基于退火算法实现中小微企业的信贷决策

滕洋健 吴佳鸣 崔俊贤

摘 要：本文针对中小微企业的信贷决策问题，建立了基于熵权法的Topsis模型，解决了量化分析123家企业的信贷风险的问题。建立了灰色关联分析模型，解决了量化分析302家无信贷记录企业的信贷风险的问题。建立了基于Topsis法的因子分析模型，解决了当突发因素来临时，银行如何调整信贷策略的问题。针对问题一，建立了基于熵权法的Topsis模型，解决了量化分析123家企业的信贷风险问题，利用基于蒙特卡洛模拟的改进退火算法对贷款利率制定的合理性进行检验，其检验结果与通过目标函数确定的利率的结果相吻合，证明了结论的正确性。针对问题二，建立了灰色关联分析模型，解决了量化分析302家无信贷记录企业的信贷风险的问题，并借助问题一中基于熵权法的Topsis模型，求解出信贷风险的量化分析后的结果，将两种不同的模型得到的结果可视化后进行对比检验，验证了信贷风险量化结果的准确性。

关键词：灰色关联分析;熵权法;退火算法;蒙特卡洛;Topsis模型;因子分析

一、问题重述

1.问题一

银行对放贷企业的贷款额度控制在10万元至100万元，年利率为4%-15%，贷款期限为1年。要求对123家企业的信贷风险进行量化分析，并以量化分析的结果为依据来确定年度贷款总额固定时银行对这些企业的信贷策略问题，即是否放贷及放贷的额度和利率。

2.问题二

问题二在问题一的基础上再对302家企业的信贷风险进行量化分析，不同之处是这302家企业之前是无信贷记录的，因此要综合考虑贷款利率和客户流失率的关系以及量化分析的结果来进行信贷决策。

二、问题分析

1.问题一的分析

（1） 问题的分析

问题一可以分为两个步骤来进行求解。第一步是对123家企业的信贷风险进行量化分析，为了更好地切合基于熵权法的模型，决定采用标量量化的方法，给不同的企业分配信贷额度的权重。第二步给出在信贷总额固定的情况下银行的信贷策略。对企业的信贷风险进行量化分析之前，首先對企业的数据信息进行预处理，剔除利润值为负数（经济效益亏本）的企业。在确定银行对企业的信贷策略这一问题上，可以分为是否放贷及贷款的额度和利率两个角度。通过对拟合出的曲线图的分析便可以大致得到银行对不同信誉评级的企业的贷款利率的制定方案：信誉评级为A的企业的利率最低，信誉评级为B的企业的利率次之，信誉评级为C的企业的利率最高。

（2） 问题的结论

①信贷风险量化分析的结果

企业的信贷风险从高到低依次为：

E3，E86，E75，E11，E47，E94，E77，E80，E53，E14，E46，E35，E25，E87，E76，E4，E72，E7，E43，E57，E51，E90，E92，E39，E50，E60，E12，E29，E49，E41，E81，E85，E65，E55，E91，E40，E71，E74，E93，E59，E73，E70，E67，E61，E88，E28，E6，E30，E97，E38，E10，E98，E9，E62，E63，E34，E84，E22，E17，E15，E2，E32，E106，E58，E31，E13，E7，E8，E54，E48，E24，E64，E18，E16，E42，E105，E69，E104，E95，E110，E68。

②信贷策略结果

A.信贷额度

企业E68所得到的贷款额度最大，占银行年度信贷总额的16.72%，企业E17所得到的贷款额度最小，占银行年度信贷总额的0.23%。

B.信贷利率

信誉等级为A的企业制定的利率为0.047，信誉评级为A的企业有：E2，E6，E7，E8，E9，E13，E15，E16，E17，E18，E22，E24，E31，E42，E48，E54，E59，E64，E81，E84，E88，E91。

信誉等级为B的企业制定的利率为0.052，信誉评级为B的企业有：E10，E12，E28，E30，E32，E34，E35，E38，E43，E51，E57，E58，E60，E61，E62，E63，E65，E67，E70，E71，E74，E76，E85，E93，E95，E97，E98，E106。

信誉等级为C的企业制定的利率为0.054，信誉评级为C的企业有：E3，E4，E11，E14，E25，E29，E39，E40，E41，E46，E47，E49，E50，E53，E55，E68，E69，E72，E73，E75，E77，E78，E80，E86，E87，E90，E92，E94，E104，E105，E110。

（3） 问题的检验

利用基于蒙特卡洛模拟的改进退火算法检验目标函数取得最大值时对应贷款利率的准确性。使用蒙特卡洛模拟出与最优贷款利率接近的初始解，将这个初始解作为退火算法的初始值，检验结果与实际得到的结果误差为0.0001，在误差允许的范围之内，因此验证了信贷利率制定的准确性。

（4） 灵敏度分析

以长度0.03为区间大小来截取不同信誉评级的函数区间。信誉评级为A截取[0.04，0.07]的函数区间，信誉评级为B截取[0.06，0.09]的函数区间，信誉评级为C截取[0.09，0.12]的函数区间。三个区间均以0.00001为步长取一点ri，计算其函数值，观察当自变量贷款利率发生微小变化时，因变量银行利润的变化情况。

2.问题二的分析

（1） 问题的分析

简化模型指标为利润、利润率、浮动比率这三个方面。建立与问题一不同的灰色关联分析模型，量化企业的信贷风险，同时根据量化结果给出年度信贷总额为1亿元的前提下各个企业的信贷额度占比。

（2） 问题的结论

企业E329所得到的贷款额度最大，贷款额度为0.077890779亿元，企业E209所得到的贷款额度最小，贷款额度为0.000927146亿元。

银行对247家企业信贷利率的制定结果相同，均为4.7%。

（3） 问题的检验

问题二所用的模型为灰色关联分析模型，在对信贷风险的量化分析结果的检验时采用问题一的Topsis模型进行检验，将不同模型下得到的结果用excel的折线图显示出来，发现两者的结果在误差允许的范围内相吻合，故检验结果正确。

三、模型假设

1.假设企业的负数发票对企业的实力和信誉的评定不产生影响。

2.假设企业的生产经营和经济效益不受时间和季节等因素的影响。

3.假设银行对企业的信贷风险评估时不考虑企业的偿债能力。

4.假设对信誉评级为D以及经济效益亏本的企业不予放贷。

四、符号说明

mi评级为i的所有企业分配的总额度

ri誉评级为i的贷款利率

ni信誉评级为i的企业总个数

pi信誉评级为i的客户保留率

si信誉评级为i的银行收益率

ρ分辨系数

α温度衰减系数

ωj第j个指标的权重

ej第j个指标的信息熵

dj第j个指标的信息效用值

五、模型的建立与求解

1.问题一的模型的建立与求解

（1） 对123家企业的信贷风险进行量化分析

①数据的预处理

根据题意，银行对信誉评级为D的企业原则上不予贷款，且筛选出信誉评级为D的企业有E36……E123。银行在制定对企业的信贷策略时应将信誉评级为D的企业排除在外。

②基于熵权法的Topsis模型对信贷风险进行量化分析

A.利用熵权法对信贷风险的各个指标进行赋权

第一，最直观也是最有说服力的一个指标就是企業的利润，如果一个企业的盈利状况可观则反映出企业的实力很强，进而就会导致信贷风险的降低，企业在购买原材料时需要支付进项税额，因此在考虑成本时应以价税合计为准，而在卖出成品时真实得到的是销项金额，算出企业的利润Wi。

第二，企业的利润率从另外一方面反映出了企业的成本收益率，在成本相同情况下企业赚取的利润的多少决定了该企业将投入转化为收益的能力，这也是衡量企业实力的一个重要指标，利润率高的企业具有较高的可持续发展和企业转型的能力，这无疑提升了企业的综合实力。

第三，为了衡量企业供求关系的稳定性，引入决策变量浮动比率，浮动比率的主要作用就是确定某一个企业的供求关系相较其他企业的供求关系是否更加稳定这一问题。浮动比率的数值越低，证明该企业的供求关系越稳定。具体计算公式为：

（1）

其中δ为81家企业的供求关系稳定性均值，mi表示Ei的销项发票个数，ni表示Ei的进项发票个数，并计算浮动比率εi。

第四，信誉等级和是否违约也对信誉风险的评估有着重大的影响。首先要做的是对信誉等级进行量化处理，将A，B，C的划分成数值比为5，3，1。同时，还应考虑到企业是否违约带来的负面影响，若企业未违约，则在数值比的基础上再增加1个权重;若企业违约，则数值比不变，这样就科学合理地量化了信誉等级，为接下来利用熵权法进行指标赋权提供了依据。

B.利用Topsis量化各公司的信贷风险

a.使用上述的熵权法确定贷款风险量化分析的指标为利润、利润率、浮动比率、信誉数值是否违约，分别分配权重;权重分配的结果依次为：0.0514，0.8187，0.0566，0.0642，0.0091。依次记为W1，W2，W3，W4，W5。

b.原始数据正向化处理。处理的方法与熵权法处理的方式相同，将所有指标统一转化成极大型。

c.将正向化之后的数据标准化处理，处理的方式与上述熵权法相同。记标准化之后的矩阵为Z。

d.计算评价的得分。

e.计算归一化之后的得分。

上述每一个企业的得分Si除以所有企业的得分，即为归一化处理的结果。这里对量化分析的结果进行说明：其值越大，表明该企业的信贷风险越低。

根据量化分析结果可以得出企业的信贷风险从高到低依次为：E3……E68。

③该银行在年度信贷总额固定时的信贷策略

A.信贷决策的贷款额度分配

根据题意可以得知贷款额度的大小与企业的实力和供求关系的稳定程度有关，所用模型与上述的模型大致相同，区别在于贷款额度分配问题不需要考虑企业的信誉等级和是否违约这两个指标，只需考虑利润、利润率和浮动比率这三个指标即可，利用熵权法对这三个指标进行赋权操作，得到利润、利润率和浮动比率所占权重分别为：0.334011，0.331105，0.334883。

在上述分配权重的基础上，建立基于熵权法的Topsis模型，形成Topsis的优劣解排序。由于年度信贷总额固定但不知道具体数值，故将年度信贷总额看作1来进行处理，把Topsis综合评价的得分作为企业信贷额度占年度信贷总额度的份额。企业信贷额度从大到小依次为：E68……E17。

B.信贷决策的利率制定

在制定信贷策略中的利率时，银行希望赚取最大的信贷利润，故建立非线性规划模型，求得在银行赚取利润最大化时对应的利率，即为利率的最佳制定方案。

首先，对客户流失率数据做预处理，客户流失率记为变量a，那么1-a就为客户保留率，把客户保留率记为变量p。

将企业贷款利率作为自变量x，每个信誉评级（不包括D）下的客户保留率p作为应变量，使用最小二乘法拟合出每个信誉等级下客户保留率与贷款年利率之间的函数关系式。

采用最小二乘法拟合，使得在xi（i=1，2，3……）处拟合出来的函数表达式φ（xi）在真实的数据点yi偏差的平方和最小，即

（2）

其中为真实数据点的横坐标，为拟合出来的函数曲线表达式在处的值，为-之间的差值。为了使得误差最小，即使的差值最小。

分别画出每个信誉等级下的客户保留率与贷款利率之间的散点图，确定一个拟合函数类：

（3）

使用拟合分别拟合出每个信誉评级下客户保留率与年利率关系。

信誉A：多项式拟合的函数表达式为：

（4）

信誉B：多项式拟合的函数表达式为：

（5）

信誉C：多项式拟合的函数表达式为：

（6）

分析不同信誉评级下贷款年利率和客户流失率的关系曲线可以看出，当银行的贷款年利率增大时，对信誉评级为A的企业来说客户保留率的下降速度和幅度最快，原因可能在于信誉评级为A的企业有较好的信誉且企业的实力相对来说比其他等级的企业的实力来说较强，信贷额度一般来说也较大，信誉评级为C的企业其客户保留率随银行贷款利率的增大而下降的速度和幅度次之，且信誉评级为C的企业的信贷利润占银行总利润的比重最小。而信誉评级为B的企业的实力和个数相对信誉评级为A和C的企业来说都适中。综上所述，可以预测最终银行制定贷款利率的结果为信誉评级为A的企业的利率最低，信誉评级为B的企业的利率次之，信誉评级为C的企业的利率最高。

其次，通过银行对不同信誉评级进行放贷所得的利润为目标函数，目标函数如下：

（7）

其中表示信誉评级为  时银行的信贷利润，表示信誉评级为  的企业的信贷总额度，表示信誉评级为  的客户个数，表示信誉评级为  时银行制定的年贷款利率，表示在前提下客户的保留率。

信誉评级为A的客户给银行带来利润的函数表达式为：

（8）

调用中函数，其中为，为，做出信誉评级为A的企业给银行带来的信贷利润关于贷款年利率的曲线图。

使用求得，当信誉等级为A的企业贷款年利率为0.047时银行的利润最大，所以银行对信誉等级为A的企业制定的利率为0.047，信誉评级为A的企业有：E2，E6，E7，E8，E9，E13，E15，E16，E17，E18，E22，E24，E31，E42，E48，E54，E59，E64，E81，E84，E88，E91。

信誉评级为B的客户给银行带来利润的函数表达式为：

（9）

调用中函数，其中为，为，做出信誉评级为B的企业给银行带来的信贷利润关于贷款年利率的曲线图。

使用求得，当信誉等级为B的企业贷款年利率为0.052时银行的利润最大，所以银行对信誉等级为B的企业制定的利率为0.052，信誉评级为B的企业有：E10，E12，E28，E30，E32，E34，E35，E38，E43，E51，E57，E58，E60，E61，E62，E63，E65，E67，E70，E71，E74，E76，E85，E93，E95，E97，E98，E106。

信誉评级为C的客户给银行带来利润的函数表达式为：

（10）

调用中函数，其中为，为，做出信誉评级为C的企业给银行带来的信贷利润关于贷款年利率的曲线图。

使用求得，当信誉等级为C的企业的贷款年利率为0.054时银行的利润最大，所以银行对信誉等级为C的企业制定的利率为0.054，信誉评级为C的企业有：E3，E4，E11，E14，E25，E29，E39，E40，E41，E46，E47，E49，E50，E53，E55，E68，E69，E72，E73，E75，E77，E78，E80，E86，E87，E90，E92，E94，E104，E105，E110。

（2） 灵敏度分析

对于A、B、C信誉评级下的银行利润与银行年利率之间的函数表达式进行灵敏度分析。以长度0.03为区间大小来截取不同信誉评级的函数区間。信誉评级为A截取[0.04，0.07]的函数区间，信誉评级为B截取[0.06，0.09]的函数区间，信誉评级为C截取[0.09，0.12]的函数区间。三个区间均以0.00001为步长取一点ri，计算其函数值，观察当自变量贷款利率发生微小变化时，因变量银行利润的变化情况。

信誉等级为A的情况下，灵敏度分析的区间为[0.04，0.07]时，利率发生微小变化，银行信贷利润变化不明显，仅在利率0.05984到0.05985以及0.0661到0.06616时，银行利润变化幅度较大，但从整体来看银行信贷利润的波动性不大。

信誉等级为B的情况下，灵敏度区间为[0.06，0.09]时，灵敏度分析所得曲线的平滑性较差，当信贷利率被调整时，银行信贷利润受其影响的程度非常大。

信誉等级为C的情况下，灵敏度区间为[0.09，0.12]时，其灵敏度分析的结果对比信誉等级为B时，银行贷款利润波动性较为平缓，但仍有明显的波动。

（3） 模型的检验

使用基于蒙特卡洛模拟的退火算法检验。检验的步骤为：

①使用蒙特卡洛模拟10000次获得的最大值，作为退火算法中的初始解。因为纯粹地使用退火算法，其初始解是随机生成的，倘若初始解与正确解的距离较大，这样会扩大搜索范围，求解的时间可能会过长。

②计算蒙特卡洛模拟10000次后得到自变量初始解X，计算X对应的值f（X）。

③在X附近随机生成一个随机解Z，计算Z所对应的函数值f（Z）。

④如果f（Z）> f（X），将Z的值赋值给X，然后重复上述步骤。

⑤如果f（Z）< f（X），那么接受Z的概率为：

其中，为温度衰减系数，一般取0.95。

T0为设置的初始温度，这里取100℃。

10000次蒙特卡洛模拟出的结果为：

最佳r值为0.0469，最大S值为0.2749（R取0.0469时，S取最大值0.2749。将此次结果作为模拟退火算法的初始解）。

2.问题二的模型的建立与求解

（1） 数据预处理

对于302家企业，在对信贷风险进行量化分析时不再考虑信誉等因素的影响，因此简化了模型指标为利润、利润率、浮动比率这三个方面。构成了302行3列的矩阵，根据同问题一相同的方法计算出每家企业的利润，剔除利润为负数的企业，不予考虑信贷额度。这样剩余247家企业，构成了247行3列的矩阵。

（2） 使用灰色关联分析对信贷风险进行量化分析

灰色关联分析的步骤为：

①对数据矩阵进行正向化处理（与问题一中Topsis方法相同）。

②对正向化的矩阵进行预处理。

处理的方法：先求出每一个指标的均值，再用该指标中的每一个元素除以其均值。

③对预处理后的矩阵取出每一行的最大值构成母序列;每一个指标构成子序列。

⑤计算子序列中各个指标与母序列的关联系数。

⑤其中为母序列， 为子序列。

⑥计算灰色关联系数

（11）

其中，，为分辨系数（一般取0.5）。

⑦计算灰色关联度

（12）

上述公式为和的灰色关联度，计算各个指标的权重。

⑧对k家企业的得分

（13）

⑨得分归一化处理

使用求解到247家企业的信贷风险量化分析为E126 0.020179076……E425 0.00134686。

（3） 信贷决策的贷款额度分配

贷款额度的分配与量化分析的结果具有一致性。综合得分越高代表企业的信贷风险越低，同时由于所有企业综合得分之和值为1，因此综合得分与信贷总额的乘积就是企业的信贷额度。结果为企业E329所得到的贷款额度最大，贷款额度为0.077890779亿元，企业E209所得到的贷款额度最小，贷款额0.000927146亿元。

（4） 信贷决策的利率制定

由于问题二中所有的企业都无信贷记录，因此在考虑如何确定贷款利率这一问题上参考问题一信誉评级为A的企业的贷款利率，这样使得所有企業在初次信贷时享有公平的待遇，因此247家企业的信贷利率为4.7%。

（5） 模型的检验

使用和问题一相同的Topsis模型检验信贷风险的量化分析结果。将使用Topsis模型与使用灰色关联分析模型所得到的信贷风险量化分析的结果可视化;然后利用excel绘制其结果的对比图。

从信贷风险的量化分析对比图的结果来看，量化结果的趋势走向一致。

参考文献：

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[4]李万杰，王伟，侯湘文.基于灰色关联分析理论的航天型号元器件供应商综合评价体系研究.中国管理信息化，2018.