基于非正交波形的超奈奎斯特采样*

马 冰 ，白 勇

(1.海南政法职业学院，海南 海口 571100；2.海南大学 信息与通信工程学院，海南 海口 570228)

0 引言

频谱资源紧张是目前的无线和有线通信技术面临的主要挑战之一。特别是在未来6G 传输系统，用户需求和移动终端的不断增长，人们对频谱效率的要求越来越高。在未来万物互联的时代，亟需新的物理层技术来提高频谱效率。超奈奎斯特(Faster-Than-Nyquist，FTN)传输通过压缩相邻脉冲之间的发送间隔来提高频谱效率。FTN传输技术是Mazo 则在1975 年首次提出的[1-2]。Liveris 等第二次发现FTN[3]并提出了较为实用的FTN 方案，利用升余弦脉冲替代sinc 脉冲[2]。Rusek 等将Mazo 限从时域的FTN 推广到时频二维的FTN，提出了多载波的FTN[4-5]。FTN 在过去的几十年内得到了快速的发展，已成为提高频谱效率的重要技术，广泛应用于5G 蜂窝微波无线回程[6]、beyond 5G 无线通信[7]、可见光通信[8]、光纤通信和卫星通信。但是，升余弦等传统的正交波形的时频聚集特性较差，拖尾衰减慢，导致接收端的最大后验概率(Maximum A Posteriori，MAP)均衡复杂度一般也较高，这导致正交波形不能很好适应FTN 传输。因此，本文研究了基于非正交波形的FTN 新技术。

在FTN 系统中，波形条件可以放宽，选择适合FTN传输的新波形。现在关于FTN 的研究大都是基于复数域正交的成形脉冲，例如sinc 脉冲、升余弦脉冲。复数域非正交脉冲波形的能量聚集特性好，拖尾衰减快，接收端的均衡复杂度一般较低，比较适合FTN 传输。常见的复数域非正交的脉冲有：扩展高斯脉冲(Extended Gaussian Functions，EGF)脉冲[9-10]、全向正交变换算法(Isotropic Orthogonal Transform Algorithm，IOTA)脉冲、高斯脉冲等。IOTA 脉冲是EG 脉冲的特例。在FTN 均衡方面，本文采用Ungerboeck 模型[11-12]替换了传统的Forney 模型[13]。

本文的主要贡献是用非正交的新波形替换传统FTN中的正交波形，研究了基于非正交波形的FTN 编码调制新技术。对于单载波FTN，由于非正交波形具有良好的时域聚集特性，因此其对应的FTN 均衡在保证误码性能的前提下能够大幅度降低复杂度。

1 超奈奎斯特系统模型

1.1 发送端模型

单载波FTN 发送端模型如图1 所示。信源un经过信道编码、交织、星座映射得到星座点符号an。an经过FTN 调制得到发送信号sa(t)，即：

图1 超奈奎斯特发送端模型

其中，τ 表示FTN 系统的压缩因子，Ts表示Nyquist 符号周期，p(t)表示成形脉冲，N表示符号个数。τ改变了 相邻成形脉冲之间的发送间隔即改变了符号周期。当τ<1时，在相同时间段内发射机可以发送更多的成形脉冲。

发送信号sa(t)对应的功率谱密度(Power Spectral Density，PSD)[14]为：

1.2 接收端模型

接收信号r(t)=sa(t)+n(t)，其中n(t)表示白噪声过程。接收信号在t=kτTs时刻进行采样，则接收信号的第k 个采样值为：

最优性能的接收机即如图2 所示的Turbo 迭代接收机。由于系数{pl}具有对称特性，摈弃传统的Forney 模型[13]对应的MAP 算法，采用Ungerboeck 模型[11-12]对应的MAP 算法，其转移概率为：

图2 超奈奎斯特的均衡示意图

2 成形脉冲

在FTN 系统设计中，将成形脉冲因素考虑进来。

2.1 复数域非正交成形脉冲

其中，β表示滚降因子。图3 中“Rcos”代 表升余弦成形脉冲的波形。

图3 升余弦、高斯、EGF 的时域波形对比

其中，σ 表征 能量分 布因子，σ>0。EGF 成形脉 冲[13-14]pE(t)为：

2.2 功率带宽与干扰强度

当对成形脉冲进行±ζTs的截断时，脉冲时域的截断必然导致脉冲的频谱展宽。本文用功率带宽替代传统的绝对带宽。国际电信联盟在ITU-R SM.1541-3 中定义了99.5%功率带宽。为留出更多的余量，本文采用99.99%功率带宽。在后续的分析中ζ=3，Ts=1。高斯脉冲(σ=0.56)、EGF 脉冲(σ=0.56，υ0=0.707)、升余弦脉冲(β=0.3)具有近似相等的99.99%功率带宽W 如表1 所示，表中“×2”表示双边带。定义干噪比[15](Interference-to-Noise Rate，INR)：

表1 成形脉冲的99.99%功率带宽

定义干扰强度因子[15]：

当γ>1，FTN 经历强干扰。FTN 系统经历的干扰随着τ 的减小而增大。当τ≤0.46 时，3 种成形脉冲对应的FTN 系统都将经历强干扰。

3 仿真结果分析

式(4)中的MAP 均衡的复杂度为O(ML)。为了提升频谱效率，需要减小τ，对应的L 也将增大。L 较大导致MAP均衡复杂度太高。在复杂度和误码性能都在可接受的范围内，FTN 均衡实际采用L′个抽头，均衡复杂度为O(ML′)，且L′≤L。

3.1 相同波形的超奈奎斯特性能比较

仿真参数如下：τ=0.6，1/2 码率的(7，5)8卷积码，调制阶数为4。两种成形脉冲在不同抽头个数对应的误码性能如图4、图5 所示。在图中，C4 表示L′=4，其他标识类推；ID1 和ID5 表示迭代次数分别为1 和5。

图5 实际抽头个数L′对均衡的性能的影响(EGF)

在图4 中，对于升余弦脉冲，当迭代次数为5 时，L′=6 和L′=3 对应的误码性能相差1 dB；L′=6 和L′=4 的误码性能相差0.3dB。L′=4 的MAP均衡，在大幅度降低复杂度的同时，误码性能损失很小。当不进行迭代时，降低抽头个数对误码性能影响较大，最大有4 dB 差异。

图4 实际抽头个数L′对均衡的性能的影响(升余弦)

在图5 中，对 于EGF脉冲，5 次迭代，L′=2 和L′=4对应的误码性能相当。不迭代时，误码性能为10-5时，L′=2 和L′=4 对应的信噪比相差大约0.8 dB。

抽头数L′在保证误码性能同时大幅度降低均衡复杂度。减小抽头个数，则式(3)变为：

其中，M

其中，Ps表示发送信号的功率。根据上述分析可以看出，忽略抽头就是将干扰视作噪声。这将导致信噪比降低，降低的百分比为：

可以看出，当抽头pl数值较小和信噪比较高时，抽头降低的信噪比可以忽略不计。

对于同一种成形脉冲，以高斯脉冲为例，随着τ 减小，干扰将逐渐增大，干扰从弱干扰过度到强干扰。如图6 所示，τ=0.4 时，系统经历强干扰。误比特性能为10-5时，与较弱干扰时(τ=0.5～0.9)FTN 系统的误码性能相比，强干扰的FTN 系统的误码性能有4.5 dB 的损失。当系统经历强干扰时，需要寻找更强的信道编码增强系统的抗干扰性能。

图6 基于高斯脉冲的系统误码性能

3.2 不同波形的超奈奎斯特性能比较

选择99.99%功率带宽近似相等的波形，如表1 所示。基于3 种成形脉冲的FTN 编码调制性能如图7 所示，其对应的星座映射为4QAM。在高信噪比下，EGF、高斯成形脉冲相比于升余弦成形脉冲能够带来显著的性能增益。当干扰为非强干扰时，以τ=0.6 为例，当误码率为10-5时，EGF、高斯成形脉冲相比于升余弦成型分别有1.9 dB 和1.6 dB 的性能增益。而此时基于EGF、高斯成形脉冲的均衡复杂度(O(42))是基于升余弦脉冲均衡复杂度(O(44))的1/16。当干扰为强干扰时，以τ=0.4 为例，当误码率为10-5时，EGF、高斯成形脉冲相比于升余弦成形分别有4 dB 和3.5 dB 性能增益。而此时基于EGF、高斯成形脉冲的均衡复杂度(O(5×43))是基于升余弦脉冲均衡复杂度(O(20×45))的1/64。可见，选择合适的非正交成形脉冲，不仅能够显著减少干扰对系统误码性能的影响，而且能够明显降低译码复杂度。τ 从0.6 减小至0.4 时，FTN 系统的干扰因子γ 从0.58 增大至1.4，此时非正交成形脉冲相比于正交脉冲之间的信噪比增益越大。

图7 3 种波形下的FTN 性能(τ=0.6，0.4)

4 结论

本文研究了基于非正交的高斯和扩展高斯(EGF)脉冲成形的FTN 编码调制新技术，并与传统的正交波形FTN 进行了对比分析。当τ=0.4 时，在误码率为10-5条件下，基于EGF 和高斯成形脉冲的新技术相比于传统升余弦的FTN 技术分别有4 dB 和3.5 dB 的成形增益。由于非正交波形具有良好的时域聚集特性，时域抽头数少，新技术的MAP 均衡复杂度大大减少，可比升余弦FTN 有一个数量级意义上的降低。