“模”出本质 发展思维——模型思想在“稍复杂的百分数实际问题”中的应用

江苏省无锡市安镇实验小学 许海英

数学新课标中明确要求：让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。数学模型思想是数学学科核心思想的重要组成部分，主要指在认识、理解相应的数学知识时能够将抽象化的数学数量关系、图形关系等以形象化的数学语言进行表示。培养模型思想不仅有助于学生掌握知识的内在本质，更能进一步发展学生的思维能力，从而提高其解决问题的能力。

由于小学生自身认知水平相对较低，在学习数学知识的过程中，教师需要引导其发展数学思维，并重视培养他们的数学模型思想。这对教师来说是一种能力的挑战，教师要能善于捕捉教材中数学知识与模型思想的契合点，积极创新教学模式，将抽象的数学知识在模型思想的助力下形象化，便于学生理解和掌握，同时也发展了学生的思维能力。“稍复杂的百分数实际问题”是苏教版小学数学六年级上册的学习内容，是百分数知识的一个难点，不少学生对这类“看似差不多的题目”表现出不知所措。其实学生可以运用建模思想解决相关问题，以不变的数量关系为“型”，“模”出知识本质，发展数学思维。下面笔者就具体谈一谈。

一、还原问题，渗透模型思想

教师所提出的数学问题是引导学生发展数学思维的重要基础。好的数学问题能唤起学生已有经验，引发探索，激发思维。“稍复杂的百分数实际问题”比学生已学的“百分数实际问题”更复杂一些，主要是题目中的单位“1”未知，量率又不对应，但内在本质是不变的，那就是它们有着一致的数量关系。基于这一点，教师反而可以将问题情境还原到之前，让学生在“走走回头路”的过程中唤起已有经验，得出数量关系，渗透模型思想。

【教学片段一】

复习引入：钱大伯原计划培育400棵松树苗，实际比原计划多20%， ？

1.尝试画线段图

提问：先画谁的棵数？为什么？（圈出单位“1”）

2.观察

提问：实际培育棵数与原计划之间有什么关系？（相机板书）

原计划培育的棵数×20%=实际比原计划多培育的棵数

3.提出问题

①实际比原计划多培育多少棵？

②实际培育多少棵？

4.在线段图中补充问题并独立解题

解题1：400×20%=80（棵）

解题2：400×20%=80（棵）

5.比较

这两题有什么相同点？又有什么不同点？相同点：单位“1”已知，都用乘法计算。不同点：问题不同。

第一题：求“实际比原计划多培育的棵数”=原计划培育的棵数×20%（一步计算）

第二题：求“实际培育棵数”=原计划培育的棵数+实际比原计划多培育的棵数（两步计算——先求多出来的棵数，再求实际培育的棵数），或者用原计划培育的棵数×（1+20%）。

理解数量关系对于解决实际问题来说是至关重要的，而看似复杂多变的百分数实际问题相较于小学阶段的其他实际问题，它们内在的数量关系反而显得简单而清楚：“一个量是另一个量的百分之几”或“一个量比另一个量多（少）百分之几”，无论单位“1”是已知还是未知，量率对应与否，其基本的数量关系都是这样的。既然如此，那学生的学习就可以以此为起点，还原问题情境，先从旧知中寻找数量关系，渗透模型思想。

二、发掘本质，形成模型思想

在学生学习相关的数学知识，特别是遇到比较难理解的内容时，教师要抓住相关知识点之间的紧密联系，创新教学模式，引导学生综合运用观察、对比、操作、交流等多种方式，透过数学表象看到数学本质，帮助他们形成相应的建模思想。结合本节课，在两道复习题的基础上，教师又进行了两次改编。学生在层层对比中感悟到“万变不离其宗”，数量关系并没有发生变化，解题思路逐渐明朗。

【教学片段二】

1.改编题目（例题）

钱大伯实际培育480棵松树苗，实际比原计划多20%，问原计划培育了多少棵？

（1）观察比较

与两道复习题相比，有哪些相同点与不同点？

相同点：根据“实际比原计划多20%”得出单位“1”不变——还是把原计划培育松树苗棵数看作单位“1”，且数量关系也不变。（强调原来三个数量关系式）

不同点：原来单位“1”已知，现在单位“1”未知。

（2）修改线段图

思考：线段图哪些地方不变，哪些地方要变？

指出：因为数量关系不变，所以图的整体框架都不变，只要调换已知量和未知量。

（3）交流解题方法

提问：现在要用什么方法做？为什么用方程或除法计算？（单位“1”未知）

追问：可以依据哪个数量关系式进行列式？你是怎么想的？（强调依据原数量关系式思考列式，不过要看清已知量）

（4）独立解答后交流

解：设原计划培育x棵松树苗。

a：x+20%x=480

2.再次改编题目

钱大伯实际比原计划多培育了80棵松树苗，比原计划多20%。原计划培育松树苗多少棵？

（1）独立修改线段图

（2）独立解题

解：设原计划培育x棵松树苗。

（3）观察比较异同

题问：①为什么还是用方程或除法解题？（单位“1”未知）

②为什么只要一步计算？你是怎么想的？（还是依据原来的数量关系，只不过80棵是实际比原计划多培育的棵数=原计划培育棵数×20%）

画图是解决问题的有效策略，可以使数量之间的关系可视化，变抽象为直观。教师在出示例题后让学生先初步观察比较，再通过对线段图上“哪些要改，哪些根本不要改”进行思辨，使学生更深刻地领悟到各题中数量关系的一致性，促使模型思想在学生头脑中逐步形成，接下来的学习就更为轻松。学生只需关注题目细节，如单位“1”是否已知，量率的对应情况，从而更好地解决实际问题。

三、自主反思，建立模型思想

学生数学思想方法的形成，既需要教师的有意渗透引导，又需要靠学生自己在反思过程中深刻领悟。著名的荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是重要的思维活动，是思维活动的核心和动力。因此，在学生思考之后，教师要引导学生“回头看走过的路”，自觉反思学习过程，建立模型思想，从而提升思维品质。结合本节课来看，及时的回顾使学生再一次深刻感悟到了“百分数实际问题”的数学本质，也对此有了更完整、更系统的认识。

【教学片段三】

提问：刚才我们了解了四道“百分数实际问题”的题目，（出示）你发现了什么？

指出：根据每道题目中“实际比原计划多培育20%”可知，四道题目两个量之间的关系是不变的，解题时就只要依据不变的数量关系思考列式。但区别在于：单位“1”已知用乘法计算，单位“1”未知用方程或除法计算。此外，还需要注意看清已知量和所需要解答的问题，确定是一步计算还是两步计算。

自主反思是建立模型思想的关键要素，学生通过对最后四道题目进行整合对比，立即感觉把百分数实际问题学通了——只要找到变化中不变的数量关系，再结合具体题目具体分析就可以了。模型思想的建立使学生更好地认识数学、理解数学，同时也从中学到了思考问题的角度与方法，发展了数学思维，提高了解决问题的能力。要培养和发展学生的数学模型思想，教师首先自身要有一定的数学模型思想意识，并善于将其融入平时的课堂教学中，积极创新教学模式，这样的课堂才会是高效的课堂。