新型三角形结构电磁式振动能量采集器的设计与分析

陈春明，袁天辰，陈立群,3,4

(1.上海大学 力学与工程科学学院，上海 200444；2.上海工程技术大学 城市轨道交通学院，上海 201620；3.上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200444；4.上海大学 上海市能源工程力学重点实验室，上海 200444)

在自然界中，大量能量因振动而耗散，从环境振动中采集能量越来越受到研究者们的关注。将振动能转换为电能的能量采集器主要有三种形式：电磁式[1-2]、压电式[3-4]和静电式[5]。由于环境中的振动频率通常很小，且往往覆盖较宽的频率范围[6]，因此，使能量采集器具有较大的采集带宽和较低的工作频率是研究的重点。

为了实现上述目的，研究者们提出了许多结构。一种最常见的思路是利用悬臂梁作为压电能量采集系统的主要部分[7-10]。Li等[11]提出了一种双稳态压电能量采集器，该系统由两个“悬臂梁-质量”子系统组成，并证明其可以在加速度为1g的简谐激励下产生0.35 μW的峰值输出功率，且能量采集带宽为14～28 Hz。Zhou等[12]分析了非对称三稳态能量采集器的动力学特征。通过将磁力引入到基于悬臂的压电能量收集器，Zhou等[13]提出了一种四稳态能量采集器，并证明它可以产生比双稳态能量采集器更高的输出电压。除了向系统中引入磁体和增加悬臂梁的数量外，一些研究者还通过改变传统的基于悬臂梁的压电式能量采集器的结构来扩大能量采集带宽。Harne等[14]使用了一个由两个相连的悬臂组成的L型结构，并分析了此系统的1∶2内共振。Deng等[15]设计了一种跷跷板式的结构，并表明它可以通过有效地克服能量采集系统中广泛存在的“势垒现象”来拓宽采集带宽。Zhou等[16]研究了4种具有塞子结构的压电式能量采集器，并比较了它们的能量采集效率。但是，基于悬臂梁的能量采集系统无法在低频下获得好的能量采集效果，这是由悬臂梁的固有频率通常较高导致的[17-18]。因此，研究者们提出了许多其他方法[19]，例如使用非线性能量阱[20]、可调节式的双质量阻尼系统[21]和圆形复合板[22]。张颖等[23]基于环形Halbach永磁阵列，提出了一种径向电磁式旋转能量采集系统，以收集轴承的旋转动能用于轴承健康监测。代胡亮等[24]设计了一种可将人体运动中动能转化为电能的混合式振动能量采集系统，该系统兼具压电式和电磁式能量采集器的特点。Kuang等[25]提出了含有一个磁性滚动摆的能量采集系统。由于磁力会在系统中引入强烈的非线性，因此其在低频范围内获得了4.8 Hz的采集带宽。Thomson等[26]提出了一种使用介电弹性体的环境振动能量采集器，并证明它可以有效地采集能量，且能量密度为9.15 J/kg。Li等[17]使用了在隔振方面具有显著效果的X型结构来采集振动能量，并证明了它可用于桥梁的健康监测。Wei等[27]在X型结构上附加了两个“杠杆-质量”组件，并证明了该结构有利于随机振动的能量采集。

本文提出了一种新型三角形结构电磁式振动能量采集器，利用杠杆结构放大磁铁和线圈之间的相对位移，提高采集器的输出电压。创新地在轻杆末端设置弹簧，形成三自由度非线性动力系统，拓宽了系统的采集器频带，达到高效宽频采集环境振动能量的设计目的。

1 系统的设计与建模

1.1 设 计

能量采集器主要包括两个部分：其一为系统上部的一个振动方向竖直的主质量块，该质量块由一非线性弹簧与系统的框架相连；其二为主质量块正下方的两个放置于滑轨上的滑块，其上分别固定有用于电磁式能量采集的组件——线圈和磁铁。滑块分别与同侧的支座通过非线性弹簧连接。两个轻杆将滑轨上的支座与主质量块连接，使系统具有三角形结构，如图1所示。

图1 系统的示意图

此种类似杠杆的结构能够放大滑块的位移，当基座振动时，两个滑块具有相对位移和相对速度，根据电磁感应理论，线圈和磁铁的相对速度与感应电流正相关。

1.2 建 模

系统的动能可表示为

(1)

系统的势能为

(2)

式中：k11，k21和k31分别为三个弹簧的线性刚度；k13，k23和k33分别为它们的非线性刚度；z1，x2和x3分别为大质量块与基座的相对位移和两个滑块的绝对位移；x4和x5为支座的位移，如图2所示，可以写成

图2 支座的位移

(3)

式中，L和θ分别为轻杆的长度及轻杆相对于水平面的装配角。

根据电磁感应理论，当线圈与磁铁作相对运动时，线圈中会产生感应电动势，同时两者会受到一对方向相反的电磁力，且平均磁通量密度B，感应电流I，线圈总长度Lcoil，外负载电阻R及电磁力Fe具有以下关系

(4)

进而有

(5)

(6)

在本系统中，由于电磁力与滑块的相对速度有关，则可以将其视为一种黏性阻尼，系数为

(7)

根据哈密顿原理，系统的欧拉-拉格朗日方程为

(8)

(9)

其中，

(10)

2 不同设计参数对振动能量采集的影响分析

2.1 装配角θ

表1 系统参数

在所给的系统参数下，系统在低频范围出现两个共振峰。在其他参数确定时，装配角对系统能量采集的影响，如图3所示。当θ=π/3时，在第一个波峰处，外负载两端的电压为1.28 V，外激励频率为7.5 Hz，在第二个波峰处电压和频率分别为0.85 V和43.5 Hz。而当θ减小至π/5时，两个波峰处的感应电压增大，依次为2.61 V和2.44 V。虽然装配角的减小会提高感应电压的幅值以及加强系统的非线性，但是也同时提高了第一个波峰附近的采集频段(在每个波峰附近，设大于电压幅值一半的频率范围为系统的采集频段)。当θ由π/3减小至π/5时，第一个采集频段由6～7.5 Hz变为12～15 Hz。可见，较大的装配角有利于10 Hz以下低频范围的能量采集，较小的装配角则能使系统输出较大的电压。通过改变装配角的大小，系统能够满足不同环境和不同要求下的能量采集。

图3 不同装配角θ下的电压-频率曲线

当θ=π/3时，各质量在第一个波峰处的速度历程曲线，如图4所示。主质量与基座的相对速度幅值为0.36 m/s，线圈和磁铁的绝对速度幅值为0.65 m/s，且它们的相对速度幅值为1.3 m/s。可见，得益于三角形结构的对称性，当系统的质量分布也对称时，线圈和磁铁作稳定的反向运动，使系统具有良好的能量采集效率。当θ=π/3时，两个波峰处的感应电压历程曲线，如图5所示。

图4 f=7.5 Hz, θ=π/3，时的速度-时间曲线

图5 θ=π/3时的电压-时间曲线

2.2 质量m1，m2和m3

除质量外，本节中的其他参数见表1，且装配角θ=π/3。当m1=0.6 kg及m2=m3=0.35 kg时，两个电压幅值依次为0.96 V与0.5 V，采集频段为5.5～7 Hz。当主质量提高到1 kg时，电压幅值分别提高了77%和154%，但是采集频段和共振峰频率变化很小，如图6所示。主质量的增大不但提高了电压幅值，还增强了系统的非线性特征，其原因是：系统中仅有主质量的运动方向与基座振动方向平行，主质量的增大使输入系统的总能量增大，进而使各质量的位移和速度增大，提高了感应电流I。然而，在实际应用中，过大的主质量会使系统出现混沌等不利于能量采集的现象，对主质量的调整需要考虑动力学稳定性。

图6 不同主质量m1下的电压-频率曲线

当m1=0.8 kg时，滑块质量大小对电压的影响，如图7所示。当m2=m3=0.25 kg时，采集频段依次为6.5～8 Hz和37.5～45 Hz，电压幅值依次为1.25 V和1.09 V。当滑块质量提高到0.45 kg时，第一个采集频段变为5.5～7 Hz，第二个变为35～42.5 Hz，且电压幅值依次为1.32 V和0.69 V。不同于单独改变主质量的情形，单独调整滑块质量几乎不影响系统的非线性特征，且对两个采集频段输出电压的影响不同。较小的滑块质量会使第二个采集频段获得较大的输出电压，而增大滑块质量会提高第一个电压幅值，并使两个频段的频率范围减小，有利于超低频范围的能量采集。

图7 不同质量m2和m3下的电压-频率曲线

2.3 刚 度

在本节中，除刚度外，其他系统参数见表1，且装配角θ=π/3。弹簧的非线性刚度恒定时，不同线性刚度大小对系统能量采集的影响，如图8所示。当k11=k21=k31=2 000 N/m时，能量采集频段依次为5～6.5 Hz和29～39 Hz。当k11=k21=k31=6 000 N/m时，采集频段变为6.5～8 Hz和42.5～48.5 Hz。可见，线性刚度的改变会对电压-频率曲线产生“平移”效果，较小的线性刚度下，系统的能量采集频率范围相对较小。由图还可知，线性刚度越大，系统的非线性特征就越不明显，较小的线性刚度不但更有利于低频范围的能量采集，还可以获得较宽的采集频段。

图8 不同线性刚度下的电压-频率曲线(i=1,2,3)

单独改变非线性刚度时，电压-频率曲线的变化，如图9所示。当k13=k23=k33=5×107N/m3时，采集频段依次为5.5～6.5 Hz和34.5～40 Hz。当非线性刚度值提升至1.5×108N/m3时，采集频段变为6.5～8 Hz和37～46.5 Hz。由图可知，弹簧的非线性刚度与能量采集频率范围内曲线的倾斜程度相关，非线性刚度越大，系统的硬非线性特征越显著，进而使得波峰附近的能量采集范围越宽。需要指出的是，在实际应用中，弹簧的线性刚度和非线性刚度会同时变化，对电压-频率曲线的影响等同于“平移”和“倾斜”效果的叠加。作为一种常用的连接件，两端固定的薄金属片可作为本系统中的非线性弹簧，其能够提供线性刚度以及三次非线性刚度[28]，在其他系统参数确定时，通过改变其长度，其刚度值会变化，进而改变系统的工作频率范围，使本系统能够根据需要方便地进行调整。

图9 不同非线性刚度下的电压-频率曲线(i=1,2,3)

3 与参照系统的比较

为体现所设计系统结构对输出电压的影响，提出一个传统的竖向能量采集系统，并加以比较。该参照系统的能量采集组件与主质量和框架相连，如图10所示，且其运动学方程为

图10 参照系统

(11)

在比较中，为使两系统的主质量位移和波峰位置尽量相近，采用如下的质量和结构参数：m1=1.5 kg，M1=0.8 kg，m2=m3=M2=M3=0.35 kg，θ=π/5。两系统的刚度和阻尼系数见表1，此时，在基座激励同为A=g的情况下，最大输出电压对应频率处(设计系统为18 Hz，参照系统为19 Hz)的电压-时间曲线，如图11所示。

图11 两系统在最大输出电压对应频率处的电压-时间曲线

在此种参数下，设计系统与参照系统的电压-频率曲线，如图12所示。本文所设计的系统的最大输出电压为4.98 V，为参照系统的1.76倍。此外，设计系统还具有可用的第二个采集频段。该对比说明了在主质量位移基本相同的情况下，得益于三角形结构的位移放大作用，相较于竖置能量采集组件的系统，该设计系统能够显著提高输出电压。

图12 两系统在主质量位移基本相同时的电压-频率曲线

4 试验验证

为验证该能量采集器的可行性及数值计算结果的准确性，根据图1设计加工了该能量采集器的试验原型，如图13所示。试验中采用两端固支的铜制长方形薄片作为连接件，以提供线性刚度与三次非线性刚度。试验平台如图14所示，主要设备为激振器、功率放大器、振动控制器和数据采集器。一台电脑用于生成控制信号，经由功率放大器使激振器以选定方式振动，若干加速度传感器分布于试验原型各处，并由与另一台电脑相连的数据采集器收集试验原始数据。试验中使用一个阻值为470 Ω的电阻代表外负载，其与线圈导线串联，并由数据采集器收集电压数据。

图13 系统的试验原型

1.该系统; 2.加速度传感器; 3.线圈导线; 4.数据采集器; 5、6.电脑; 7.振动控制器; 8.功率放大器; 9.激振器。

连接件的刚度项及滑轨的阻尼值可由恢复力曲面法辨识得到[29]，辨识结果为：k21=k31=2 945.8 N/m，k23=k33=9.11×107N/m3及c2=c3=c4=1.9 N·s/m。试验系统的其他参数为：m1=0.71 kg，m2=m3=0.32 kg，c1=0.5 N·s/m，Lcoil=50 m，B=0.02 T。需要指出的是，系统中的铜片具有相同的弹性模量和几何尺寸，且使用两个铜片夹持上方的主质量，以提高稳定性，因此，其刚度值为滑轨上铜片的两倍，即：k11=5 891.6 N/m，k13=1.82×108N/m3。

试验中使用幅值为1g的加速度激励，在5～80 Hz的频段进行双向扫频，采样频率设置为5 120。对原始数据进行后处理，可以得到与频率对应的电压值，如图15所示。

图15 试验数据(正向扫频)及包络线

将试验参数代入系统运动方程，得到此参数下的电压-频率数值解曲线。数值解与试验结果的对比，如图16所示，可见：系统的试验电压曲线峰值频率分别为9.4 Hz和38.4 Hz，对应数值解的峰值频率为8 Hz和39 Hz；试验曲线的共振峰数量与位置、非线性特征、采集频段曲线斜率与数值解基本一致。以上结果验证了系统运动方程和数值解的可靠性，并说明了该系统可以实现有效的振动能量采集。

图16 数值解与试验结果的对比

5 结 论

本文提出了一种基于三角形位移放大结构的新型电磁式振动能量采集器，并根据电磁感应理论及哈密顿原理推导了它的动力学方程，通过理论分析和试验验证，得出了以下结论：

(1)基于所设计的三角形采集器构型，通过杠杆放大了电磁能量转换组件的相对位移和相对速度。在外激励相同的情况下，最大输出电压是对照线性竖直振动能量系统的1.76倍。

(2)通过轻杆末端设置弹簧，形成三自由度非线性动力系统，拓宽了系统的响应频带。覆盖了两个主要的频率范围：第一个在5～15 Hz，第二个在20～45 Hz，使系统具有良好的振动能量采集效果。

(3)通过改变系统设计参数，可以调整采集器的工作特性：较大的装配角、滑块质量以及较小的刚度值有利于低频范围的能量采集，而较小的装配角和滑块质量则能够提高第二个采集频段的输出电压。

本文所提出的新型三角形结构电磁振动能量采集器的这些新特性使之能够针对环境中普遍存在的低频振动源进行有效的能量采集，并且通过简单地调整装配角等参数，覆盖较宽的频率范围。