能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热模型

李庆文，郑明阳，乔 兰，隋智力

1) 北京科技大学土木与资源工程学院，北京 100083 2) 北京科技大学城市地下空间工程北京市重点实验室，北京 100083 3) 中铁第四勘察设计院集团有限公司，武汉 430061 4) 北京城市学院城市建设学部，北京 100083

能源桩是一种新型的地源热泵系统，它是将换热器埋于建筑结构的混凝土桩基中，通过桩基础与周围土体进行换热进而实现对建筑供暖或制冷的目的[1]. 在20世纪80年代，奥地利的学者创造性的将换热系统埋于建筑结构桩基中，利用桩基混凝土的高导热性能和较大的换热截面以强化换热效率，这是有关能源桩的最早报道[2]，而后逐渐推广到瑞士和德国[3]. 1994年，日本学者Morino正式提出了“能源桩”的概念[4]. 能源桩因为其节能环保，且较传统的地源热泵系统换热效率更高、施工成本更低、服役时间更长等优点而被广泛应用[5]. 当前，在美国、澳大利亚和日本等发达国家，能源桩已被广泛采用，并且在其埋管形式、换热机制、热力响应和实际应用等方面都取得了丰硕成果[6−11]. 在我国，能源桩研究起步较晚，但在国家重视地热资源开发的大背景下，政府通过资金激励和相关法规来鼓励和扶持可再生能源开发与利用，我国的浅层地温开发与利用得到了长足的发展，一系列行业规范和标准相继出台，如《地源热泵系统工程技术规范》（GB 50366—2005）、《地热能开发利用白皮书》和《桩基地热能利用规范》（JGJ/T 438—2018）等. 大量使用能源桩的典型工程也相继建设，如浙江温州双井小区、上海世博会城市最佳实践区汉堡馆、南京朗诗国际街区等[12].

目前普遍采用的能源桩埋管形式主要有U型、W型、螺旋埋管以及多种形式并联等. 其中，U型埋管形式是从地源热泵换热体系过渡而来，但因桩基础结构普遍不长，U型管路在桩体内的换热路径不足导致换热效率偏低[13]. W型埋管在桩内出现局部最高点，顶端容易集气形成气阻影响使用. 螺旋管换热器可调节螺距，使桩基础内可利用埋管长度增加，使用安全、高效[14]. 因此螺旋埋管已逐步成为能源桩埋管的主要形式.

传热模型的研究一直是国内外有关能源桩的研究的重点. Eskilsion和Claesson[15]基于线热源模型提出Eskilsion模型. Kavanaugh[16]将竖直埋管换热器看作圆柱体热源而建立圆柱热源模型，提高了模型计算的精确性. 国内对能源桩的研究起步较晚但成果丰富，刁乃仁等[17]和曾义和等[18]提出竖直埋管换热器的二维模型和三维模型；石磊等[19]和武丹[20]提出实心圆柱热源模型，并分析了圆柱面热源模型各自的适用性；李新等[21]针对螺旋埋管能源桩，提出线圈热源模型；Man等[22]将单位桩长能源桩视为恒定热源，提出螺旋埋管能源桩的温度场解析解. 这些传热模型在其特定的能源桩结构和工况下具有很好的适用性，但在普遍适用性上有待进一步发展与提高. 本文针对螺旋埋管能源桩，对热源做更精确的简化假设，以傅里叶变换矢量法瞬时温度场解为基础，运用格林函数和第一型曲线积分知识对三维螺旋埋管能源桩温度场进行求解，以期求得精确的螺旋埋管能源桩温度场解析解.

1 傅里叶变换矢量法中的瞬时点热源温度场

2 螺旋埋管能源桩传热模型

2.1 模型假设条件

综合考虑能源桩桩基的空间位置、能源桩的内部结构、能源桩的工作环境和工作时间等因素，提出传热解析模型的假设条件如下：（1）能源桩周围岩土体或回填材料为半无限大均匀传热介质，初始温度场为均布温度场，令其值为 θ0，能源桩钻孔周围介质的热物性为常物性，不受时间、温度等参数的影响. （2）能源桩处于自然地面以下一定深度处，因此视能源桩上土体温度不变，恒等于初始温度 θ0. （3）将螺旋埋管简化为一个均匀发热的螺旋线热源与一个均匀发热的直线热源. 加热时间从 τ =0开始. （4）不考虑地下水渗流的影响. （5）能源桩传热涉及交换液、混凝土和岩土体等多种介质，为简化计算，取统一的热物性参数进行计算.

2.2 几何模型及数学推导

考虑能源桩工作环境，结合3.1节中所述假设条件，将能源桩简化为如图1（a）所示的工作系统.并以桩顶截面中心为原点，能源桩轴线为z轴，埋深方向为正方向建立柱坐标系，其中A1和A2为线热源上的任意点，如图1（b）所示.

图1 计算的几何模型示意图Fig.1 Schematic of a geometric used in calculation

2.3 温度响应时间效应

为了便于分析，下文中取 α =0，在螺旋热源qc的作用下，桩体和土体温度响应会随时间改变，该效应反映了时间效应. 取L=30且n=10，距离桩轴线 3倍半径，Z=2，5，10，15和 20 处温度如图2（a）所示. 取L=30，Z=15，n=10，得到半径为R=2，3，4，5 处温度如图2（b）所示.

图2 温升随时间变化曲线Fig.2 Rise in temperature curves for different time periods

图2显示，能源桩时间效应表现为：随能源桩工作时间增加，温度随之迅速上升. 当工作时间增长至特定值后，温度的增长速率变缓至趋于稳态.这个时间称之为稳态初始时间tou，换言之，当ttou，温度响应变化速率极小，能源桩温度场近似视为稳态.

2.4 温度响应空间分布

2.4.1 能源桩桩体温度场分布

当R∈[0,1]且Z∈[0,L]时，温度场T表征的是能源桩桩体温度场，取L=30，n=10，t=1，10 和300，R=0，0.5，能源桩桩体温度如图3所示.

图3 能源桩桩体温升曲线Fig.3 Temperature rise curves of an energy pile

由图3可知，能源桩桩体温度随时间逐渐上升；地面边界以及桩埋深以下部分对能源桩温度场衍化也会产生影响，地面边界与空气流体直接接触，热通量大. 埋深以下部分岩土体能为换热介质提供的散热空间大，热流更高，导致能源桩桩体温度场分布为两端温度低，桩身中部位置温度高；在桩轴线位置上，温度函数在埋深方向分布较均匀，在1/2半径处，即R=0.5位置处，温度绕桩轴线处温度值呈类三角函数波动，波峰数和螺旋热源转数相等. 说明能源桩桩体温度场受埋管形式的影响，其分布方式与埋管形势具有关联性. 具体表现为，在能源桩轴线以外位置处能源桩桩身的温度场分布不均，受到热源形状的影响.

2.4.2 能源桩桩周岩土体温度场分布

当R∉[0,1]或者当R∈[0,1]且Z∉[0,L]时，此时温度函数表征的是能源桩回填岩土体的温度场.如图4 所示，图4（a）为L=30，n=10，t=300 时，半径R=2，3，4，5位置处温度随桩埋深Z变化曲线图.图4（b）为L=30，n=10，t=5，10，50，300 时R=2 位置的温度随埋深Z变化曲线图.

图4（a）显示，与桩体温度场分布相似，相同半径处，能源桩周围岩土体的温度随着埋深先增大，后减小；受三维螺旋热源的影响，岩土体温度沿埋深方向上也呈现出螺旋状分布，为方便说明，将这种现象称为形状效应；并且，图4（a）中显示，这种效应随半径增大逐渐减小直到消失；同时，图4（b）显示，随着时间的积累，相同半径位置处岩土体的温度持续上升，但是始终保持螺旋状分布，说明时间对形状效应的影响很小. 综合以上结果，可以推断：在其他条件都保持不变的前提下，形状效应存在固定的影响范围. 即在这个空间范围内，能源桩的温度场受到能源桩埋管形状的影响；在此空间范围之外，埋管形状对温度场的影响可以忽略不计.

图4 岩土体温升曲线Fig.4 Temperature rise curves of a rock mass

根据式（13）可知，当能源桩结构设计参数L、n、工作时间t已经确定的情况下，岩土体中一点的温度与半径R呈双射关系. 取L=30，n=10，t=300，Z分别取2，5，15和25. 计算得到温度随半径变化曲线图如图5所示.

图5 温升随半径变化曲线Fig.5 Temperature rise curves plotted against the radius

图5显示，在其他条件保持不变时，岩土体内部的温升都随半径的增大而减小，最终趋近于0.这表明能源桩对岩土体原始温度场的影响范围是有限的. 为了界定温度场的作用范围，根据公式（14）给出的温升表达式，通过计算对于温升值小于10%最大温升值的土体范围认定为能源桩温度响应场半径，用Rm表示. 如：取L=30，t=200，n=10，代入式（14）得温度场分布如图6.

图6 能源桩温度场Fig.6 Temperature field of an energy pile

从图5中可知，最大温升值TMax为25，根据图6计算的能源桩温度场，取临界温升值Tδ=2.43，黏土导热系数 1.3 W·m−1·K−1，单位螺旋管热源值5 W·m−1，换算为开氏温度为 0.82 K，在温度场图中找到值为2.43的等温线，作其平行于横轴线的切线与纵轴交点的纵坐标值即为能源桩作用半径Rm，在图6工况下，能源桩温度场作用半径约为13.5倍的桩体半径.

3 数值模拟与解析验证

3.1 数值模拟分析参数设置

为了验证解析模型的准确性，本文采用COMSOL Multiphysics三维模型对螺旋埋管能源桩的温度场做模拟分析. 模拟中，假定岩土体的初始温度场是均匀温度场，初始温度设为288.15 K；地面边界为虚拟热汇，设为Dirichlet边界条件，地面边界为恒温边界，侧面边界和底面边界为恒热流密度边界.热物理参数如表1所示.

表1 数值模型参数Table 1 Parameters of numerical simulation

3.2 数值分析与数学模型结果对比分析

通过数值模拟计算，L=30，t=200，n=10 时能源桩温度场分布云图如图7（a）所示. 模拟结果显示能源桩温度场范围随距离的逐步扩大并逐渐趋于稳定；距离能源桩较近的区域，温度沿埋深方向呈螺旋分布，即存在形状效应，这与数学模型的结果一致. 同等工况下能源温度场的解析模型如图7（b）所示. 通过对比分析可知，数值模型与数学模型计算得到的能源桩准稳态温度场分布形状大致相同，数值模型与数学模型结果基本一致.

图7 数值解与解析解对比图. （a）数值模拟结果；（a）解析解结果Fig.7 Comparison between the numerical and analytical solutions: (a) numerical result; (b) analytical result

为了验证解析模型在分析温度随时间变化规律时的准确性，本文同样采用上述数值模型，对Z=15，R=2和3的温度−时间规律进行了模拟分析，数值模拟提取出的温度−时间曲线与解析计算给出同工况下的温度−时间曲线如图8所示. 由图8可以看出，数值模型和解析模型计算得出温度−时间的变化规律大致相同，温度都是随时间增加先快速增加，而后增速逐渐变缓直至趋于稳定；因解析计算中未考虑温度变化对材料热阻变化的影响，解析解结果值略大于数值结果，但保持在10%误差范围以内，表明了数学模型的解算精度比较符合螺旋形能源桩温度场的实际.

图8 温度随时间变化曲线Fig.8 Temperature curves for different time periods

4 结论

（1）螺旋型埋管能源桩换热结构复杂，而现有的温度场解析模型因简化过多导致分析准确性受限，为此文章将螺旋埋管等效为三维螺旋线热源，运用格林函数和第一型曲线进行积分，推导给出了螺旋埋管能源桩的温度场解析解，建立高精度三维螺旋埋管能源桩的传热模型.

（2）通过模型分析得到关于时间、空间位置、埋管参数以及岩土体热物理性质相关的螺旋埋管能源桩的瞬态温度场. 采用上述四个因素所对应的参数或变量就能够计算分析能源桩的温度场特征. 并验证了能源桩稳态初始时间tou概念，并给出其判定方法. 当t>tou，温度场趋于稳态，意味着温度场所激发的温度应力场也趋于稳定，是能源桩承载力设计时的重要依据.

（3）分析得到能源桩作用半径Rm概念和定义，并提出了其判定方法. 给出了螺旋埋管能源桩单桩温度场的最大作用半径与其求解方法，同时给出了其判别的图解方法. 研究结果可为能源的温度场影响范围和接下来的能源桩的布桩间距等提供参考.

（4）采用COMSOL软件建立了螺旋埋管能源桩的数值模型，并对螺旋线热源模型解析解进行了验证，验证结果表明：数值仿真模拟结果与螺旋线热源模型解析解结果相对误差小于10%，说明所建立的数学模型解算精度符合螺旋形能源桩温度场的实际.