概率论与数理统计课程混合式教学改革研究与实践

刘 璐,李丹丹，贾美多, 赵会仁,郭淑霞

(锦州医科大学 公共基础学院，辽宁 锦州 121002)

由于互联网和移动终端的发展，给教师的教学和学生的学习带来巨大的变化，传统的课堂教学形式，黑板粉笔一节课已经不能满足当代学生的需求了。“线上”+“线下”的教学模式即混合式教学，将线上丰富的教学资源与线下的课堂教学形式有机结合。学习者多样化的学习资源和便捷灵活的学习形式，施教者针对学习者的学习需求和规律要精心设计教学方案。“概率论与数理统计”是以研究随机现象规律性的一门数学分支。概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、工程技术等领域得到了广泛的应用。学习概率论与数理统计，有助于培养学生用概率统计的思维看待分析和解决身边发生的随机现象及一些实际问题，有利于培养学生健康积极的价值观。统计方法的学习有利于培养学生收集整理分析数据能力，为后期一些实验课程的数据处理打基础。笔者所在学校对食品科学与工程学院开设有“概率论与数理统计”课程，根据不同专业的需要设置学时不同。食品工程专业设置为72 学时，而食品检验检疫和食品科学专业40 学时，均为纯理论授课。传统授课模式课堂沉闷，学生参与度低。笔者尝试对这两个班进行混合式教学。

一、混合式教学实施方案

（一）网上教学平台的建立

子曰：工欲善其事,必先利其器。自古以来，教师如何教与学生怎么学是教育界一直探讨的话题。现代教育技术给教育教学带来了巨大变革。互联网的发展给教育添加了一把“利器”，使全球的学校、图书馆和多种资源信息联系起来，形成了巨大的资源库。教师可根据自身需求便利地检索各种信息，掌握先进技术。学生也可通过互联网进行网上学习，查找资料等活动[1]。教师根据课程和学生特点将互联网上的信息资源与教师制作的个性化的资源有机地结合起来，提供给学生。这样学生能在平台上看到教师上课用的PPT、知识点视频、电子教辅资源、线上练习、提问与解答、讨论等等，既方便了教师教，也方便了学生学。就像为课程找了一个“家”，在这个家里，学生可以有的放矢地进行各种学习活动，教师则是管理课程的“家长”，建设这个家，同时设计方案指导学生学。不同学校合作的平台不同，不论什么样的平台，教师要“苦心经营”一个适合自己所教学生的学习平台。笔者用智慧树平台建立了“概率论与数理统计”课程。将团队录制的视频资源，电子教材，课件，教辅等资源上传，建立了题库，开放了提问讨论区。利用平台推送学习任务，布置课前课后任务，课中的随堂测验、投票、线上作业、线上测验、线上分组等。用平台监控学情数据为综合评价提供依据。

（二）开设讨论课

著名心理学家皮亚杰说过：“所有智力方面的工作都依赖于兴趣。”[2]兴趣是最好的老师，是学习者自身的驱动力，是引导学习者走向深度学习的最好催化剂。利用案例教学和开设讨论课能为纯理论的数学课堂注入活力，提高学生的学习兴趣。

1.放开手，学生的能力是“无限的”。一直以来，教师和学生都觉得“概率论与数理统计”课程很难。很多知识点晦涩难懂。传统授课时，教师反复讲、强调，学生就是理解不了。为了增加学习的趣味性，在学期中安排了几次讨论课。

第一次是在全概率公式及逆概率公式讲解之后，安排的题目有“乒乓球赛制问题”“抓阄问题”“射击问题”。各小组将目标事件发生的原因分析得清清楚楚，还将乒乓球赛制的发展历史和抓阄的起源做了简单的介绍，还有学生对在“射击问题中”的完备事件组的事件构成提出疑问。

第二次是关于随机变量的数字特征的应用，题目有“求职决策问题”“委托代理问题”“法律纠纷问题”“风险规避问题”“投资理财问题”。这次的题目，涉及到的领域是在校二年级的学生从来没有关注过的问题，可是在活动当天，有的小组讲解员讲解充分。

首先将相关领域的概念介绍给大家，然后再利用数学期望解决问题。一时间，各讲解员成立各领域的专家，为大家答疑解惑。有个小组还从网上下载如何求职的视频，视频内容生动有趣，大大增加了趣味性。

2.引导得当，没学过的知识也能讨论完成。课堂授课内容截止到单正态总体的假设检验。因此最后的讨论题目的设置都是没有讲过的知识点，如两个正态总体方差、均值的比较，单因素方差分析和相关系数的计算和检验。要求知识点讲清楚，应用讲明白。尽管知识点需要学生自学，但学生学起来也不觉得太陌生，都是前面知识点的延伸。给学生充足的时间讨论，课堂上对各小组的问题教师给予了及时的解答。由于教师随机指定小组内的同学讲解问题，因此各小组的每个成员对问题都有了充分的了解。具体开始活动时，讲解的同学内容熟练，回答问题或计算的同学，回答计算准确。达到了教学的目的。

3.讨论中，师生关系更加和谐融洽。准备一次讨论课，需要提前1—2 周布置任务。学生自由组队，队长安排成员任务。在组内讨论期间，教师要课下跟进，利用QQ 或微信群，及时与各小组进行沟通交流，掌握各小组的进度。在沟通交流中，进一步了解学生，从学生的反馈中了解学生的需求、对课程的满意程度、学习作业中遇到的问题等，进而在以后的教学中能及时改进。

（三）特色考核方式

考试是衡量学生对一门课程掌握情况的方法。由于本课程是考查课，传统评价考试分期中与期末。期中考试安排在概率论部分结束后，闭卷考试，期末考试则是开卷考试。这种考核方式不足以考查学生对本门课的掌握情况。并且很难正确评价学生的能力。笔者做过如下的尝试：

方式一 考查自学能力，你是会学习的学生吗？考试前，教师准备同一知识点的题目，题目个数是学生人数的1/3 左右。考试时，先令学生自学“两个正态总体均值的假设检验”一节；随后给学生发放相关的试题，每人一题，一个班里拿到相同题目的学生不超过三个，这样杜绝了抄袭，同时也能考查学生的自学能力。由于两个正态总体均值的假设检验需要二个步骤，先检验方差齐性，再根据方差齐性否，选择合适的统计量来进行均值的检验。只要学生认真阅读教材内容，是可以完成的。但从答题的结果可看出，几乎有一半学生没有做方差齐性检验，就进行均值检验。一方面说明学生不会读书，不能抓住书中的脉络；另一方面也说明这部分学生的学习被动，没有主动学习。

方式二 考查学习能力和团队合作能力，讨论出真知。讨论的内容是教材中一部分章节，新知识。要求小组学习讨论后，汇报根据学生准备情况以及答题情况给予打分。展演当天，讲解结束后，教师给每个小组成员发一个与讲解内容相关的题目，要求学生在20 分钟内完成上交。由于每人题目都不一样，以及有限的答题时间，这样能检测出学生是否都积极参与讨论以及学生的团队协作能力。

方式三 考查对问题的解决能力，有理有据撰写论文。根据当今疫情情况，要求撰写小论文。论文题目是：自学教材一部分内容后，通过互联网查找资料。学生所在城市或省就新冠疫情在一段时间内的“死亡率”或“治愈率”与（1）国内非你的家乡的省市相比较；（2）某国家或某市相比较。在这段时间的“死亡率”或“治愈率”，有无显著的差异？

要求：以小论文的形式书写。通过这种方式，使学生学以致用。有的学生论文按照论文基本格式撰写的，写得相当有水平。这几种“考试”形式，在40 学时的班里采用过方式一和方式三，72 学时的班里采用过方式一和方式二，结果都很不错，能起到客观评价学生的作用。

（四）增加Excel 实践课

尽管选用教材有SPSS 的实践内容，但由于没有实践课时，学生无法上机操作。Excel 是一款办公软件，在生活学习当中应用极为普遍，其具有强大的统计数据处理数据的功能，一般电脑的office中都自带，同时还有手机端的Excel，操作简单方便，因此我们在平台给学生提供了手机和电脑Excel的操作过程，并且设置4 学时，讲解具体操作和练习。平时要求学生作业中用Excel 解题都要用Excel,这样就增加了学生动手操作能力，达到知行合一。

（五）注重课程思政

上海大学的顾晓英教授指出强化德育意识，自觉且有效地实施课程思政，创新育人方法，使教育教学全过程育人有温度、润物细无声[3]。上海大学的陆永生教授以水污染控制工程为例指出理工科课程思政的要点：注重科学思维方法的锻炼和科技伦理的教育，培养学生探索未知，追求真理、攀登科学高峰的责任感和使命感，培养学生精益求精的大国工匠精神[4]。我们根据课程特点，在课程大纲和课件中加入了思政元素。

1.从数学文化入手，讲解历史人物的故事，使学生了解中国文化、世界文化的博大。讲解二项分布时，大家对二项分布有一定了解，这时候可以指出二项分布名字的由来，是由于随机变量取k 的概率就是二项展开式的通项公式，而通项公式的系数也可表示为杨辉三角或帕斯卡三角，在中国被称为贾宪三角或杨辉三角。简单讲解杨辉三角，学生在中学阶段是学习过的，因此可将知识点串联起来。再简单说一下杨辉三角的历史。从杨辉编著的《详解九章算法》（1261）中，记录了最初的三角数阵是由北宋数学家贾宪发现，后来杨辉进行改进，就是今天看到的样子。因为帕斯卡在1654 年也发现了这个结果，所以这样的三角数阵也称为帕斯卡三角形。通过介绍，增强了学生的民族自豪感，对中国古代文明的博大精深也有深刻的理解。尤其对留学生介绍这部分内容时，他们知道帕斯卡三角，当得知中国比欧洲早500 年发现时，我从学生的惊讶表情中，也深深体会到中华文明的伟大。

2.培养学生的理性思维，理清事件发生的来龙去脉，增强学生遇事分析能力。本课程的研究目的就是要通过随机现象，抓住事物发生的本质规律。学习的过程就是对学生理性思维培养的过程。教学内容中的相关定理、性质，若证明过程简单，启发学生尝试证明，而不是简单地只给出公式定理。如讲解事件的独立性的性质“积事件的概率等于各事件的乘积”，要求学生把两个事件和其对立事件的各种组合成的积事件的概率都写出证明过程。在讲解抽样分布中的χ2分布、t分布、F分布的定义时，反复强调与标准正态分布的关系，讲解假设检验时，反复讲解选取的检验统计量的构成，以及与常见这三个分布的关系，给学生建立这些知识点间的根茎联系，有利于学生把握知识间的脉络。事件的发展注重因果关系的分析。讲解全概率公式和逆概率公式时，由于针对的是复杂的两阶段事件求概率，需要把事情发生的因果都分析清楚。因此在分析“患病”与“检查结果为阳性”的因果关系时，有的学生分不清楚。是从概率的角度看待问题，一个人生病或者不生病，正好就是两个互斥的事件，也是对样本空间的剖分，生病与否就是后面检查结果为阳性的原因。把因果关系分析出来，就可以计算出检查结果为阳性，真正患病或是没有患病的概率。同时提醒大家，从概率和实际生活的角度遇到大病一定要冷静，多去几家医院化验看结果。

3.从培养数学思维入手，讲述为人处事的方法。学以致用，培养学生用数学的观点去思考和解决问题的能力。通过案例计算彩票的中大奖率低，可为什么现在总能听到这样的新闻，学生大多数都能回答出这个问题。讲解逆概率公式，通过解题发现，生产产品占的份额越多，出现次品的概率也越大。这时PPT 提出，干活越多，出错越多，你应该怎么做呢，这是个很尖锐的问题，还曾是公务员考试面试的题目。学生的反应相当积极，认为这种是不作为的思想。青少年更应给多参与、多做事，在这个过程中积极成长，增加才干，才能减少出错率。

二、结束语

教无定法，教是一门艺术，也是一门技术，如何让学生真正动起来，是值得教育工作者深入研究和探索的问题。