解析新旧高考交汇时期高考数学全国卷的命题导向

黑龙江省哈尔滨市第五十八中学 高 杨

2021年，第三批“新高考”试点的8个省份的高三考生参加新高考，如今共有12个省份的考生已经进入新高考。虽然目前全国多数省份还没有进入新高考，但新高考的脚步已经日益临近，如今很多省份的高考处于新旧高考的过渡时期。通过近年的高考试题，不难看出试题命制在逐步向新教材和新高考过渡。笔者从旧高考、旧教材向新高考、新教材过渡的角度，分析试题命制的意图和高考数学全国卷命题趋势。

一、高考命题向新教材新增加的知识点过渡

人教A版的新教材与旧教材相比，新增加了一些知识内容，尤其是在“概率统计”部分。现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展，对未来社会人才的概率统计思想方法和数据分析能力的培养提出了更高要求，选择性必修的“概率统计”部分知识中加入了全概率公式和贝叶斯公式，利用先验概率校正后验概率的思想方法也是人工智能领域机器学习的基本思想方法。

如2020年高考全国二卷的理科试题第3题：

在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）。

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

由题意可知，第二天新增订单不超过1600份的概率为0.95，所以第二天需要至少完成1600份订单以及之前积压的500份订单，即可保证第二天完成积压订单及当日订单的概率不小于0.95，但为什么“使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95”志愿者就一定要最少完成900份订单？这个问题的本质究竟是什么，它和概率部分的知识又有怎样的联系？

我们不妨从全概率公式的角度来看一下这个问题。第二天的新增订单数量有两种情况：“超过1600份”和“不超过1600份”，它们发生的概率分别为0.05和0.95。设需要志愿者x人，设事件A1为“第二天新增订单数超过1600”，事件A2为“第二天新增订单数不超过1600”，事件B为“有志愿者x人时完成积压订单及当日新增订单”，则根据全概率公式：P(B)=P(A1)P(B丨A1)+P(A2)P(B丨A2)，现需使P(B)≥0.95，即P(A1)P(B丨A1)+P(A2)P(B丨A2)≥0.95，将已知代入可得0.05P(B丨A1)+0.95P(B丨A2)≥0.95，若此不等式成立，则必须使P(B丨A2)=1，即必须保证新增订单不超过1600份的条件下一定能够完成（因为若P(B丨A2)＜1，P(B丨A1)必然为0，即新增订单不超过1600份的条件不一定能够完成，则新增订单超过1600的条件下x名志愿者完成的概率必然为0），故志愿者至少要完成的订单数为500+1600-1200=900。

2020年全国二卷的省份尚未进入新高考。从本题的命制中不难看出，在新旧高考交汇时期，向新教材的新增只是过渡会是今后两年高考题命制的重要方向，一些试题会以学习旧教材的考生都可以读懂的方式给出，但其中蕴含的深层的思想和方法与新增知识点有密切的关系，把握新旧教材知识方面的变化，才能更好地把握未来两年高考的命题方向。

二、高考试题与新教材中的知识情境的结合

新版教材中，无论是每章引言还是每节新知识的引入，内容都更加丰富也更有时代特色，旧教材的知识引入更注重引导学生加深对知识的理解和掌握，以及数学文化的渗透；新教材的知识引入更加注重引导学生运用数学知识解决实际问题，除了数学文化外，也加入了更多中华民族优秀传统文化的渗透。每节的“导入语”从现实世界、数学理论发展、数学发展史等方面的背景出发，以问题形式引出本节所学主要内容。

2020年全国高考二卷中，天坛圜丘坛的圆形石板块数的计算问题被师生广泛讨论，此题主要考查了等差数列的概念和前n项和。此题从知识方面的角度来看，考查的难度不大，如果没有这个背景材料，直接将条件给出，此题的得分率必然会比较高。但对于很多同学来说，读懂题目是一个困难的地方，学生需从材料中提取出这个等差数列的相关条件。此题的背景是北京天坛的圜丘坛的圆形石板块数的计算问题，这个背景材料实则出现在新教材选择性必修第二册等差数列的概念引入部分。2020年考全国二卷数学的省份尚未开始实施新教材。该试题的命制旨在引导广大教师关注新教材中新增设的知识情境，了解中华民族优秀传统文化中蕴含的数学智慧。旧教材中等差数列的概念引入中是以奥运会举重级别、管理水库的水位、银行存款利息为例，而新版教材以天坛圜丘坛的圆形石板块数、衣服尺码、大气温度、贷款月供为例。新教材的知识引入更加贴近当代的生活，也具有更丰富的知识性和文化特色。

所以，无论在旧高考的复习备考还是新教材的实施过程中，注重新教材中的知识情境，拓宽学生的视野和知识面。教学中教师可以多结合新教材中的章“导入语”和节“导入语”中所提到的背景材料和知识情境，进行考试题或练习题的命制，以培养和提升学生将实际问题转化为抽象的数学模型的能力，提升学生的阅读能力、数学建模素养以及知识的迁移与应用能力。

三、适应新教材中习题的变化即能力要求的变化

教材中的练习和习题是学生课内学习活动的一个组成部分，是学生巩固所学知识、评价学生对知识掌握情况的重要工具。旧教材的习题分为A组和B组，A组习题更为基础，B组习题的综合性和对思维能力的要求更高。新教材的习题按功能分为“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层次，习题具有巩固知识、拓展知识、深化数学理解和应用、培养数学能力、培养学生创新意识和实践能力上的重要作用。因此，习题的设置也直接体现教材编写者对学生对每部分知识能力水平的要求。

2019年全国二卷理科数学的第16题，一改以往立体小题更注重点线面之间位置关系的、三视图及空间几何体的表面积和体积，而是考查了计算几何体的面数以及棱长的计算，这种考查方式更加注重学生的直观想象核心素养，而不仅是公式和定理，考查方式更加灵活。此题学生通过空间想象得到多面体的面的个数，将该多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解。

结合新教材的变化，我们能够发现此类型题的出现是有章可循的，新教材必修第二册8.3.1中的课后练习题中的第3题中的几何体模型得到的方法和此题类似。新教材必修第二册第八章章末复习题的第1题，探究了多面体的顶点、棱数和面数的数量及这些数量之间的关系，这里V+F-E的值为2，这个结论也是空间中多面体同胚于球的情况下的“欧拉公式”，在代数拓扑中，“欧拉示性数”是一个重要的拓扑不变量，“欧拉公式”在拓扑学中有着举足轻重的地位，题目的设置旨在培养学生的空间想象能力，也引导学生更深层次地探究几何学中的不变量问题，为学生进入高校后更深入地学习几何学在思想方法上做一定的铺垫。新教材对学生立体几何部分的学习提出了更高的要求，加强直观想象素养培养的同时，还需要有探索发现规律和总结归纳的能力。2021年1月，2021年首次参加新高考的8个省份进行的适应性考试中的21题考查了一个以“欧拉公式”为知识背景的题目，此次考试由教育部考试中心为这8个即将参加新高考的考生提前适应新高考的命题难度、命题风格和试卷结构而命制的，对于研究高考的命题趋势也是非常有价值的。此题作为一道立体几何的解答题，与以往考查线面关系证明和所成角问题不同，不仅考查学生的直观想象能力和逻辑推理的能力，还考查了学生的阅读能力、探究发现规律和总结归纳能力。

高考的真题和全国统考的适应性考试试题都在释放一个信号，今后高考的立体几何部分必将更注重对直观想象能力以及探究发现能力的考查，综合性会比以往常规的立体几何问题更强。在日常教学中，教师需要更加深入研究新教材中习题设置的变化，体会新教材、新课程对学生的素养提升提出的更高要求，这样才能更好地把握教学重难点以及高考的命题趋势。

对于高考命题的研究和对教材的研究是广大一线教师的重要课题。处在新旧高考交汇的时期，教师应更加注重研究新旧教材知识内容变化、知识情境的变化、能力要求的变化，才能在教学中将新教材、新课程的理念渗透给学生，使学生能够适应高考中的变化，培养学生的数学思维能力和数学学科核心素养，达到立德树人的目的。