对一道不等式恒成立题解法的探究

董玲燕

含参不等式恒成立问题在高考中扮演着“常客”的角色，是一类综合性较强、难度较大的问题.求不等式恒成立问题中参数最值的问题的思路和方法有很多，如分离参数法、数形结合法、函数最值法、分类讨论法、导数法等.本文结合一道典型例题，谈一谈求不等式恒成立问题中参数最值的三种方法.

例题：恒成立，求 a 的最大值.

本题主要考查了求不等式恒成立问题中参数最值的的方法.要求得a 的最值，我们需要将 a 分离出来，构造函数模型，对 a 进行分类讨论.

方法一：分离参数法

分离参数法是指将不等式中的参数和变量分离，从而使问题获解的方法.在运用分离参数法求不等式恒成立问题中参数的最值时，要首先将不等式变形，使不等式的一边只含参数，另一边不含参数，然后将不含参数的式子构造成函数模型，求出函数的最值即可求得参数的最值.

解：

分离参数法是求不等式恒成立问题中参数最值的常用方法.在变形不等式的过程中还应注意x 的取值范围.

方法二：函數最值法

函数最值法是指通过构造合适的函数模型，利用函数的性质和图象求得参数最值的方法.运用函数最值法解题的关键是结合不等式的特点构造合适的函数模型.

解：

一般地，若恒成立，且 F（x）=f（x）-g（x），则在运用函数最值法解题时，要充分利用函数的单调性和数形结合思想来辅助解题.

方法三：分类讨论法

分类讨论法是是指对参数分情况进行讨论，建立满足条件的关系式，求得参数最值的方法.运用分类讨论法解题一般要分三种情况：a>0、a<0以及a =0讨论不等式是否成立.若不成立，则剔除该情况;若成立，则对参数进行进一步的讨论.

解：

综上所述，a ≤2，即a 的最大值为2.

这里首先将 a 分成 a>0和 a<0两种情况讨论，由于导函数的零点中含有参数a，所以需要对零点分情况进行讨论.

由上述分析可以发现，一道不等式恒成立问题中求参数最值的问题有多种不同的解法，我们从不同的角度进行思考，可以得到不同的解题方案.同学们在解题时要注意多联想、类比，运用发散思维，寻找不同的解题思路，提升解题的效率.

（作者单位：安徽省宣城中学）