奇异的“杜登尼特例”

黑马三

亨利·杜登尼是英国19世纪末20世纪初有名的趣题设计家与娱乐数学家.他与美国的智力游戏设计家山姆·洛伊德以及数学科普作家马丁·加德纳并称“趣味数学三杰”.杜登尼有着十分敏锐的观察力，他所设计与发表的趣题涉猎代数、几何等多个数学分支领域，尤其在几何分割问题上取得了不同寻常的成就，最著名的就是发现了将一个正三角形分割成四块并拼成一个正方形的方法.今天，我们将介绍他在代数领域发现的一个奇异问题——“杜登尼特例”.

据说，杜登尼在翻阅一本数学书籍时，偶然发现其中的一个数字算式出现了印刷错误，排字工人把 错排成2592.这种底数、指数相混淆显然是大错特错，比如 16=11664和3642根本就是两码事.不过，细心的杜登尼经过计算，竟然发现 与 2592 具有错对巧合、暗自回归的奇妙特性，即 32×81=2592，两者结果相同，而且不影响后面的一系列计算.

无意间的错误竟然得到了巧妙的纠正，获得了正确的结果，这种罕见的现象引起了杜登尼与数学专业人士的关注，许多人饶有兴致地投入到寻找类似转换算式的行列中.尽管这如同大海捞针，但数学家的努力没有白费，类似的“杜登尼特例”不断被发现，让人们在击节称奇之余叹为观止.

有人会说，这几个例子都用到了分数，变化形式似乎与“杜登尼特例”的原始模式稍有不同.那我們再来看看整数的精确运算：

有人甚至还发现73×9×42=7×3942，显然

这个既没有指数，也不含分数的例子是对“杜

登尼特例”的延展.或许是受此启发，有人提

出了更为大胆的结论：类似的答案可以无限

多.经过人们的探索，果然如此：

不难发现，只要在第一个等式中不断添上857142，就能一直保持“杜登尼”模式的平衡，这种利用循环小数的特性（ ）进行的变化，实在令人赞叹.