■钱德春
最近看到一段关于“分母有理化”的教学短视频,内容是如何将分母有理化。大致过程如下:
分母有理化有没有最基本、最一般的方法呢?我们知道,分母有理化的复杂程度由分母中项的个数决定,解题的关键是如何寻找分母的有理化因式。如(a为正整数)分母只含有一项,其分母有理化比较简单。这里重点研究形如这3类代数式的分母有理化。
与短视频中授课教师的方法相比,上述方法虽然比较烦琐,但更具一般性。我们将特殊的技能、技巧称为“技”,将事物一般性、本质性的规律、方法称为“道”。那么“技”和“道”究竟是什么关系呢?显然,“道”是事物的根本,“技”是“道”的外在表现。数学中的“道”就是数学的本质、基本原理、通性通法。数学教学也好,解题也罢,一定离不开“技”,但没有“道”,“技”就成了无本之源。
数学之“道”的形成是一个生长过程,需要教师的引导与点拨,需要学习者的领悟与建构、不断完善与升华。因此,数学学习的关键在于悟“道”。
(1)“道”的形成是一个生长过程。
数学之“道”是生长出来的,“道”的形成过程是学习与理解、运用与体验的生长过程,是经历从低级到高级、从特殊到一般、从具体到抽象的过程。如在“分母有理化”问题的学习中,学生必须弄清这样几个问题:分母为什么会出现根式、什么叫作分母有理化、为什么要分母有理化、分母如何有理化。在这个过程中,学生不断增长数学知识、深化数学理解、掌握数学方法、感悟数学本质,从而明晰数学之“道”。
①分母为什么会出现根式?
分母出现二次根式的主要原因是除法运算中除数含有二次根式。如八下教材P155:已知平行四边形的面积为,一边的长为,求这边上的高。根据面积公式得到所求边上的高为,这就出现了形如的形式,其中分母含有二次根式。又如:“△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A=15°,求△ABC的面积。”欲求△ABC的面积,只要求BC的长,由于AC长及∠A=15°已知,关键是如何利用15°的条件,由此联想到30°,构造特殊三角形:在AC上取一点D,使∠BDC=30°(如图 1),设BC=x,则BD=AD=2x,CD=x,所以AC=2x+x=(2+)x。因为AC=6,所以(2+,此时出现了形如的式子。
②什么叫作分母有理化?
③为什么要分母有理化?
这是源于数学“最简”原则。简洁是数学的特征之一,也是现实的需要。数学总是追求“最简”,如思路与方法、运算过程、形式与结果的“最简”;如能用简便方法的不用复杂方法,能用整式表示的不用分式表示,能化为积的形式的不用除法表示。就分母含有二次根式的运算而言,乘法运算比除法运算简便,无理数除以有理数比一个数除以无理数运算更方便。分母有理化(即化去分母中的二次根式)后,数学运算及实际问题中取近似值会更加方便。如求近似值,如果直接计算则要将与的近似值代入计算,此时分母出现小数,计算会比较复杂。但分母有理化后结果为,因此,只要知道的近似值即可。再如求的近似值,如果取 3≈1.732,那么这样的计算也比较烦琐,而分母有理化后结果为,其近似值为6×(2-1.732),转化为求两数积的运算,过程就显得简便。
④分母如何有理化?
至于分母超过3项的二次根式和(差)、根号内含字母的分母有理化方法,见本文“二、方法探究”。
(2)“道”需要教师的点拨与引导。
2011年版《义务教育数学课程标准》指出:“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者。”这说明教学中教师的启发、引导不可或缺。教师要设计恰当的数学情境,让学生感受为什么分母出现二次根式,为什么要化去分母中的根式,什么叫作分母有理化。教师通过具体案例的教学,让学生思考分母有理化的关键是什么、如何分母有理化。同时,在探究过程中自然会出现分母为单个根式、两个二次根式的和与差、三个根式的和与差如何处理的问题。教师引导学生思考:这样处理的思维源头在哪里?其中蕴含了哪些数学思想方法?从而达到启思与点拨的目的。
(3)“道”需要学习者体会与感悟。
老子言:“道可道,非常道。名可名,非常名。”意即能够言明的就不成为“道”,可见“道”需要体验与感悟。学生“掌握知识,既不像照相机、录音机那样仅仅对外界信息消极地接受和储存,也不像容器那样被动地‘填装’,而是一种能动的认识过程”。教师的启发、引导与点拨,只有通过学习者主动积极的思考、领悟、建构、反思,才能转化为学生自己的知识、智慧和能力。
比如,学生可结合实例自主思考:分母有理化的本质就是追求形式与结果的“最简”,基本方法是转化——将“除法运算”转化为“乘法运算”;理论依据是分数(式)的基本性质;被开方数含字母的分母有理化可类比具体数的分母有理化。在掌握这个数学本质的前提下,适当归纳、梳理分母有理化的特点、类型,从而建构相关知识、方法体系,体验类比、转化、特殊到一般等数学思想方法。这正是数学之“道”。悟“道”的过程就是学生主动建构、自主感悟、独立思考的过程,而不是他人的给予、灌输和牵引。正如《学记》所言:“君子之教,喻也:道而弗牵,强而弗抑,开而弗达。”
(4)“道”需要自我的反思与完善。
从哲学角度来说,数学之“道”是数学内在的发展规律与人类对数学的认知规律。数学总是在发现矛盾、遭遇危机后,经过数学家的艰苦努力,从而克服危机,取得了新的突破,得到新的发展,正所谓“逢山开路、遇水架桥”,这就是数学的发展之“道”。
以数系的发展为例。远古时代人们在分配物品的过程中出现了分数,小数由此诞生了;人们发现了数的“不可公度性”,无理数应运而生,从而出现实数系;“实数时代”默认负数不能开平方,但出现了负数开方的问题,人们将 -1记为i,称为虚数,复平面的发明给复数以几何解释,使虚数有了现实意义,从而使数学向前迈了一大步。这就是不断反思、不断完善的过程。
再比如,几何图形的研究一般按照“定义→表示→分类→性质(判定)”的“套路”进行。这个“套路”的形成是一个循序渐进、逐步完善的过程。在几何学习初始阶段,如在七年级“直线、射线、线段”和“角”“相交线与平行线”的学习中,教师引导学生初步感知几何研究的“套路”,积累几何研究活动经验;在八年级“三角形”“四边形”的学习中借鉴七年级的几何研究活动经验,并将这种经验提升为一种策略;到了九年级“圆”和“相似三角形”的学习时,学生通过自主反思,不断完善这种策略,使之升华为几何研究的“套路”。
这些数学发展的规律、问题研究的方法与路径,有时教材难以直接呈现,也难以通过一两个具体问题的解决加以归纳,需要学习者在学习过程中慢慢思考、感悟,经历从特殊到一般、从低级到高级的过程,逐步认识、理解与完善数学发展规律,并升华为数学认识的一种策略、方法和观念,从而达到积“小技”为“大能”、变“小道”为“大道”的目的,为更高层次的数学学习奠定基础,这才是数学的学习之“道”。
“熟能生巧”或许有一定道理,却是数学学习的大忌。不少学生平时测试成绩较好,但在比较正式的考试中却成绩平平。这是什么原因呢?由于平时有的测试中原创题较少,大多是教师讲过或反复训练过的“熟题”,学生不需动脑筋,凭记忆就能得高分。但中考、高考等测试中的试题以原创题为主,试题的背景、形式、结构新颖,不少学生面对新题型、新面孔只能望“题”兴叹。
因此,学习的重点在于悟“道”,掌握了数学基本原理、基本方法等最本质的东西之后,“技”自然而生,就能应对形形色色的数学问题。
我们可以按照第3种类型的方法进行计算,但仔细观察可以发现,分母可以变形为即因 此 ,只 要 将分别分母有理化即可(具体过程略)。
这两个例子说明:悟出分母有理化之“道”,任你问题千变万化,都能以“道”化之;观察代数式的不同特点,还可以根据具体问题思考不同的分母有理化策略和技能,由“道”生“技”。
由此可见,“技”不足“道”,“技”由“道”生。数学学习的根本任务在于悟“道”,即经历知识产生的过程,感悟、思考、归纳数学的基本原理、通性通法。只有这样,在面对具体问题时才能以不变应万变,达到“大道于心”的境界。