传热模型应用教学案例——北极熊毛发保温效果建模分析

柏 浩,邵子钰,周少东,高微微

(1 浙江大学化学工程与生物工程学院, 浙江 杭州 310027；2 浙江大学高分子科学与工程学系，浙江 杭州 310027)

在我国新经济蓬勃发展的关键时期，对工程科技人才提出了更高的要求，培养具有创新意识及国际竞争力的新工科人才对我国经济转型及国际竞争力的提升十分重要。自2017年《关于开展新工科研究与实践的通知》[1]下发以来，各大高校都在不断加强对传统工科教育教学的升级改造。热量传递过程是化学工程学科的理论基础之一，如何教育学生深入理解并掌握热量传递的各个过程，并将其应用于工业实践及科学研究之中，始终是化学工程学科高等教育的重点之一。

在传统化学工程的课堂中，热量传递过程的教学内容通常围绕简化模型展开，对于学生的教学目标基本停留在根据给定的参数计算传热过程，这已经无法适应新的课程要求。如何围绕教材中的简化模型和理论，引导学生深入理解传热模型中各参数的内涵，学会针对实际复杂体系的传热过程进行模型建立、参数选取以及建模分析，对于增强学生对化学工程学科理论基础的深入认知，培养学生解决实际问题的能力具有十分重要的意义。本文选取具有优异保暖性能以及特殊多孔结构的北极熊毛发为典型案例，通过对北极熊毛的结构及传热过程进行分析，通过简化模型的建立，模型参数的选取引导学生从建模的角度理解北极熊毛发的优异保温性能，掌握传热模型的实际应用。希望通过对教材已有知识的补充完善，夯实学生的专业知识基础，引导学生全面综合地思考和理解问题，培养学生的专业及创新思维能力，服务新化学工程学科的升级改造，培养具有扎实专业基础、创新思考能力、具有国际竞争力的工科新型人才。

1 背景介绍

动物毛皮自古以来就被人类用作保暖的衣物，生活在严寒地区的北极熊的毛发更是被公认具有出色的保温隔热效果，可以在北极恶劣的环境中保持北极熊体温恒定，从而保持各项生理活动的正常进行。北极熊毛具有与其他动物毛发不同的中空多孔结构，这一特殊的毛发引起了研究人员的广泛关注，并对其结构及保温性能进行了深入的研究。此外，通过模仿北极熊毛特殊的中空结构，研究人员以不同的手段制备了仿北极熊毛的多孔纤维或气凝胶，均具有优异的保温隔热性能[2,3]。因此，本文围绕具有优异保暖特性以及特殊结构的北极熊毛这一复杂模型，从建模的角度引导学生分析北极熊毛的结构特征、建立简化传热模型、选取模型参数并对北极熊毛的传热过程进行分析，最终掌握传热模型的实际应用。

2 传热模型的建立

了解研究对象的结构及尺寸特征是建立并简化传热模型的基础。如图1(a)所示， 北极熊毛外观呈白色，长度大约为5～20 cm。从图1(b)中的扫描电镜图片中可知，北极熊毛内部具有微米级的多孔结构，并且多孔部分的直径约占单根北极熊毛总直径的1/4至1/2，这些中空的毛发在北极熊身体的外侧形成厚实的保温层。

图1 北极熊毛的外观(a)和内部结构(b)

因为北极熊毛的内部结构复杂，为简化计算，我们将北极熊毛简化为水平排列的中空纤维，将大量的小孔合并为一个大孔，认为所有北极熊毛的直径均一并且内部孔尺寸一致，设北极熊毛的直径为D，内部空心部分的直径为d。因此，北极熊通过其毛发向外界环境的散热过程即可被简化为通过这些在北极熊身体外侧水平排列的中空管的的散热，所形成的保温层的厚度为b。当环境温度稳定且北极熊自身的体温保持恒定时，北极熊毛形成的保温层外侧温度也将保持稳定，分别设北极熊的体温，北极熊毛外侧的温度以及环境温度为T0、T1和Ta。如图2所示为北极熊毛传热过程简化模型的示意图，图中不同的箭头分别表示不同的热量传递方式。热量传递的三种基本方式分别为热传导，热对流以及热辐射，其中热传导依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生热量传递；热对流发生在流体中，由于流体的宏观运动使流体各部分之间发生相对位移而导致热量传递；热辐射通过电磁波(红外线)传递能量。因此，从北极熊毛皮肤到周围环境的热量传递过程可以分为热传导、热对流以及热辐射三个部分[4]。北极熊通过自身的新陈代谢产热来弥补这部分通过不同途径所散失的能量，从而保证自身体温在寒冷环境中的稳定。

图2 北极熊毛的简化结构模型

2.1 热传导

根据简化模型，热量通过多孔隔热层传导，当环境温度和北极熊的体温保持不变时，热量通过图示简化模型一维稳态传导，根据傅里叶定律，热传导的热通量为：

其中λ为隔热层的热导率。结合隔热层厚度及其两侧温度差有：

(1)

对于具有多孔结构的保温层而言，热量在其中分别通过固体和气体传导，固体和气体具有不同的热导率。由于北极熊毛内部均为微米级孔，因此孔的尺寸不会影响北极熊毛内部气体的热导率，北极熊毛的表观热导率只与北极熊毛本身的材料和孔隙率的大小有关：

λ=λs+λg=(1-Π)·λs,0+Π·λg,0

其中λs,0和λg,0分别为北极熊毛固体部分的本体热导率和空气热导率，Π为北极熊毛发的整体孔隙率。

2.2 热对流

通过北极熊毛的对流散热主要包括材料内部空气的对流传热以及材料表面和外界的对流传热两部分；从引起流动的原因来看，对流传热包括自然对流和强制对流两种。自然对流的产生来源与系统内部的温度差所导致的密度差异，强制对流则是在因为外力作用导致的流体流动时产生，对多孔材料内部的气体，基本仅考虑自然对流。自然对流的强度与格拉晓夫准数(Gr, Grashof number)相关，当Gr<1000时，对流传热的影响可以忽略。在常压下，当孔径大于10 mm时，Gr才可能大于1000。因此，常见多孔材料内部的对流传热可以忽略。

据牛顿冷却公式，多孔材料表面与周围环境的对流传热通量：

qconv=α(T1-Ta)

(2)

其中α为对流传热系数，主要与周围流体的流动状况有关，不同介质在不同流动状态下的对流传热系数不同。当在空气中发生自然对流时，对流传热系数约为5～25 W/(m2·K)。

2.3 热辐射

表面温度大于绝对零度的物体都会以电磁波的形式向外界环境中辐射能量，不同物体向外界辐射能量的能力与其表面温度及表面发射率(ε)有关。根据斯特藩-玻尔兹曼定律(Stefan-Boltzmann law)，黑体辐射能力Eb=σ0T4，其中σ0为斯特藩-玻尔兹曼常数，其数值为5.67×10-8W/(m2·K4)。北极熊毛皮可以视为表面温度为T1，表面发射率为ε的灰体，向外界通过辐射的总能量可以表示为：

(3)

北极熊所处的周围环境同样会不断向其辐射能量，将北极熊周围物体视为黑体，即认为其发射率(εe)为1，北极熊毛吸收的来自外界环境的辐射能量等于其吸收率乘以外界辐射的总能量(Ee)，又因为材料的吸收率和发射率在数值上相等，因此有：

(4)

因此，根据以上的讨论，可以将北极熊毛的传热过程简化为图3所示的传热模型。将北极熊毛发看做热导率为λ，表面发射率为ε，厚度为b的隔热层，内表面温度为北极熊的体温T0，外表面温度为T1。当处在温度为的环境中时Ta，北极熊自身的产热量为qgen，通过隔热层传导的热量为qcond，隔热层外表面向周围环境的对流和辐射散热量分别为qconv和qrad，周围环境对隔热层的辐射热量为qrad,e。当传热过程稳定时，北极熊毛接受的热量与散失的热量相等，且隔热层内外表面的温度保持稳定。此时，在隔热层的外表面有：

图3 北极熊传热过程的简化模型

qcond+qrad,e=qconv+qrad

(5)

在隔热层的内表面有：

qgen=qcond

(6)

将式(1)～(4)带入式(5)～(6)中有：

(7)

3 模型参数的确定

根据上文的讨论，北极熊毛的传热过程被简化为平行排列的空心管，并且将传热过程分为热传导、热对流以及热辐射三个部分分别计算。为计算北极熊毛的传热过程，需要确定模型中的各个参数，如表1中所示。

表1 北极熊毛简化传热模型所需参数及其数值

4 模型的应用与分析

4.1 北极熊毛发传热过程的计算

根据图2中的简化模型以及表1所列的各参数，将各参数的数值带入式(7)中，通过计算可以得到北极熊在表中所列的条件下的表面温度以及通过不同方式所散失的热量大小：

T1=256.8K=-16.35 ℃

qcond=qgen=60.53 W/m2

qconv=9.72 W/m2

qrad=130.07 W/m2

qrad,e=128.75 W/m2

因此，当环境温度为-20 ℃时，图2、图3中的简化结构及传热模型以及表1中所列的传热参数，可以计算得到北极熊毛发的表面温度约为-16.35 ℃，在此条件下，北极熊需要通过新陈代谢产生的热量为60.53 W/m2，与文献中测试所得北极熊在静坐状态下的新陈代谢产热速率接近。

4.2 传热过程中不同参数对传热过程的影响

在传热过程中，各个参数的改变都会对传热过程产生影响，通过建立简化模型可以讨论不同参数对传热过程的影响，从而加深学生对于传热模型中各参数的含义的理解。作为利用多孔结构进行保温隔热的典型案例，北极熊毛隔热层自身的结构特性直接影响保温层的隔热性能。在此，本文选取隔热层的孔隙率Π以及厚度b作为案例，通过改变不同的孔隙率和厚度，计算在只改变这两个参数中的某一个而保持其他条件不变时，北极熊毛表面温度T1以及所需要的新陈代谢产热速率qgen的变化情况。

图4(a)所示分别为保持环境温度以及隔热层的其他参数不变，北极熊毛表面温度T1以及所需要的新陈代谢产热量qgen随着北极熊毛发整体孔隙率Π变化的情况。随着隔热层孔隙率的提高，北极熊毛的表面温度逐渐下降。当孔隙率增大时，由于具有较低热导率的空气所占的比例增加，隔热层的表观热导率逐渐降低，保温性能提高，两侧温差增大。同时，由于隔热层保温性能的提高，为了达到热稳定所需要的新陈代谢产热量也随之减小。另外，因为本文所建立的简化模型中认为北极熊毛紧密平行排列，所以根据模型计算所得的孔隙率相对较低，而在实际情况中，北极熊毛发之间将存在更多的空隙，毛发整体的热导率会相对模型中计算值更低，因此实际情况下北极熊毛的表面温度会更加接近环境温度，在模型条件下所需要的新陈代谢产热量也会相对更少。

图4(b)所示为在保持环境温度以及隔热层的其他参数不变，北极熊毛表面温度T1以及所需要的新陈代谢产热量qgen随着北极熊毛发层的厚度b变化的情况。从图中的曲线可知，北极熊毛的表面温度以及所需的新陈代谢产热量随着隔热层厚度的增加而急剧减小，当隔热层厚度约大于4 cm后，表面温度和新陈代谢产热量的降低程度减弱，并最终接近某一值(T1≈-18.16 ℃，qgen≈31.29 W/m2)。从图中可知，当隔热层的厚度太薄时，为了达到热稳定状态所需要的新陈代谢速率极高，仅靠北极熊自身的产热无法满足需求，此时北极熊将无法维持稳定的体温，正常的生理活动将收到影响。长时间在此环境中生存将会威胁北极熊的生命健康。在实际的应用中也可以借鉴这一简化模型，较小的隔热层厚度将无法达到理想的保温效果，而过厚的隔热保温层厚度则会造成材料的浪费，根据实际应用的条件以及所使用材料的特性建立模型，可以选取在不同条件下需要的隔热层厚度，从而避免能量和资源的浪费。

图4 孔隙率、对流传热系数以及隔热层厚度对北极熊毛表面温度的影响

5 结 语

随着我国经济社会转型的不断加快，对于具有坚实专业理论基础以及突出创新能力的新工科人才的需求日益增加。作为化学工程专业的重要理论基础，掌握并应用热量传递的各个过程对于新化工学科的高等教育十分重要。本文基于传统教材中所提供的传热过程基础知识，将课本知识应用于生活中的复杂实际模型，引导学生学会对复杂物体进行分析、简化和建模，以此分析复杂对象的传热过程，并通过改变不同的传热过程参数，讨论了不同参数对于传热过程的影响。

值得注意的是，为了更高效的引导学生深入了解和掌握传热过程，本文对北极熊毛的传热模型进行了大量的简化。例如，在实际过程中没有考虑北极熊毛内部复杂孔结构对于热传导、热对流以及热辐射过程的影响，并且只考虑了自然对流过程。在实际模型中，北极熊毛的中空部分的多孔结构会进一步增加北极熊毛发整体的热导率，并且降低从皮肤表面辐射至北极熊毛发外侧的辐射能量，这会使得北极熊毛具有比简化模型中更好的保温隔热效果。另外，北极熊毛除了作为隔热层减少自身热量散失外，也能够通过光波导等形式利用来自太阳的辐射，进一步提高自身的保温性能。除了北极熊毛本身的特点外，环境条件也会大大影响传热过程，在北极多风的环境中发生的对流传热多数为强制对流，此时的对流传热系数将远大于自然对流传热系数，此时北极熊毛的传热过程也会发生十分明显的变化。

在相关知识的讲授中，可以在教育学生理解并掌握简化模型的基础上，引导学有余力或者有浓厚兴趣的学生对于北极熊毛的复杂模型进行更加细致深入的研究。并且可以引导学生将相关模型应用在不同的对象中，例如严寒或高温的极端环境中的保温，太空环境中人员及器械的保温等，通过对相关对象的建模分析，选取合适的传热参数，实现能量和资源的节约。另外，通过调节不同的参数，也可以实现对材料性能的智能调节，实现在不同环境中的快速智能切换。在由浅如深的教学过程中锻炼相关学生自主思考，独立创新的能力，培养学生对于生产实践以及科学研究的兴趣，培养具有国际竞争力的新型工科人才。