巧用变更主元法解答不等式恒成立问题

杨红生

不等式恒成立问题的命题形式多变，且综合性强，是让很多同学感觉“头疼”的问题.此类题型侧重于考查同学们的运算能力与转化问题的能力.在解题的过程中，巧用变更主元法，能达到快速解题的目的.

变更主元法一般适用于解答含有参数的不等式恒成立问题.如果已知条件中给出了参數的取值范围，可采用变更主元法，根据参数的取值范围求出主元的取值范围.在解题时，我们需将参数视为主元、自变量视为参数，将不等式进行适当的变形，构造出关于参数的函数模型，然后根据函数的图象和性质建立新的关系式，根据参数的取值范围确定问题的答案.

解答本题主要采用变更主元法.将参数变更为主元，构造关于参数 m 的一次函数，借助一次函数的单调性建立关于 x 的新不等式，通过解不等式求得 x 的取值范围.

若主元的取值范围是未知的，那么在某个区间上关于主元的函数值是根本无法确定的，然而参数的取值范围是已知的，我们就可以将参数视为主元，根据参数的取值范围来求得主元的取值范围.

在解答本题时，我们将目标不等式进行变形，构造出关于 b 的一元二次函数，采用变更主元法来解题.将b视为主元，通过探究函数 Q（ b ）在 [-1，1]上根的分布情况，从而建立关于 m 的不等式，进而求得 m 的取值范围.

通过上述分析我们不难发现，变更主元法主要适用于解答已知参数的取值范围，求主元的取值范围的不等式恒成立问题.在解题时，我们需首先明确主元和参数，将主元进行变更，然后建立函数模型，根据参数的取值范围来求主元的取值范围.同时要学会灵活运用一次函数、二次函数的图象和性质来解题.

（作者单位：江苏省启东中学）