形成机械波的多解问题原因与应试对策

胡朝平

机械波的多解问题是高中物理的一个难点，也是历来高考中的热点.学生在求解机械波问题时，往往由于对波动的实质理解不深刻、对题目中隐含条件挖掘不透彻、对已知条件使用不全面等，常常会出现解答不完整而造成漏解.本文限于横波沿一条直线传播的情形，就常见的机械波多解问题通过剖析其成因进行归类例析，力求帮助大家掌握解决此类问题的方法.

一、造成波动问题多解的原因有

传播方向、波长大小、波形周期、质点振动方向、传播时间、质点振动图像.

1.传播方向导致的多解问题

波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播.若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题.

例1 一列简谐横波在t=0时刻的波形如图1中的实线所示，t=0.02 s时刻的波形如图1所示中虚线所示.若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是（  ）.

A.1 m/s B.2m/s C.3m/s D.5 m/s

图1

解析 由于该波的周期大于0.02 s，则波沿传播方向传播的距离小于一个波长，即Δx<8 cm.

若波向右传播，则Δx=2 cm，

v=ΔxΔt=0.020.02 m/s=1 m/s

若波向左传播，则Δx=6 cm，

v=ΔxΔt=0.060.02 m/s=3  m/s

故A、C正确.

答案：AC

2.波长大小导致的多解问题

因题中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题.

例2 一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为（  ）.

A.4 m、6 m和8 m  B.6 m、8 m和12 m

C.4 m、6 m和12 mD.4 m、8 m和12 m

解析 画出符合条件的所有可能波形，如图2所示.分别有λ2 =6 m，λ=6 m，3λ2=6 m，则λ可能为4 m、6 m和12 m，C正确.

图2

答案：C

3.波形周期导致的多解问题

简谐机械波是周期性的，每经过一个周期波形与原波形重复，从而导致了问题的多解性.

例3 如图3所示中实线是一列简谐波在某一时刻的波形图线，虚线是0.2s后它的波形图线.这列波可能的传播速度是.

图3

解析 从图上可以看出λ=4m，当波沿x正方向传播时，两次波形之间间隔的时间为：14T，114T，214T，…，4n+14T.

而4n+14T=0.2s

T=4×0.24n+1s

由波速公式v=λT代入数据得：v=4n+30.2 m/s=20n+5 m/s （n=0，1，2，…）;

當波沿x负方向传播时，两次波形之间间隔的时间为：34T，134T，234T，…，4m+34T

4m+34T=0.2，T=4×0.24m+3，

由波速公式v=λT

代入数据得：v′=4m+30.2 m/s=20m+15 m/s （m=0，1，2，…）

此题的答案为：（20n+5） m/s，（n=0，1，2，…）和（20m+15） m/s，（m=0，1，2，…）.

答案：（20n+5）m/s，（n=0，1，2，…）和（20m+15） m/s，（m=0，1，2，…）

4.质点振动方向导致多解问题

例4 一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0 m，b点在a点的右方，如图4所示.当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动，经过1.00 s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移达到负极大，则这简谐横波的波速可能等于（  ）.

A.4.67 m/s B.6 m/s C.10 m/s D.14 m/s

图4          图5

解析 由于波向右传播，据“a点位移达正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动”，可画出此时a、b间的最简波形，如图5所示.因未明确a、b距离与波长的约束关系，故a、b间的距离存在“周期性”.即n1+34λ=ab=14m （n1=0，1，2，…）

因所给定时间与周期的关系未知，故运动时间也存在“周期性”.即（n2+14）T=Δt=1.00 s（n2=0，1，2，…）

因此可能的波速为v=λT=14（4n2+1）4n1+3m/s

当n2=0，n1=0时，v=4.67 m/s;

当n2=0，n1=1时，v=2 m/s;

（n2=0，v随n1增大还将减小.）

当n2=1，n1=0时，v=23.3 m/s;（n1=0，V随n2的增大而增大.）

当n2=1，n1=1时，v=10 m/s;

据以上计算数据，不可能出现B和D选项的结果，故选项A、C正确.

答案：AC

5.传播时间导致的多解问题

题目中所给定的时间条件不充分，可能比一个周期长，可能比一个周期短，从而导致了多解问题的出现.

例5 某时刻的波形图如图6所示，波沿x轴正方向传播，P点的横坐标x=0.32 m.从此时刻开始计时.

图6

（1）若P点经0.4 s第一次达到最大正位移，求波速.

（2）若P点经0.4 s到达平衡位置，波速又如何？

解析 （1）依题意，经时间Δt=0.4 s，波向右传播的距离Δx=0.32 m-0.2 m=0.12 m，此时P点恰好第一次达到最大正位移

波速 v=ΔxΔt=0.120.4 m/s=0.3  m/s.

（2）波向右传播Δx′=0.32 m，P点恰好第一次达到平衡位置，由波的周期性可知，波可能传播的距离Δx′=0.32+λ2n，（n=0、1、2、3…）

波速v′=Δx′Δt=0.32+

0.82n0.4  m/s

=（0.8+n）  m/s，（n=0、1、2、3…）

答案：（1）0.3  m/s （2）（0.8+n） m/s，（n=0、1、2、3…）

6.波动图像上和质点运动导致的多解问题在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态.这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性.

例6 一列正弦横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距sab=6m的两质点，t=0，b点正好振动到最高点而a点恰好经过平衡位置向上运动，已知这列波的频率为25 Hz.

（1）设a、b在x轴上的距离小于一个波长，试求出该波的波速.

（2）设a、b在x轴上的距离大于一个波长，试求出该波的波速，若波速为40 m/s时，求波的传播方向.

图7

解析 （1）若波向右传播，a和b两质点应于如图7所示的a1和b1的两位置，sab=34λ1=6m，λ1=8m，向右传播的波速v1=λ1f=200  m/s.

若波向左传播，a和b两质点应分别位于图7中a2和b1两位置，sab=14λ2=6 m，λ2=24 m，向左传播的波速v2=λ2f=600  m/s.

（2）因a，b在x轴上的距离大于一个波长，若波向右传播，a质点若位于图7中a1的位置，则b质点可位于b1，b2，…等位置，此时，sab=34λ右+nλ右=6 m，（n=1，2，3，…），λ右=244n+3 m，向右传播的波速v右=λ右f=6004n+3  m/s，（n=1，2，3，…）

若波向左传播，a质点若位于图7中的a2的位置，则b质点可位于b1，b2，…等位置，此时，sab=

34λ左+nλ左=6 m，λ左=244n+1 m.向左传播的波速 v左=λ左f=6004n+1 m/s，（n=1，2，3，…）

当波速为40  m/s时，该波向左传播，应有：6004n+1 =40，n=144，无整数解，故不可能向左.设波向右传播，有6004n+3=40，n=3，故可以判定当波速为40  m/s时，波传播的方向是由左向右.

答案：（1）600  m/s （2）40  m/s

例7 一简谐横波沿水平绳沿x轴负方向以

v=20 m/s的波速传播.已知t=0时的波形如图8所示，绳上两质点M、N的平衡位置分别是xM=5 m、xN=35 m.从该时刻开始计时，求：

（1）质点N第一次回到平衡位置的时间t;

（2）平衡位置在x=20m的质点，其振动的位移随时间变化的表达式（用余弦函数表示）;

（3）经过多长时间，质点M、N振动的速度相同.图8

解析 （1）机械波在均匀介质中匀速传播，波沿x轴负方向传播，平衡位置的振动状态距N点

t=Δxv=50-3520s，

解得t=0.75 s;

（2）由题知A=2 m，λ=40 m，T=λv=2 s，ω=2πT=π（rad/s）

该质点与原点的距离为20 m=12λ，则该质点的初相位为φ0=12×2π=π，

故该质点的振动表达式为y=Acosωt+φ0=2cos（πt+π）（m）

或y=-2cosπt（m）;

（3）当某质点位于平衡位置时，其两侧与它平衡位置间距相等的质点速度相同，平衡位置的振动状态传播到MN中点的距离Δx′=λ4+nλ2（n=0，1，2…）

经过的时间t′=Δx′v，

解得t′=（n+0.5）（s），（n=0，1，2…）

答案：（1）0.75s;（2） y=-2cosπt（m）;（3） t′=（n+0.5）（s），（n=0，1，2…）

二、解决波的多解问题的思路

一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t=nT+Δt（n=0，1，2，…）;若此关系为距离，则x=nλ+Δx（n=0，1，2…）.

三、波的多解问题的一般解题步骤

（1）根据初末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式.

（2）根据题设条件判断是唯一解还是多解.

（3）根據波速公式v=ΔxΔt或v=λT=λf求波速.

（收稿日期：2021-09-10）