例谈勾股定理的逆定理在解题中的应用

陈晓燕

勾股定理是初中几何中的一个重要定理，是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它在解題中有着广泛的应用.灵活运用勾股定理的逆定理是判断三角形的形状，求边长、角度以及求图形面积的一种有效方法.

一、判断三角形的形状

勾股定理的逆定理：如果三角形三边长 a ， b ， c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.利用勾股定理的逆定理可以直接判断三角形是否是直角三角形.这是从边的角度来判断三角形形状的方法.

例1

解：是等腰直角三角形.

点评：本题考查了全等三角形的性质定理和勾股定理的逆定理，根据全等三角形的对应边相等得到三角形三条边之间的关系，再利用勾股定理的逆定理解题.

二、求线段的长

二在求边长时，我们常常把所求的线段放在一个特殊的三角形中，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等.当我们判断出三角形是直角三角形之后，就可以利用垂直的有关定理或直角三角形的各种性质去解题.

例2

解：

点评：此题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出DA1AB，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等求得线段长.

三、求角度

勾股定理的逆定理把数与形统一起来， 打破了证一个角是90。，只能靠角与角之间转化的固定模式.当看到题目的已知条件中给出的是三角形的边长或三边的关系时，我们也可以考虑用勾股定理的逆定理来确定要求的角.

例3

分析：

解：

点评：本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，解题需正确作辅助线，把PA、PB、PC放在“一个三角形”中，进而构造出等边三角形和直角三角形来解题.

四、求图形的面积

利用勾股定理的逆定理求图形面积，首先要证明该三角形为直角三角形，然后利用相关公式直接求解.如果所求图形是不规则图形时，则需作出适当的辅助线，将不规则图形分割成面积可求部分及一个三边已知的三角形，然后证得直角三角形求解.

例4

解：

点评：此题通过作辅助线证明三角形全等，求得边长后，利用勾股定理的逆定理证明△ABE是直角三角形即可求解.

五、证明代数式

勾股定理的逆定理实际上是通过代数运算，把三角形中数的特征（疽+屏=凌）转化为图形的特征（有一个角为直角）.因此，我们在解答某些代数问题时，可先观察代数式的特征， 挖掘代数式背后的几何意义，并作出相应的图形，从而将代数问题转化成几何问题来求解.

例5

分析：

解：

点评：本题考查了勾股定理的逆定理的应用.解此题的关键是根据条件构造直角三角形和其斜边上的高.