光学腔中一维玻色-哈伯德模型的奇异超固相*

周晓凡 樊景涛† 陈刚3) 贾锁堂

1) (山西大学,激光光谱研究所,量子光学与光量子器件国家重点实验室,太原 030006)

2) (山西大学,极端光学协同创新中心,太原 030006)

3) (山东师范大学,光场调控及应用协同创新中心,济南 250358)

利用密度矩阵重整化群计算了光学腔中一维无自旋玻色-哈伯德模型的基态.通过研究超流序、局域密度分布、二阶和三阶关联函数,发现该系统出现了超越平均场理论的两个奇异超固相.这两个超固相同时具备对角和非对角长程序,其中一个展现出包络形式的密度调制振荡,另一个展现出均匀的密度分布.另外,结合光场的超辐射序参量和腔内的平均光子数,发现奇异超固相与腔光场的涨落存在密切关系.该工作给出了光学腔内玻色哈伯德模型的超越平均场理论的新物理,并提供了探索光学腔内光与物质集体物态的完整计算方法.

1 引言

超冷量子气体为多体相互作用系统的量子模拟提供了独特的环境[1].将超冷量子气体俘获在光学晶格中可以模拟强关联晶格模型,其中最典型的模型是玻色-哈伯德模型.这一模型中存在超流相和莫特绝缘体之间的量子相变[2−4].在超冷原子实验中,原子间具有天然的有限长程相互作用,它可以通过Feshbach 共振技术进行调节[3,4].而凝聚态系统中还存在大量由无限长程相互作用驱动的多体现象,这为基于超冷原子的量子模拟提出了新的挑战.幸运的是,光学腔中的光子可以充当原子间沟通的中继站,进而诱导出有效的无限长程相互作用[5−8].在晶格系统中,该无限长程相互作用会与原子动能和在位相互作用能竞争,进而衍生出周期是晶格周期两倍的密度关联,并驱动奇偶格点分布差异的原子密度波[9].以上特征使得光学腔内的玻色-哈伯德模型具备更加丰富的基态属性[10−20].

超固相是一种反直觉的物质状态,它同时具有超流体的无摩擦流与固体的周期性密度结晶[21].它也是一个对角序和非对角序(相位相干和空间序)共存的热力学稳态[22−27].在平均场理论下,光学腔中玻色原子的超固相通常出现在光场的超辐射区间,且晶格的密度分布呈现奇偶振荡[12−18].然而,由于该理论在原理上忽略了物理量的高阶涨落,故不足以完整描述量子场的密度关联.特别是当腔光场未发生超辐射时,腔场涨落可能剧烈增强,此时平均场理论变得更加不可靠[19,20].因此,为了更加精确地理解光学腔中玻色原子的超固相,有必要超越传统的平均场理论,系统计算原子的局域密度分布、二阶和三阶关联函数.

本文考虑装载在光学腔内的一维超冷玻色原子,通过对腔光场做绝热近似,得到一种拓展的玻色-哈伯德模型.这一模型的典型特征是其中包含在位相互作用和无限长程相互作用.利用密度矩阵重整化群方法[28,29](DMRG)数值计算系统基态的单体超流序、局域密度分布、二阶和三阶关联函数,探究系统的非对角和对角序.发现了超越平均场理论的两个奇异超固相,其中一个展现出包络形式的密度调制振荡,另一个展现出均匀的密度分布.另外,结合光场的超辐射序参量和腔内的平均光子数,发现奇异超固相与腔光场的涨落存在密切关系.

2 模型和序参量

基于最近实现的光学腔实验平台[10],本文考虑的系统是装载在准一维(1D)背景光晶格中的超冷玻色气与光学腔的耦合,如图1 所示.其中光晶格的晶格深度为V0,腔的频率为ωc.所有共振频率为ω的二能级原子不仅与方向的腔场耦合,还被方向的泵浦光所驱动.泵浦光驱动频率和振幅分别为ωp和Ω.为了有效地降低原子发热,这里只考虑红失谐腔,即∆cωc−ωp<0.在大失谐极限时,激发态可以被绝热消除.考虑紧束缚近似后的有 效哈密顿量为[30]

图1 左 图:玻色原 子沿着 腔轴方 向 被俘获 在准一 维(1D)背景光学晶格中,费米气被两束圆偏振的横向(沿着 方 向) 抽运激 光驱动.右 图:隧穿系 数t,接触型 相互作 用Us 和无限长程相互作用 UlFig.1.Left:Proposed experimental setup that the bosonic atoms trapped in a quasi-1D optical lattice interact with an optical cavity.Right:Illustration of the competing terms among the hopping t,the contact interaction Us and the global-range interaction Ul.

根据方程(1)可以写出光场消灭算符所满足的量子郎之万方程:

方程最后一项为库环境引起的量子噪声.考虑腔场的耗散k远大于原子反冲能,此时可作绝热近似,即忽略噪声项,认为光场始终驰豫在稳态[30].从方程(2)出发得到光场的稳态形式为[10]

将方程(3)引入(1)式的哈密顿量,可以得到有效哈密顿量为

为了探究超固相的属性,应该考虑非对角序和对角序的实验可观测序参量:超流序(非对角序)

目前关于光学腔中玻色子的研究大多只关注原子的量子效应,而较少探究光子的性质[19,20].事实上,光学腔中的光子是原子之间的耦合媒介,它在系统的集体动力学中往往发挥着重要作用.这里重点考察两个与光子相关的物理量,第一个是基于平均场理论的超辐射序参量:

另一个是腔中光子数:

本文用DMRG 有限尺寸算法计算系统开边界情况下的多体基态.选取的格点长度L最大为96,DMRG 最大态数为200,扫描次数为30,此时的截断误差最大为 1 0−8.令t1 作为能量单位.

3 量子多体相

首先,将一个较大的无限长程相互作用(例如Ul6 )引入到Us10 的玻色-哈伯德模型中.DMRG数值结果显示,超流序G(r) 随着格点间隔r的增大呈现幂次衰减(幂率值为0.7)且奇偶振荡,此时n(k0)>0,如图2(a1)所示.这说明此时体系存在相位相干,即存在非对角长程序.密度分布呈现奇偶振荡,此时νpeakπ,如图2(a2)所示.消除了密度分布的 贡献,二阶关联D2(l,j) 接近0,如图2(a3)所示.二阶关联的贡献全部来自奇偶振荡的密度分布.这一参数下系统对应的基态与平均场近似理论的结果一致.我们又计算了这一参数下的三阶关联函数D3(i,l,j).消除了密度分布和二阶关联D2(l,j) 的贡献,三阶关联D3(i,l,j)接近0,如图2(a4)所示.本文将这一传统的超固相称为超固0 相.

当Us10 的玻色-哈伯德模型中引入一个大小适中的无限长程相互作用(以Ul4.4 为例).DMRG数值结果显示,超流序G(r) 随着格点间隔r的增大幂率衰减(幂率值为0.56),且此时n(k0)>0,如图2(b1)所示.密度分布呈现包络型振荡,此时 0<νpeak<π,如图2(b2)所示.二阶关联D2(l,j) 呈现奇偶振荡且不随格点间距增大而衰减,如图2(b3)所示.二阶关联的贡献全部来自关联效应,这一数值结果完全超越了平均场理论.三阶关联函数D3(i,l,j) 呈现奇偶振荡且不随格点间距增大而衰减,如图2(b4)所示.这一包络型分布的奇偶格点原子总数相等,即.然而,无限长程相互作用能.这两个值之间的差异主要源自于量子涨落.本文中,具有 0<νpeak<π 特征的超固相被称为超固1 相.

降低在位相互作用大小(以Us2 为例),但无限长程相互作用不变,仍为Ul4.4.G(r) 随着格点间隔r的增大幂率衰减(幂率值为0.24),且此时n(k0)>0,如图2(c1)所示.此时体系存在相位相干,即存在非对角长程序.这一参数对应的基态同样为超固相,但是这一超固相不同于超固0 相和超固1 相.密度分布是均匀的,此时νpeak0,如图2(c2)所示.二阶关联D2(l,j) 和三阶关联D3(i,l,j) 呈现奇偶振荡且不随格点间距增大而衰减,如图2(b3)和图2(b4)所示.本文中,特征为νpeak0 的超固相被称超固2 相.

图2 (a1),(b1),(c1)超流序 G (r) 和插图 n (k) ;(a2),(b2),(c2)密度分 布 ;(a3),(b3),(c3)二阶关 联 D 2(l,j) ;(a4),(b4),(c4)三阶关联 D 3(i,l,j).(a1)—(a3) 超固0 相,相互作用参数 Us=10 和 Ul=6 ;(b1)—(b3) 超固1 相,相互作用参数 Us=10和 Ul=4.4 ;(c1)—(c3) 超固2 相,相互作用参数 Us=2 和 Ul=4.4.所 有图中,共有参数 L=96 ,ρ=0.4375Fig.2.(a1),(b1),(c1) Superfluid order G (r) and n (k) ;(a2),(b2),(c2) density profile ;(a3),(b3),(c3) two order correlation D2(l,j) ;(a4),(b4),(c4) three order correlation D 3(i,l,j) for i=j of (a1)–(a3) supersolid 0 phase with Us=10 and Ul=6,(b1)–(b3) supersolid 1 phase with Us=10 and Ul=4.4,and (c1)–(c3) supersolid 2 phase with Us=2 and Ul=4.4.In all subfigure,we have L=96 and ρ=0.4375.

为了更好地展示超流序G(r) 的存在,计算了多个尺寸的数据,并做了有限尺寸分析,如图3 所示.在有限尺寸下,超固1 相和超固2 相的超流序G(r) 随着距离呈幂率衰减,将幂率做有限尺寸分析发现,在热力学极限下(L→∞)幂率在 (0,1) 区间,如图3(a1)和图3(b1)所示.对n(k0)/L做有限尺寸分析可以发现,在热力学极限下(L→∞)超固1 相和超固2 相的n(k0)/L>0,如图3(a2)和图3(b2)所示.综上可得,超固1 相和超固2 相的超流序是固然存在的,不因尺寸变化而消失.

图3 (a1),(b1)不同尺寸下的超流序 G (r),插图为冥率的有限尺寸分析;(a2),(b2) n (k=0)/L 的有限尺寸分析.(a1),(a2)超固1 相,参数 Us=10 和 Ul=4.4 ;(b1),(b2) 超固2 相,参数 Us=2 和 Ul=4.4.所有图中,共有参数 ρ=0.4375Fig.3.(a1),(b1) Superfluid order G (r) of several lattice length.The inset is the finite-size scaling of the decay rate.(a2),(b2) Finite-size scaling of n (k=0)/L.(a1),(a2) Supersolid 1 phase with Us=10 and Ul=4.4.(b1),(b2) Supersolid 2 phase with Us=2 and Ul=4.4.In all subfigure,we have ρ=0.4375.

超固1 相和超固2 相源自于在位相互作用和无限长程相互作用的共存和竞争.超固1 相在不同尺寸情况下都会出现相同周期的包络型的密度分布,如图4(a1)—(a3)所示.且不同尺寸的νpeak相同,通过有限尺寸分析可以发现,热力学极限下(L →∞)的νpeak与有限尺寸的νpeak相等,如图4(a4)所示.超固2 相在不同尺寸时的密度分布都是均匀的,如图4(b1)—(b3)所示.不同尺寸包括热力学极限下(L→∞)的νpeak≡0,如图4(b4)所示.

图4 (a1)—(a3)和(b1)—(b3)密度分布 ;(a4),(b4) νpeak 的有限尺寸分析.(a1)—(a4) 超固1 相,参数 Us=10 和 Ul=4.4 ;(b) 超固2 相,参 数 Us=2 和 Ul=4.4.(a1),(b1) L=80 ;(a2),(b2) L=64 ;(a3),(b3) L=48.所有图中,共有参数 ρ=0.4375Fig.4.(a1)–(a3) and (b1)–(b3) the density profile ;(a4),(b4) the finite-size scaling of the νpeak.(a1)–(a4) Supersolid 1 phase with Us=10 and Ul=4.4 ;(b1)–(b4) supersolid 2 phase with Us=2 and Ul=4.4.(a1),(b1) L=80 ;(a2),(b2) L=64 ;(a3),(b3) L=48.In all subfigure,we have ρ=0.4375.

本文利用n(k0) 和S(kπ) 的值,即可辨别超流、莫特绝缘体、电荷密度波和超固相.但是,需要使用νpeak来区分超固0 相、超固1 相和超固2相,如表1 所列.

表1 量子相对应的序参量Table 1.Corresponding orders of the phases.

为了清楚地探究上述超固相之间的相变,固定在位相互作用为Us10 和填充因子ρ0.4375,将无限长程相互作用强度Ul从0 不断增大.这一过程中n(k0)>0.当 00和νpeak∈(0,π),对应的量子相为超固1 相;当Ul>4.6 时,S(kπ)>0和νpeakπ对应的量子相为超固0 相,如图5(a)所示.基态从超流相变为超固1 相,最终又相变为超固0 相,临界点为3.3 和4.6.超辐射相变同样发生在无限长程相互作用Ul较大时,如图5(b)所示.超固0 相是超辐射驱动的,在此区域中DMRG 的结果显示.然而,超固1 相不是超辐射驱动,是腔光场涨落驱动的.此时且,如图5(b)所示.

当固定无限长程相互作用强度Ul4.4 和填充因子ρ0.4375,将在位相互作用强度Us从0 不断增大.这一过程中n(k0)>0 和S(kπ)>0.当011.5 时νpeakπ,对应的量子相为超固0 相,如图5(c)所示.我们同样计算了这一过程的超辐射序参量和光子数,发现超固1 相和超固2 相这两个相的,如图5(d)所示.综上,可以得出结论,超固1 相和超固2 相是腔光场涨落驱动的.

图5 S (k=π) (黑色实线)和 νpeak (蓝色方块) (a) 关于 Ul 的变化,固定 Us=10 ;(c) 关于 Us 的变化,固定 Ul=4.4.平均光子数 和腔中 的光子 数 关 于 (b) 关 于 Ul 的变化,固 定 Us=10 ;(d) 关 于 Us 的变化,固 定 Ul=4.4.所有图 中,共有参 数L=96 和 ρ=0.4375.SF 表示超流,MI 表示莫特绝缘体,CDW 表示电荷密度波,SS0 表示超固0 相,SS1 表示超固1 相,SS2 表示超固2 相Fig.5.The S (k=π) (black solid line) and νpeak (blue square) as function of (a) Ul with Us=10,and (c) Us with Ul=4.4.The number of cavity photons and mean cavity-field as a function of (b) Ul with Us=10,(d) Us with Ul=4.4.In all subfigure,we have L=96 and ρ=0.4375.SF denotes superfluid,MI denotes Mott insulator,CDW denotes charge density wave,SS0 denotes supersolid 0,SS1 denotes supersolid 1,SS2 denotes supersolid 2.

基于上述描述的相变,勾勒了哈密顿量(3)的相图,如图6 所示.图6(a)—(c)给出了Ul-ρ平面的相图,其中(a)Us0,(b)Us5 和(c)Us10.当无在位相互作用和无限长程相互作用时,体系基态在任何填充率ρ下都是超流.当引入无限长程相互作用Ul后体系变为超固2 相,继续增强Ul体系变为超固0 相,如图6(a)所示.当Us5 时,无限长程相互作用Ul驱动体系产生超固0 相、超固1相和超固2 相.只有ρ0.5 和1 时,体系会出现莫特绝缘体和电荷密度波,如图6(b)所示.当Us10 时,超固2 相被压缩而消失,相图中仍然有超流、莫特绝缘体、电荷密度波、超固0 相和超固1相,如图6(c)所示.为了更直观地展示在位相互作用和无限长程相互作用的竞争,给出了Ul-Us平面的相图,如图6(d)所示.无限长程相互作用Ul驱动产生超固相,Ul很大时体系为超固0 相.当无限长程相互作用Ul4 左右时,在位相互作用Us驱动超固2 相变为超固1 相.

图6 (a)—(c) Ul -ρ 平面的相图 (a) Us=0 ;(b) Us=5 ;(c) Us=10.(d) Ul -Us 平面的相图,参数 ρ=0.4375.所有图中,共有参数 L=96.SF 表示超流,MI 表示莫特绝缘体,CDW 表示电荷密度波,SS0 表示超固0 相,SS1 表示超固1 相,SS2 表示超固2 相Fig.6.(a)–(c) Phase-diagram between Ul and ρ with (a) Us=0,(b) Us=5 and (c) Us=10.(d) Phase-diagram between Ul and Us,with filling ρ=0.4375.In all subfigure,we have L=96.SF denotes superfluid,MI denotes Mott insulator,CDW denotes charge density wave,SS0 denotes supersolid 0,SS1 denotes supersolid 1,SS2 denotes supersolid 2.

4 总结

上述量子相在目前的实验平台上都是可以观测的,动量分布可以通过时间飞行探测,结构因子可以通过布拉格散射探测[37,38],密度分布可以通过单格点分辨进行探测[39].

本文研究了光学腔中一维无自旋玻色-哈伯德模型.利用密度矩阵重整化群方法,计算了基态的单体超流序、局域密度分布、二阶和三阶关联函数.发现系统出现了存在对角和非对角的长程序并超越平均场理论的两个奇异超固相.这两个超固相分别展现出包络型的密度调制振荡和均匀的密度分布.通过计算光子数和腔场平均,发现奇异超固相主要由腔场涨落诱导.相互作用能够驱动奇异超固相之间的相变.本文的工作给出了光学腔内玻色-哈伯德模型的超越平均场理论的新物理,并提供了充分探索光学腔的完整计算方法.