怎样从不同角度求解与三角函数对称轴有关的问题

朱艳梅

与三角函数对称轴有关的问题常出现在各类试题中，侧重于考查三角函数的图象和性质.因此，要顺利解答与三角函数对称轴有关的问题，同学们不仅要熟练掌握三角函数中的基本公式、三角函数的图象和性质，还要学会灵活运用数形结合思想来辅助解题.本文以一道题为例，谈一谈如何从不同角度解答三角函数求值问题.

本题主要考查了三角函数的解析式、图象、对称轴.要求 a 的值，我們需根据三角函数的对称轴来确定函数的图象、性质，灵活运用三角函数的性质、图象来解题.

角度一：利用函数的对称性求解

三角函数具有对称性、周期性、单调性、奇偶性等，在解题时，合理利用这些性质，有助于快速解答问题.我们知道，正弦函数的对称中心为（kπ，0） （k∈Z），对称轴为;余弦函数的对称中心为，对称轴为x=kπ（k∈Z）;正切函数的对称中心为在解题时，可灵活运用正弦、余弦、正切函数的对称性，来确定函数的对称中心、对称轴，进而求得问题的答案.对于本题，我们需先根据辅助角公式把三角函数化为 y = A sin（αx + φ） 形式，然后利用正弦函数的对称轴建立关系式，即，求出 φ 的值，便可得到 α 的值.

解法一：

对于本题，我们还可以根据函数对称性的定义来求解.一般地，若则函数 f （x） 的图象关于直线 x = c（c为常数） 对称.本题中函数的对称轴是已知的，因此可以根据函数对称轴

的定义建立关系式，将其代入函数解析式中进行化简，对应系数便可求得 α 的值.

解法二：∵函数关于直线对称，

对应系数可得 a = -1，即 a 的值为 -1 .

角度二：借助函数的图象求解

三角函数的图象能描述出函数的变化趋势.借助函数的图象，我们可以求得函数的解析式、明确函数的单调性、对称性、奇偶性、周期性等.因此在解答与三角函数对称轴有关的问题时，我们可以以函数的图象为突破口，根据题意绘制出相应的函数图象，然后找出函数的对称轴，明确函数对称轴的表达式，便可求得问题的答案.

解：

解得 a = -1 ，即 a 的值为 -1 .

解答本题，我们需熟悉正弦函数的图象和性质.仔细分析题目，可以发现正弦函数的最值与对称轴之间的关系，由此建立关系式，求得 a 的值.

总之，解答与三角函数对称轴有关的问题，我们要学会运用发散性思维，灵活运用函数的对称性、分析三角函数图象的特点，从不同的角度，探寻求解问题的思路.

（作者单位：江苏省扬州市邗江区瓜洲中学）