优化单元结构促进深度迁移——以《两位数乘两位数》单元为例

文|杨明岚

“单元”是教师进行教学的基本单位。数学单元教学都是由多个具有内在联系的知识点组成的。用系统论的观点看，它是一个有机的整体，不是各个部分的机械组合或简单相加。在核心素养视域下，若只关注教材单个课时的内容与细节，而忽视对单元内容的整体把握，学生的思维就会变得简单和碎片化。关注单元的整体性，将数学结构与学生认知有效链接，才能让学习深度发生。那么，在单元教学中我们应该如何基于学生现实，优化教材结构，促进深度迁移呢？本文以《两位数乘两位数》教学为例做一些探讨。

一、基于学科逻辑，“思”整合切入点

1.从教材角度分析。

研读教材，《两位数乘两位数》教学单元学习采用“口算乘法（进位和不进位）、两位数乘两位数笔算（不进位、进位）、解决问题（连乘、连除）”的单元学习活动序列。本单元的教学重点是探究“两位数乘两位数”的笔算算理和算法。在实际教学中我们发现“两位数乘两位数”和“三位数乘两位数”的算理算法是相通的，乘法教学的内隐思想是转化，其原理是拆分，拆分成几步积，再求其和，这也正是后续乘法分配律的核心，也是整个单元教学的内核。从知识间的前后联系可以看出“两位数乘两位数”是学习整数乘法的一个转折点，也是一个关键期，乘法竖式的样子从以前的“一层”跨入了“二层”，而笔算乘法的本质就是计数单位的累加，笔算乘法就是拆分成几个几、几十个几、几百个几……及其和用竖式加以外显记录，因此本单元的竖式计算可以迁移至“三位数乘两位数”，增加学生学习的挑战性。

2.从学生角度分析。

如何整合？我们除了分析教材，还要研究学情。教师最需要了解的是：学生在学习这个单元之前，已有了什么？还缺什么？需要拓展提升什么？如何依据学生单元学习实际整合设计教学，让教师的“教”与学生的“学”真正发生？

学生之前已经学习了《多位数乘一位数》，能否将之前对乘法竖式的经验迁移到本单元，为了更精准地了解学生的认知起点，我们做了一次教学前测——尝试用你的方法计算下面5 道题（画一画、写一写、算一算）：

15×3 150×3 15×30 12×14 48×37

结合调查问卷、访谈，通过数据分析我们发现：首先，学生对“整数乘法”有着较高的学习起点。学生对“两位数乘两位数”的相关学习方法、现实经验有丰富的认知储备。其次，部分学生只关注计算“结果”，忽视“过程”。部分学生受多位数乘一位数笔算竖式及加法竖式“一层”负迁移，“知道”竖式的结果，却不能正确表征过程。还有部分学生出现对第二部分积的书写位置错误及漏乘现象。因此，本单元教学强调算理的理解需要与直观具体结合，帮助学生理解每一步积的意义，从而真正掌握竖式的算法和写法。

二、基于单元整体，“布”整合思路

基于以上分析，在实践教学过程中，我们将部分内容进行了整合，并对教材做了相应的拓展补充。

1.设定单元活动学习模块。

“两位数乘两位数”学习的重要基础内容有：“乘法的意义”“表内乘法”（二年级第一学期）和“多位数乘一位数”（三年级第一学期）。要具体展开的新内容线索如下：“口算乘法”“看图计算（横式计算）”“笔算乘法（不进位与进位的竖式计算）”“找规律（两位数乘两位数拓展）”“连乘、连除解决问题”。

2.重设单元活动学习目标。

进行本单元活动群的设计时，不是简单地将教材原先编排的单元课时内容进行简单叠加，我们在整体遵循教材编排的同时，重新整合设计了各学习主题活动，让各活动间相互承接、有机融合。如本单元，我们设计了如下活动内容及目标：活动一，两位数乘两位数（口算）。掌握两位数、几百几十数乘一位数的口算乘法及两位数乘整十、整百数。活动二，看图计算。借助点子图探究两位数乘两位数的算理和算法。活动三，多位数乘两位数的笔算。理解两位数乘两位数（不进位和进位）和三位数乘两位数的算理，掌握多位数乘两位数的笔算算法。活动四，找规律（两位数乘两位数拓展）。探究两位数乘两位数中存在的规律和算理，体验乘法计算的内在原理。活动五、六，连乘、连除。通过编故事的具体情境，建立用连乘解决问题的模型，学会用两步计算和不同的方法来解决问题。理解连乘、连除之间的关系。

此单元活动群一共设计六个活动，单元中各活动彼此之间呼应、递进，其内在关联保障有机整体地达成相应的单元教学目标。整数乘法起始于乘法意义，止于多位数乘两位数，而这个单元的教学活动序列是整个小学阶段的“中央序列”，有了来自于乘法意义的支撑，活动内涵就变得更丰富，更有整合、拓展的意义与价值。

三、基于单元实践，“促”理解与迁移

对单元活动内容进行结构化布局后，我们要思考各主题活动的课堂结构，力求结构化的课堂教学赋予学生可持续发展的最强劲学习力和迁移力。因此我们着重考虑了两个方面：一是设计具有结构性的一组学习材料。二是实施具有挑战性的活动任务。如此，才能使学生真正看到数学思维的力量，促进学生对知识的深度理解并实现迁移。下面重点阐述以下“笔算乘法”板块3 个课时的整合拓展的实践。

【活动二】看图计算——关注算理的深度理解

新增拓展课：看图计算——12×13。教材中并没有安排本课时，《看图计算》活动内容是原教材中学习两位数乘两位数笔算乘法例1 的一个学习材料。根据整合思路，为了让学生更好地理解算理，为学习笔算乘法做铺垫。本节活动课将这一学习材料单独作为一个课时进行教学，既巩固了口算乘法算理，又为后面学习笔算乘法做好铺垫，起到了承上启下的作用，也是整个单元的内核。

任务：在点子图中画一画、找一找、算一算“12×13”。

学生材料（如下图）：

讨论1：（整理）你能给这些作品分分类吗？

讨论2：（转换的理由）观察分12 的作品，你有什么发现？分13 的作品中，能不能写出一些连乘算式呢？为什么？

讨论3：（优化）同样拆“12”，你更喜欢哪一种？为什么？

讨论4：（编题）你能列举一个两位数乘两位数的算式，并说一说计算方法吗？

如上教学，比原教材编排笔算乘法两课时的教学内容更加丰富，研究了本单元最重要的计算中“‘式’‘形’结合、以形析理”的问题，也为笔算乘法打下了坚实的基础。教学中让学生自主迁移学习，如学生认识到分拆一个因数是一个通法，可以举一反三，实现迁移，由教师给学生一道题，学生能想到更多的题，能自主解决计算其他更多的两位数乘两位数其他题型。

【活动三】多位数乘两位数的笔算——“式”“形”结合，知其理

基于上一节“看图计算”活动课中将点子图放大，借助直观手段（点子图）与算式相对应，“式”“形”结合，使学生在活动中得其形、知其理。本节课重点引导学生理解两步乘积和四步乘积的道理和联系。

任务：笔算“12×14”。

呈现学生材料：

讨论1：黑板上5 种竖式，你认为哪些是错误的？为什么？（统一认为正确和有争议的分类贴开）

讨论2：你能在图中找到竖式中每一步的积吗？

讨论3：第2 个竖式得数是108 的方法少了的部分在哪？请画一画、找一找。

讨论4：你能不能试着触类旁通，三位数乘两位数怎么计算？你会用刚才习得的方法尝试解决“112×14”吗？

如上教学，通过一组诊断性学习材料，充分暴露了学生的学习起点，教师以此为基础提出了“这5 个竖式都正确吗”“你能在图中找到每一步的积吗”“得数是108 的方法少的部分在哪儿？请画一画、找一找”三个核心问题，使学生对两位数乘两位数笔算的算理与算法有了更清楚的认识。最后拓展到三位数乘两位数，应用已有的知识经验进行新情境下的拓展迁移，从而理解多位数乘两位数计算算理的本质是一样的。

【活动四】找规律——用结构促进“理解与迁移”

根据前面两节课对两位数乘两位数扎实的教学后，我们再设计一节拓展课，让学生通过编算式，找得数相等的算式，尝试探索某一些特殊乘法算式得数相等的道理。在这样一个尝试探索的过程中经历想一想、找一找、算一算、画一画、说一说等过程，丰富学生解决问题的策略和方法，拓展数学思维。在不同方法的比较过程中，巩固理解两位数乘两位数计算背后隐含的原理，培养学生的观察、分析、推理能力。

任务：用1、2、3、6 编一道□□×□□乘法算式；找得数相等的算式。

呈现学生材料：

12×36 12×63 13×62 16×32 16×23 31×26

21×36 21×63 23×61 26×13 31×62 32×61

讨论1：仔细观察，哪种方式你能一眼看明白这其中的道理？这些积分别是怎么乘得的？

讨论2：对比第③种方法的两道竖式，想一想每一块相等的积分别是什么位上的数乘什么位上的数所得的积。

讨论3：你能分别在第④的两幅图中找到四块相等的积吗？谁上来用箭头画一画？

这节两位数乘两位数的单元拓展课，教师充分利用生成资源，结构化反馈推进教学，探讨相等算式背后的道理，促使学生的思维从直观形象层面上升到合情推理阶段。同时通过不同方法的对比求同，建构竖式直观与图式模型之间的关联，理解图式是笔算方法的另一种直观表达形式，借助图式表征有助于深入感知有趣规律背后的计算原理。

以上我们通过对一个单元重点课例的思考与实践阐述了基于结构化进行单元整合计算教学的思路。在核心素养视域下，数学单元教学是在学科大观念的统领下进行的，我们基于学生立场，通过调整教学顺序，增减单元内容，发挥结构的力量，将知识有机地联系起来，帮助学生逐步感悟到知识背后蕴含的道理与方法，并将其迁移应用于新的情境中，以促进学生对知识的意义理解和迁移应用。