基础隔震高层建筑结构减震系数研究

赖正聪，潘 文，白 羽，叶燎原，张田庆，贾 毅

(1.昆明理工大学 建筑工程学院，昆明 650500；2.云南省抗震工程技术研究中心，昆明 650500；3.中国建筑第二工程局有限公司，昆明 650500)

隔震结构在抵抗可能遭遇的超罕遇烈度地震作用方面，较非隔震结构具有更高的安全储备、优势更为显著。目前，隔震技术应用正从低矮建筑向高层建筑延伸发展。高宽比较小的低矮隔震结构在地震作用下，基本以整体平动及剪切变形为主，不易发生倾覆。而高宽比较大的高层隔震结构在地震作用下，弯剪变形较为突出，往往因受到较大的倾覆力矩作用而呈现相对显著的翻转，隔震层倾角反应也更为剧烈[1-2]。

由于隔震后结构所受到的实际地震作用将显著减小，从而结构所受内力也随之大幅减小[3]。因此，在结构设计中可根据内力减小的程度酌情对上部结构地震作用及抗震措施要求适当降低。对此，目前主要根据水平向减震系数大小来确定降低幅度。而正如上所述，低矮建筑与高层建筑在地震作用下的主要受力及变形特征有所不同，新修编的国家标准GB 50011—2010《建筑抗震设计规范》[4](以下简称《抗规》)提出：对于多层建筑，取楼层剪力最大比值；对于高层建筑还应考虑倾覆力矩比，并取剪力比与力矩比的较大值。而《建筑隔震设计标准》(征求意见稿)中因采用直接带隔震层进行结构设计的做法，不存在地震力降低的问题，但针对抗震措施要求降低的规定中强调了用隔震后、前的底部剪力比进行划分，不再考虑力矩比的影响。两部标准之间具有显著的差异。针对上述相关问题，目前仅有少数学者结合实际结构算例[5]或就特定比值的影响因素[6-8]进行了分析，未能给出普适性的结论，尚无缺乏较为深入全面的机理性研究。

本文针对质量、刚度沿高度分布相对均匀的基础隔震高层建筑结构建立其等效梁模型，基于振型分解反应谱法、编制MATLAB计算程序，分别对隔震及非隔震结构振型数、振型参与质量、地震剪力、力矩等关键指标进行探讨分析。给出了确定水平向减震系数指标的临界刚度比、临界周期比。进一步分析了该两个临界比值对减震系数的一般性控制规律。所得研究成果可为相关理论研究及工程应用提供参考和依据。

1 基于等效梁模型的动力分析

高宽比较大的基础隔震高层建筑结构，其上部结构质量、刚度沿高度分布往往相对较为均匀。可采用图1所示的等效隔震梁模型进行模拟分析。隔震层总体水平等效刚度Kh、总体抗倾覆转动刚度Kθ、隔震层水平总体等效黏滞阻尼系数Ch、转动等效黏滞阻尼系数Cθ均可根据支座性能及布置参数确定[9]。

图1 基础隔震高层剪力墙结构简化分析模型

在非隔震情况下，代以图2(a)所示的悬臂梁模型。设其受到侧向水平激励力f(x,t)的作用，在不考虑图2(b)中微元体上转动惯性力影响的情况下，可采用经典Bernoulli-Euler梁模型进行分析。实际结构在水平力作用下，将同时发生弯曲及剪切变形，但对于本文所探讨的问题，采用同时包含两种变形的整体等效抗弯刚度同样可得到较为准确的分析结果[10]。梁横向振动控制微分方程为

图2 非隔震悬臂梁

(1)

式中：E为材料弹性模量；I为截面等效惯性矩；ρ为材料密度；A为等效截面积。

自由振动情况下，激励力f(x,t)=0，振动方程演变为式(2)

(2)

采用分离变量法求解式(2)，假设其解y(x,t)可表示为[11-12]

y(x,t)=φ(x)q(t)

(3)

将其代入式(2)，经简单整理后可分别得到关于模态函数φ(x)和广义坐标q(t)的两个独立微分方程。求解关于φ(x)的4阶微分方程可得

φ(x)=C1cosβx+C2sinβx+C3chβx+C4shβx

(4)

其中，

(5)

积分常数Cj(j=1，2，3，4)及参数ω可由满足特定边界条件的频率方程确定，ρl=ρA。

对于总高度为l(梁总长)的非隔震结构，Chopra已给出对应的频率方程

1+cosβlchβl=0

(6)

利用数值方法求解式(6)，当n=1,n=2,n=3和n=4时，得到

βnl=1.875,βnl=4.694,

βnl=7.855,βnl=10.996

(7)

对应前4阶固有频率分别为

ωn=3.516f0,ωn=22.03f0,

ωn=61.7f0,ωn=120.9f0

(8)

引入边界条件后，非隔震结构模态函数可表达为

φn(x)=chβnx-cosβnx-

(9)

对应前4阶振型曲线如图3所示。

图3 非隔震悬臂梁梁振型曲线

对于隔震结构，不考虑阻尼的情况下，等效梁底部即隔震层所受瞬时力矩、剪力分别等于弹簧(支座)翻转力矩及支座水平剪力。在结构顶部截面处，弯矩、剪力均为0。由以上边界条件及式(3)～式(5)可得特征方程

(10)

由式(10)、式(5)即可求解各阶频率ωn。但该式较为复杂，难以得出解析解，将基于MATLAB平台采用数值方法进行计算。通过把所求出的频率ωn代入由隔震结构边界条件确定的以待定系数Cj为未知量的方程组便可得到各阶模态函数φn(x)。

(11)

式中，Mn，Cn，Kn分别为第n阶振型的广义质量、广义阻尼系数、广义刚度。

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：Cb为隔震层整体等效黏滞阻尼系数，非隔震结构计算时取0；C0为上部结构Rayleigh阻尼系数。

由此，可采用与离散系统相同的求解方法对隔震与非隔震结构各阶地震响应进行计算，然后通过各阶峰值反应组合得到隔震等效梁的最大地震反应。计算时，隔震支座水平刚度采用等效水平刚度，以将其非线性行为作等效线性化处理。因高宽比较大的高层隔震建筑形状往往较为规则，扭转反应相对较小[13]，因此，可按SRSS组合进行计算。

2 基本问题分析

2.1 隔震结构

工程实践经验表明，结构隔震前、后周期比、抗侧移刚度比对结构计算振型数及计算结果直接相关，现对相关问题作简要探讨。有效参与振型数需根据有效振型参与质量系数确定，该系数可按式(16)计算。

(16)

图4给出了不考虑等效梁质量、截面积沿高度变化的情况下，隔震结构1阶及1阶+2阶振型参与质量系数与隔震后、前结构1阶周期比rT1的关系。可见，当1阶周期比rT1>1.3时，1阶振型参与质量系数已超过90%，意味着该情况下可仅考虑1阶振型反应即可。而1阶+2阶的值在所给出的1阶周期比范围(1～5)内均已大于90%。

图4 隔震结构振型参与质量系数与1阶周期比的关系

不妨假设上部结构在沿高度均匀分布水平侧向力作用下，基于顶点位移相等的等效梁整体等效截面惯性矩为Ieq(不考虑弹模变化)，则对应的整体抗侧移刚度Ks为

(17)

隔震层总体等效水平刚度Kh与Ks具有相同量纲，而总体等效翻转刚度为Kθ的量纲则不同于Ks。定义无量纲刚度比值rkh=Ks/Kh，rkc=Kθ/Khl2，前者表示上部结构与隔震层抗侧移刚度比，后者则为隔震层翻转刚度与侧移刚度比。

图5给出了不同rkc对应的rkh与rT1关系曲线。可以看到，周期比rT1随刚度比rkh的增大而增大。rkc由1.6增大到6.4，即增大4倍的情况下，曲线变化较小。意味着隔震层等效翻转刚度Kθ对结构周期影响较小。在不考虑Kθ影响的情况下，按照前述等效梁动力分析方法，重新计算不同刚度比rkh下隔震后、前结构周期比rT1，通过数值拟合可得到

图5 rkh与rT1关系曲线

(18)

由式(18)可计算得到与rT1=1.3对应的rkh值为0.8。由前面分析可知，当rkh=0.8时，隔震结构1阶振型参与质量系数便超过90%，结构地震反应以基本振型贡献为主，高阶振型反应可忽略。

需作说明的是，本文定义的Ks为结构整体等效侧移刚度，并非特定楼层刚度，尽管看似当rkh=0.8时，上部结构刚度较隔震层刚度小，但实际上，从定义式(17)不难发现，对于单一楼层，l要小得多，相应的楼层抗侧移刚度值则要大得多。

2.2 非隔震结构

(19)

(20)

表1 非隔震结构前4阶参数

表1中为Tun第n阶非隔震结构周期，可表达为

(21)

其中，前4阶的ωn由式(8)给出，依次代入式(21)可得

(22)

式中，cn依次为式(8)中的各项系数值：3.516，22.03，61.7，120.9。

对于质量沿高度分布相对均匀的高层剪力墙结构而言，可有

(23)

因而，式(22)可变为

(24)

根据式(17)以及rkh的定义，式(24)改写为

(25)

由表1可见，质量及刚度沿高度分布相对均匀的非隔震结构前4阶有效振型参与质量系数之和为0.91。意味着，采用振型分解反应谱法计算时，可仅考虑前4阶的贡献。实际上，前2阶振型对结构反应起主要控制作用，该2阶的有效振型参与量系数之和已达0.82。

关于这一点，也可由图6中以赖正聪等研究中的缩尺模型为算例、采用本文等效梁模型计算所得楼层剪力结果看到。图中纵坐标为各楼层标高与结构总高度(7.576 m)的比值。第1阶振型对应的楼层剪力分布基本符合抛物线形状。而从第2阶开始，振型曲线均具有反相位特征，参与振型叠加后，必然导致图中楼层剪力分布曲线的抛物线形状发生变形。但从数值上看，仍以第1阶振型贡献为主。同时可见，前2阶振型组合计算结果与前4阶组合结果差异甚小。这充分证实了前述结论，即采用前4阶振型参与计算便可得到较为准确的结果。因此，后面进一步分析时，对于非隔震结构地震反应将采用前4阶振型计算组合得到。

图6 非隔震结构算例楼层剪力计算结果

3 减震系数分析

3.1 楼层剪力比和力矩比

图7显示了rkh分别取0.80，1.25，5.00，8.00时对应的结构隔震后、前楼层剪力比、力矩比随楼层高度比的变化曲线(Tg=0.55 s)。非隔震结构取前4阶振型进行SRSS组合，上部结构阻尼比取0.05，隔震层阻尼比参照以往经验取0.15。其中楼层高度比定义为楼层距结构底部的高度与结构总高之比。

图7 结构楼层剪力比和力矩比

由图7可见，不同刚度比rkh对应的隔震后与隔震前结构各楼层剪力比和力矩比最大值通常出现在结构底部。刚度比对楼层剪力比、力矩比随结构高度的分布均有一定的影响。当刚度比增大超过某个值时，各楼层剪力比均大于力矩比。

3.2 临界刚度比

根据以上分析结果可知，可较为简便地通过结构底部剪力比、力矩比对结构减震效能进行评价。根据动力学理论，当取前4阶并按SRSS进行组合计算时，非隔震结构底部剪力VbF、底部力矩MbF分别为

(26)

(27)

式中，Ano为非隔震结构第n阶振型对应的谱加速度。

隔震结构计算时，可仅考虑基本振型影响[14-15]，其底部剪力VbI、底部力矩MbI分别为

(28)

(29)

式中，A1o为隔震结构第1阶振型对应的谱加速度。

由以上分析、结合表1可以看到，因计算非隔震结构Ano所需要的各阶周期Tun可由刚度比rkh和隔震结构基本周期TI1确定，同时所涉及的结构质量、高度、αmax、g等参数在计算底部剪力比、力矩比时均可约除，因而，影响该两个比值的参数仅为TI1，Tg，ξ以及刚度比rkh。

图8显示了不同TI1/Tg(以Tg=0.55 s为例)对应的底部剪力比、力矩比随rkh的变化曲线。可以看到，随着rkh的增大，结构底部剪力比和力矩比均趋于减小。说明隔震层相对于上部结构越柔，隔震后剪力和力矩降低幅度越大。同时可见，特定TI1/Tg比值对应的底部剪力比和力矩比两条曲线存在交叉现象，即当刚度比rkh小于某个临界值时，底部力矩比大于剪力比，此时，应以力矩比作为减震效能的评价指标；当rkh大于该临界值时则应以底部剪力比作为相应评价指标。该交叉点对应的刚度比即为控制评价指标的临界刚度比，用符号rkhB表示。

图8 结构底部剪力比和力矩比(Tg=0.55 s)

从图8可以看到，特定场地卓越周期Tg下，TI1/Tg比值越大，对应的rkhB越大。由此可见，当隔震层较柔的情况下，唯有进一步提高上部结构抗侧移刚度才能有效降低隔震结构在倾覆力矩作用下的整体翻转反应。表2进一步给出不同场地周期Tg对应的临界刚度比数值。表中计算结果显示，特定TI1/Tg对应不同Tg下的rkhB尽管不完全相同，但非常接近。图9显示了不同场地卓越周期Tg对应的rkhB随TI1/Tg的变化曲线。可以看到，各条曲线基本重合、呈现出基本一致的变化规律。

表2 临界刚度比rkhB

图9 TI1/Tg-rkhB曲线

为便于应用，对表2中各列数值取平均，并对该平均值与TI1/Tg数值进行拟合，最终可得到二者的关系表达式(30)

(30)

可见，rkhB与TI1/Tg的平方成正比，隔震结构周期的变化对rkhB的影响较为显著。

3.3 临界周期比

实际工程中，采用周期比进行分析更为方便，现在上述临界刚度比分析基础上，进一步给出临界周期比(确定减震系数采用剪力比或力矩比进行计算的临界周期比值)。式(18)表达了隔震后、前结构第1阶周期比rT1与刚度比rkh的内在关系。将临界刚度比计算表达式(30)代入式(18)便可得到隔震后、前结构1阶临界周期比rT1B计算式(31)，同时直观地给出了图10所示的rT1B随TI1/Tg的变化曲线。

图10 TI1/Tg-rT1B曲线

(31)

因周期比rT1随刚度比rkh的增大而增大(见图5)，结合上述对临界刚度比的讨论可知，当隔震后、前结构1阶周期比rT1rT1B时则应以底部剪力比作为相应评价指标。

需作进一步说明的是，以上分析结论对于《抗规》及《建筑隔震设计标准》(征求意见稿)所给出的不同反应谱或不同结构阻尼比取值均成立。因不同的谱加速度、阻尼比都只会使得隔震结构底部剪力、力矩同比例改变，图8中交叉点对应横坐标即临界刚度比rkhB不会改变，进而临界周期比rT1B亦必然不受影响。进而言之，以上关于该两个临界比值分析所得规律和结论是具有普遍性的。

4 结 论

本文基于等效梁模型，对质量、刚度沿高度分布相对均匀的基础隔震高层建筑结构减震系数取值问题进行了分析探讨，最终可得出如下结论以供后续理论研究及实际工程应用参考：

(1)当隔震后、前结构基本周期比rT1>1.3或上部结构整体等效刚度与隔震层水平等效刚度之比rkh>0.8时，可有效抑制高层剪力墙隔震结构高阶振型反应，仅需考虑基本振型对结构地震反应的贡献。

(2)结构隔震后、前的底部剪力比、力矩比与上部结构整体等效刚度与隔震层水平等效刚度之比rkh、基本周期比rT1有关，与质量、阻尼等参数无关。

(3)当rkh小于临界刚度比rkhB或rT1小于临界周期比rT1B时，底部力矩减震效果较剪力要差，应以隔震后、前结构底部力矩比作为减震效能评价指标；当rkh大于临界刚度比rkhB或rT1大于临界刚度比rT1B时，则应以底部剪力比作为评价指标。其中，rkhB和rT1B可按本文所给数值取用。