基于T-S模糊双线性模型的事件触发滑模控制

陈 汉,陈 珺

(江南大学 轻工过程与先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122)

0 引言

近二十年来，复杂非线性系统的模糊模型及其控制方法受到了广泛的关注，而T-S模糊模型的后件部分为函数，可由表示非线性系统局部输入输出关系的模糊规则(IF-THEN)表述，具有良好的描述非线性系统的能力，因此被广泛采用[1]。T-S模糊模型通过用线性系统模型[2]表示每个模糊规则的局部动态特征，并对线性系统模型利用模糊规则进行模糊推理，得到系统的整体模糊模型。此外，并行分布补偿(PDC)技术提供了一种可使模糊系统稳定的模糊控制器设计方法。在设计模糊控制器时，每个控制规则与T-S模糊模型[3]的模糊规则相对应，最终得到的整体模糊控制器是每个独立线性控制器的模糊整合[2-4]。

现有的研究成果大多是基于局部线性模型的T-S模糊模型的稳定性分析与建模上，然而，基于局部线性模型的模糊模型只能描述部分非线性系统，相较而言，基于局部双线性模型的模糊模型可以更精准地逼近非线性系统。双线系统涉及状态和控制量的乘积，可以描述许多物理和生物过程，能更明显地表征非线性系统的动力学特性[5-7]。因此，模糊双线性模型引起了广大学者的研究兴趣：文献[8]给出了T-S模糊双线性系统的控制器设计方法；文献[9]研究了带扰动的连续模糊双线性系统的非脆弱鲁棒镇定问题，之后研究结果又被推广到状态带有时滞的连续时间模糊双线性系统[5]；对于离散系统，文献[10]研究了一类不确定离散模糊双线性系统的鲁棒H∞控制，之后结果被推广到离散时滞模糊双线性系统[11]；文献[6]给出了带有扰动的连续模糊双线性系统鲁棒自适应观测器设计方法。

然而，这些控制方法都是基于状态反馈或观测器得到的，关于模糊双线性系统的滑模控制方法依然较少。文献[12]研究了齐次模糊双线性系统的滑模控制方法，并给出了滑模面最优参数的求解算法。对带有双线性白噪声的离散模糊双线性系统，文献[13]研究了滑模控制对系统复杂性能的影响。文献[14]则针对单输入单输出且带有延迟的模糊双线性系统，给出了一种鲁棒滑模控制器的设计方法。可是，在这些研究成果中，由于双线性系统的特殊性，滑模控制器难以避免地被设计为分数形式，且分母中包含状态变量。这样一来，在系统运行时，就可能存在控制器的奇异问题。

为此，本文考虑对滑模控制引入事件触发机制。传统的滑模控制方法是基于时间触发的，这需要执行器不考虑状态的变化，定期执行和更新控制任务。在系统状态变化不大的情况下，基于时间触发的滑模控制会增加通信的信息交换负担。而前人所提出的事件触发机制[15-16]，只有当系统状态不满足某些条件或事件时，控件才会更新。这意味着事件触发机制可以减少通信中的信息交换负担[17-19]。与此同时，这种非周期控制策略也为滑模控制的研究提供了一种新的方法。通过使用基于事件触发的滑模控制，合理的设计触发参数，系统的状态轨迹也可以保持在预先设计的滑模面上。迄今为止，事件触发滑模控制在离散系统[20]、交换系统[21]、T-S模糊系统[22]等各个领域都取得了较好的研究成果。因此，受以上成果启发，针对模糊双线性系统滑模控制器奇异问题，构造了事件触发滑模控制器。

1 滑模控制系统结构及原理

考虑一类由T-S模糊双线性模型描述的非线性系统，其规则如下：

Plant Rule i: IF ϑ1(t) isMi1and … and ϑp(t) isMip,

THEN

(1)

其中:x(t)∈Rn为状态向量，u(t)∈Rm为控制输入，w(t)∈Rl为平方可积的干扰输入向量，且满足|w(t)|≤d；ϑ1(t),…，ϑp(t)为模糊规则的前件变量，Mij(j=1,2,…,p)为模糊集合，r为模糊规则推理数。Ai,Ni,Bi,Fi,Ci为具有适当维数的已知常数矩阵。

采用单点模糊化、乘积推理以及加权平均反模糊化的方法，可得模糊双线性系统的整体方程为：

(2)

滑模变结构控制系统的设计主要可以分为两个步骤：(1)根据实际需要，设计关于系统状态x的滑模面S(x)，需满足性能期望，比如快速性、抗干扰性等，保证系统状态在滑模面上可以有效到达预设值或者稳定值。(2)根据滑模面设计滑模控制律，滑模控制器又可以分为等效控制律ueq和切换控制率us两个部分。

图1展示了滑模运动状态，其中S就是设计的滑模面，当状态x处于坐标原点时系统必然稳定。切换控制律us的作用就是使状态x从游离态到达滑模面S，由于切换控制的强制性，在一定程度上会导致系统状态在滑模面两侧多次穿越，引发系统抖振。而等效控制律ueq的作用是保证系统状态在滑模面稳定地到达原点，同时兼备良好的动态品质。

图1 滑模控制结构原理

2 控制器设计

以上介绍滑模控制器由两部分组成：等效控制ueq和切换控制us，现在增加一个待设计的辅助控制量ua，则总控制律表达式为:

u=ueq+us+ua

(3)

各个控制量的表达式先列于下方，后面小节说明这种设计方式的原因以及证明。

其中:L∈R1×n为滑模面待设计参数矩阵，

(7)

Gi=Di-LNix

(8)

K>LFid

(9)

α=(LAi+dL)x，ρ>0，δ>0，Q为正定对称矩阵。φ为奇异平面，ψ为其邻域(示例图如图2所示)，其中λ即为事件触发参数：

图2 奇异平面φ及其邻域ψ

φ={x(t)∈Rn|L1(Bi+Nix(t))=0}

(10)

(11)

控制器的设计主要考虑两大类情况：1)状态轨迹不在奇点域内，即x∉ψ，此时不用考虑奇点域对控制器的影响。因此，此时主要由式(4b)、(5b)、(6b)负责将系统状态引导至滑模面S=0并保证在滑模面上运行至稳定状态。2)状态轨迹处于奇点域，即x∈ψ，此时，又分两种情况：(1)还未到达滑模面，此时(4a)、(5a)均为0，由辅助控制器(6a)将系统状态引导至滑模面；(2)已经处于滑模面S=0，此时切换控制量(5a)与(5b)均为0，(4b)与(6b)将系统状态维系在滑模面上并保持渐近稳定。

在这两大类情况下，由于Di通过等式(7)定义，避免了分母为0的情况，从而可以规避滑模控制奇异性。

2.1 等效控制量

首先，定义如下积分滑模面:

(12)

其中:L需满足如下条件:

当系统到达滑模面时，即S=0时，为保持系统状态处于滑模面，有:

(13)

将式(2)和(3)带入得:

LAix+LNixua+L(Bi+Nix)uieq=0

(14)

(15)

结合PDC算法，整体的等效控制量为:

(16)

显然，当L(Bi+Nix)=0时，控制器存在奇异问题。为克服此问题，将奇异区域进行划分(如式(10)和图2所示)，并将式(16)替换为(4a)和(4b)。根据式(7)，此时L(Bi+Nix)由微小正数δ代替，避免奇异性。

2.2 切换控制量

当满足如下条件，则滑模面的可达性可以保证：

(17)

为此，设计切换控制器形式为:

(18)

此时在等效控制量和切换控制量的共同作用下，系统可达性可以保证，下一节给出证明。结合PDC算法，整体的等效控制量为:

(19)

显然，当L(Bi+Nix)=0时，控制器存在奇异问题。因此，将式(19)替换为(5a)和(5b)。此时L(Bi+Nix)由微小正数δ代替，避免奇异性。

3 可达性和稳定性分析

本节证明系统在控制器(3)到(7)的作用下，可以让系统状态轨迹到达设计好的滑模面(12)，并在滑模面上稳定运行。

3.1 可达性分析

定理1:模糊双线性系统在控制律(3)到(7)的作用下，将在有限时间内到达滑模面(12)。

(20)

此时，根据两种情况进行讨论。第一种情况：x∉ψ。将式(20)中uieq和uis分别用表达式(4b)和(5b)以及式(7)代入得:

(21)

根据式(9)，K的取值大于扰动上界，化简式(21)得:

(22)

因此系统状态在x∉ψ的情况下可以到达滑模面。

第二种情况：x∈ψ。由式(4a)和(5a)可知此时uieq=uis=0，将式(6a)代入可直接得式(22)。

证毕。

3.2 稳定性分析

当系统到达滑模面后，有S=0，us=0，ueq采用式(4b)，此时的闭环动力学系统将大大简化。在控制律(3)的作用下，不考虑扰动影响，系统方程为:

通过设计辅助控制律ua的表达式(6b)可大大简化上式的复杂性，将式(6b)代入，可将上式写成如下形式:

(23)

简化后的闭环系统更加有利于稳定性分析，下面给出稳定性定理以及证明过程。

定理2:若存在矩阵L满足如下不等式(24)，存在对称正定矩阵Q满足如下线性矩阵不等式(25)，则模糊双线性系统(2)在控制器(3)到(7)的作用下是渐近稳定的。

(24)

(25)

(26)

取李雅普诺夫函数V2=xTQx，对V2的时间t进行求导并将系统方程(26)代入得:

2xTQ(Nix+Bi)T(Nix+Bi)Qx]

(27)

若有不等式(25)成立，且易知式(27)第二项为负定项，则模糊双线性系统(2)在控制器(3)到(7)的作用下是渐近稳定的。

证毕。

4 数值仿真

图3为系统状态响应图，由图可知，系统在初始状态伴随扰动的情况下，最终渐近稳定，经过大约7 s趋于0。在约0.2 s时有短暂的超调，随机趋于稳定状态；在约1 s时，状态有明显的偏离稳定状态的现象，这是因为此时系统状态经过奇点域，事件触发条件得以满足，控制器结构切换。可以预测，若使用传统的滑模控制器，则控制量瞬间趋于无穷，系统状态必然发散，但在本章所提出的控制器作用下，状态虽有波动，但并未大范围发散，最终较为平稳度过奇点域。

图3 状态轨迹图

图4为系统状态相位图，从图中可以看出两个状态从初始状态趋于0的过程。结合图3，在0.1 s处的超调对应图4状态曲线的转折。约1 s处的发散对应图4中状态穿过蓝色实直线所划出的奇点域，在穿越过程中，状态走向有了明显的变化，但在穿过之后，仍正常趋向稳定状态。

图4 系统状态相位图

图5为滑模面随时间变化曲线，图6为控制量变化曲线。由图5可知，系统在极短时间内就到达滑模面，但结合图3系统仍在较长时间才真正到达平稳状态，这是因为滑模面的结构中对于状态没有积分项，导致x1和x2与平稳状态之间的误差成比例存在，从而出现这种情况，这也是有待改进的地方。结合图4，从图6可知，当系统状态接近奇点域的时候，由于控制量分母趋于0，导致控制量逐渐增大，若没有事件触发所划出的奇点域以及构造相应的控制器，控制量将会趋于无穷，从而导致系统发散不稳定。当系统穿越奇点域，控制量又逐渐减小，最终与系统状态都趋于0。

图5 滑模面随时间变化曲线

图6 控制量随时间变化曲线

5 结束语

本文主要设计了一种事件触发滑模控制器来稳定一类模糊双线性系统。该设计的关键步骤是在几个滑模控制量的切换之间构造事件触发机制，同时增加一个变结构辅助控制量，该控制量有两个作用。首先，当系统轨迹需穿过奇点域时，它有助于确保到达滑模面；其次，该控制量可以保证系统状态在滑模面上渐近稳定。

双线性结构本身具有更好的描述非线性现象的能力，被广泛应用于各类领域，使用滑模控制可以有效避免状态反馈控制增益选择的随意性问题。而通过引入事件触发机制，又可以解决滑模控制器固有的奇异性问题。结合这一思想，未来可以尝试使用更加高级的滑模面以及趋近律，大大提高滑模控制对于模糊双线性系统的控制性能，扩大滑模控制可以应用的对象。