稳态时两个弹簧振子的位移随外部驱动力频率的分布函数就通过解析的方法求解了出来，整个过程没有做任何的近似，其结果是准确的.接下来利用式(8)和式(9)绘制函数曲线来分析不同情况下弹簧振子的振动情况.

2 弹簧振子的振动情况分析

2.1 单个弹簧振子1做受迫振动情况分析

由式(3)可知，图2中的位相φC1为弹簧振子1在稳态时其简谐振动的初相，由于外部驱动力F1的初相为0，因此φc1也可以理解为弹簧振子1的振动与外部驱动力之间的位相差.当外部驱动力的频率远小于弹簧振子的固有频率时，弹簧振子的初相为0，即与驱动力同位相.当驱动力的频率逐渐增大时，其振幅逐渐增大，弹簧振子渐渐开始振动起来，弹簧振子与驱动力之间逐渐产生位相差异.在共振(振幅最大)时，二者之间形成π/2的位相差.当驱动力的频率继续增大，弹簧振子的振动与驱动力之间的位相差也逐渐增大，直到二者完全反相，形成π的位相延迟.弹簧振子的振动与驱动力之间的位相差表明弹簧振子对外部驱动力的作用有一个响应过程，这是符合实际物理情景的.由图2可知，对于一个完整的洛仑兹共振图形，在整个洛仑兹共振分布中,弹簧振子的位相分布发生了π的位相变化.此外，弹簧振子与外部驱动力之间的位相差决定着弹簧振子振动过程中外部驱动力做功的大小，当二者之间位相差为0或π时，在一个完整的简谐振动周期内，外部驱动力做功之和为0，由于弹簧振子初始态静止，阻尼力不可能做正功，所以弹簧振子不可能振动起来,它的振幅为0.而当二者之间的位相差为π/2时，在整个振动过程中，外部驱动力全程做正功，所以其振动的振幅最大.

图2 k=0时，弹簧振子1的振幅以及初相随着外部驱动力频率的变化曲线.

对于弹簧振子2，由于它与弹簧振子1之间没有了相互作用，不会被驱动，依然保持静止不动的状态，所以，它的振幅和初相均始终保持为0，该结论可以由式(8)得出.当k=0时，C2恒等于0，所以其振幅和初相均为0.

2.2 两个弹簧振子耦合振动情况分析

接下来，我们考虑两个弹簧振子之间存在相互作用的情形. 这里取k=0.1 N/m，保持图2中其他的参数不变.由前面推导的式(8)和式(9)可知，当其振幅的分母接近于零时，振幅最大，弹簧振子发生共振.通过求解可知，C1、C2均存在两个极值(共振峰)，且两个弹簧振子出现极值的位置相同，分别出现在处.图3给出了由式(8)和式(9)计算所得的两个弹簧振子1,2的振幅和位相随驱动力频率的变化曲线.通过比较可以发现，两个弹簧振子确实分别出现了两个共振峰，且其共振发生的位置完全相同.对于振子1，仔细观察这两个共振，发现其对称性明显不同，第一个共振是对称的洛仑兹线型，而第二个共振是非对称的法诺线型.从它的位相分布可以看出，洛仑兹共振的位相分布与单个弹簧振子的完全相似，初相逐渐发生变化，对于整个洛仑兹共振图形，初相分布变化了π，即发生了反相.对于非对称的法诺共振，其初相在共振的过程中发生了两次剧烈变化，由共振前与外部驱动力之间的位相延迟π，急剧上升，直到接近于与外部驱动力同相，然后再次减小，共振结束再次与驱动力形成了π的位相差.

(10)

振子1的振幅随外部驱动力的频率变化发生法诺共振从物理上分析是可能的.当其仅在驱动力的作用下，发生受迫振动，该振动可以看作法诺共振的一个相干态.当振子1与振子2之间存在相互作用的时候，振子1在受迫振动的同时又受到振子2对它的扰动.这个扰动在某些特定的情况下达到最大，又一次形成共振，该共振可以看作振子1所经历的另一个相干态.这两个相干态分别与外部驱动力以及振子2对振子1的作用力息息相关.当这两个力同向(相)时，相当于相干加强，反向(相)时，相当于相干减弱.法诺共振的发生由参与耦合的两个共振态之间的相干相消形成谷值，而由其相干加强而形成峰值.由前面的分析可知一个完整的洛伦兹共振分布其位相变化为π，通常情况下由于暗模共振极窄，所以在暗模附近可以紧密地实现亮模与暗模之间的相干减弱和相干加强从而形成法诺共振，法诺共振发生的位置主要由暗模来决定.由图3结合式(9)可知，振子1法诺共振的谷值(振幅为0)出现在振子2的固有频率ω=ω2处(图中虚线的位置)，我们把该频率带入到前面的公式可以算出振子2对振子1的作用力为

F21(ω2)=k(x2-x1)=-Aeiω2t

(11)

正好与振子1受到的外部驱动力大小相等，方向相反，相当于相消干涉，所以在ω=ω2处出现了法诺共振的谷值.而此时的频率正好是振子2的固有频率，所以它对振子1的扰动达到了最大.此时振子1同时经历着受外部驱动力的受迫振动和振子2对它的扰动两个共振，这两个共振中振子1的受迫振动相当于亮模，而振子2对它的扰动相当于暗模，二者相干叠加即形成法诺共振.振子1第一个共振没有形成法诺共振的主要原因是振子2对它扰动的共振没有形成，振子1的主要运动形式还是由于受到外部驱动力的作用而发生的受迫振动，所以其振幅和位相的分布都与图2非常相似.

而对于振子2，它的共振系统始终只受到F12一个外部作用力，振子2在该作用力的作用下做受迫振动，不会发生法诺共振，所以它的两个共振均为对称的洛伦兹共振.但是这个共振峰并没有出现在它的固有频率的位置，这是因为它受到的作用力F12并不是一个振幅不变的周期性外力，F12对它作用力振幅的大小也与外部驱动力的频率有关，也是随ω共振的，F12振幅最大的地方│C2│也最大，即振子2共振峰的位置所在.

2.3 阻尼力对弹簧振子振动的影响

在以上的分析中我们考虑了系统的阻尼力，实际上阻尼系数的大小只影响共振的质量，阻尼系数越大，共振的宽度越宽，共振的品质因数越低.阻尼系数的大小不影响共振发生的位置，也不影响共振的对称性，当阻尼系数接近于0时，其对称特性依然会保持.如图4所示，它与图3的计算参数完全相同，只是把两个阻尼系数γ1、γ2均减小为0.0001 Ns/m.由图可以看出，与图3相比，振子1和2共振的位置没有发生任何变化，其共振的线型也没有变化，振子1前一个共振是洛伦兹共振，后一个共振是法诺共振，而振子2两个共振均为洛伦兹共振.所不同的是，由于阻尼系数的减小，共振的质量好很多，尤其是二者的第一个共振，峰值高度可以高达几千，这里为了突出共振的对称性特点，图中没有完全显示.至于二者的初相分布，与图3相比，也几乎完全一致，稍有不同的是图4中，由于阻尼力非常小，其对共振的位相影响几乎可以忽略不计，所以其初相分布更为规整.

图3 两个弹簧振子之间存在相互作用时(k=0.1 N/m)，各自的振幅与初相随外部驱动力频率的分布曲线.

图4 阻尼力趋近于0时，两个弹簧振子各自的振幅与初相随外部驱动力频率的分布曲线.

3 结论

由以上的分析可知，外力驱动下的两个弹簧振子的耦合可以发生法诺共振，但不是所有的共振均为法诺共振，而是需要特定的条件.其具体条件及法诺共振产生机理为：一个弹簧振子同时经历着两个洛仑兹共振，且两个共振的共振宽度存在着较为明显的差异，相当于法诺共振的亮模和暗模.由于每一个洛仑兹共振的位相分布均发生π的位相变化，当二者耦合时，亮模的带宽较宽，位相变化慢，暗模的带宽较窄，在较窄的范围内位相变化了π，所以在暗模共振的附近两个模式将同时发生相干加强和相干减弱，从而形成非对称的法诺共振.