利用四个元素助力数学概念教学

何 英

数学概念是数学知识中最基本的元素，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是数学思想方法的载体，是解决数学问题的重要依据。数学概念的学习过程是培养学生思维能力、发展学生核心素养的关键。因此概念教学值得每一位数学老师认真研究。笔者以为，可以借鉴南京师范大学喻平教授对内隐性课程资源的相关分析，来做好高中数学概念教学。

南京师范大学喻平教授认为，课程资源包括外显性和内隐性两个层面。外显性资源是外部显露的可视资源，内隐性资源则是潜藏于显性知识深层的隐性知识，具体地说，包括数学知识的背景元素、过程元素、文化元素、逻辑元素等，这些资源的有效利用，对促进学生深度学习数学概念显得尤为重要。下面笔者以“任意角的三角函数”这一内容为例，谈谈上述四个元素在概念教学中的运用。

1.背景元素。

将现实背景融入课堂教学中，使其作为学习知识的“先行组织者”，有助于学生利用生活经验去同化知识、理解知识，同时可以使他们在心理上消除数学的“冰冷性”，感知数学的现实性。“三角函数”可以用来描述现实世界中很多周期运动与变化关系。教师可以创设“摩天轮问题”作为三角函数概念课的主情境，引导学生探究“在匀速转动的过程中摩天轮上某个点距离地面的高度随着哪些量的变化而变化，高度与旋转的角度（弧度制）之间的对应关系存在什么特殊之处”。这样的引入可以使学生从熟悉的生活情境进入问题研究，拉近了数学和生活的距离，明确了学习的现实意义，提高了学生的学习兴趣。而且这个函数模型能形象体现高度与角度的对应关系，周期性表现明显，为学生理解三角函数的本质是函数、是描述现实世界中周期现象的重要模型作了铺垫。

2.过程元素。

过程元素在数学概念教学中可以具体表现为引领学生发现概念产生的缘由、概念存在的合理性、概念的应用价值以及概念在数学知识结构中的地位等。

学生在初中学习了锐角的三角函数，但高中将角扩充到了任意角，所以三角函数需要一个更具普适性的定义方式，这是概念产生的缘由。初中用直角三角形三边长的比值定义了锐角的三角函数，而锐角的三角函数是任意角的三角函数的特殊形式，所以任意角的三角函数应该也可以用比值定义。

在寻找锐角三角函数在直角坐标系中的合理表述的过程中发现，用角的终边上点的坐标的比值定义任意角的三角函数既能揭示任意角与比值之间的对应关系，又能通过坐标的正负体现不同象限角的三角函数值的区别，还能体现三角函数的周期性。这是概念存在的合理性。单位圆定义法是后继研究性质的重要工具，这是概念的数学价值和应用价值。教学中可以用问题串的形式引导学生在初中三角函数概念的基础上自主探究出高中三角函数的概念，让学生在“悱”和“发”的交替过程中感受知识产生的必要性与合理性，经历知识的再创造过程，提高数学抽象的能力，形成优化意识，积累数学活动经验，提高元认知能力。

3.文化元素。

数学文化包括数学知识、数学思想方法、数学精神、数学信念、数学价值观和数学审美。其中数学知识是外显性课程资源，其余的均为内隐性课程资源。学生在学习本节内容时，由特殊角（锐角）的三角函数推广到任意角的三角函数，体会了由特殊到一般的研究方法；得到定义（终边定义法）后，在研究的过程中发现了有着特殊研究意义的单位圆定义法，又体会了由一般到特殊的研究方法。整个过程中学生能深刻感受到“特殊”与“一般”之间的哲学辩证思想。

知识来源于实践，“每个数学知识是怎样产生并一步步演化成今天的形式化结果的”这一问题能引发学生的兴趣，教师如能在梳理数学史时将几个重要节点呈现给学生，可以满足学生的好奇心、求知欲，也能帮助学生建构知识，完成对知识的再创造和对知识的深度理解。例如，通过介绍三角函数的发展史，教师可以让学生了解三角函数研究的起源，明确其现实意义和数学意义，了解正弦、余弦名称的来源，帮助学生理解现在的比值定义法比原来用弦长定义更为科学合理。此外，三角函数定义的完善横跨千年，其间凝聚了诸多人类才俊的智慧，这很容易引发学生对人类知识进步的缓慢和艰辛、数学家为人类发展而做的坚持不懈的努力的情感共鸣，也让学生感受到数学是一门不断演进的学科，而非一个僵化的知识体系。这一过程有利于学生感受数学精神，坚定数学信念，形成正确的数学价值观。

4.逻辑元素。

数学知识的逻辑元素是指渗透在数学知识中的逻辑关系。逻辑关系隐藏在数学知识关系之间，厘清逻辑关系有助于学生了解概念的来龙去脉，深刻理解概念的本质，形成完整的知识结构。由于初中主要研究的0°～180°的角已经不能满足现实生活中对角的描述的需要，所以用动态的旋转方式来定义角。为了体现不同的旋转程度，将角放入直角坐标系中研究，因此我们在定义任意角的三角函数的时候才会考虑怎样定义才能既兼容原先初中的定义方式，又能体现不同象限角的三角函数值的区别，从而得到坐标定义法。

为了方便研究三角函数值的变化情况，我们简化了定义方式，取r =1 得到了单位圆定义法。这个定义方式将角与函数值的对应关系进一步显化，更方便研究三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、诱导公式等问题。教材上并没有呈现这些层层递进的知识之间的逻辑关系，但在教学过程中教师如果能将教材中隐藏的这些关系抽丝剥茧般地慢慢展现出来，那么知识的呈现会更自然，课堂会更流畅，学生对概念的理解也会更透彻。

在数学概念的教学中，教师只有充分发掘教材的内隐性资源，将教材中的“隐藏层”慢慢打开，才能更有效地帮助学生亲历数学概念的形成过程，从本质上把握概念的内涵和外延，深度理解概念，形成完整的概念和命题网络，更好地应用知识解决问题，乃至形成终身受用的数学核心素养，这就是发掘课程内隐性资源的价值所在。