玻色-爱因斯坦凝聚与箱中自由粒子模型

李立本　王赵武　尹传磊　郝世明

摘 要 在分析玻色-爱因斯坦凝聚现象时有两个基本前提：要求零能级存在和自由粒子模型成立，本文分析了这两个前提可能出现的矛盾。指出：严格的无限深势阱模型不容许存在零能级;有限体积的周期边界模型中的零能级违背不确定关系。对于势阱模型，若认为势阱势垒不是无限高，则不仅零能级可以存在且与不确定关系兼容;对于周期边界条件模型，若认为箱子体积趋于热力学极限，零能级也就兼容了不确定关系。同时还简单讨论了与此相关的简并态与不确定关系、多粒子波函数构建、两种模型的态密度一致性问题。

关键词 玻色-爱因斯坦凝聚 玻色子 自由粒子 能级

中图分类号：O414.13                                   文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.05.012

Abstract When analyzing the Bose-Einstein condensation phenomenon， there are two basic premises that a zero-level existence and a free particle model are required. This article analyzes the possible contradictions between these two premises. It is pointed out that the strict infinite deep well model does not allow zero energy levels; the zero energy levels in the periodic boundary model of finite volume violates the uncertainty relationship. If the potential well barrier is not considered to be infinitely high for the potential well model， not only the zero energy level can exist but be compatible with the uncertainty relationship; for the periodic boundary condition model， if the box volume is approached to the thermodynamic limit， the zero energy level is also compatible uncertainty relationship. At the same time， the related degenerate states and uncertainties， the construction of multi-particle wave functions， and the consistency of the state density of the two models are briefly discussed.

Keywords Bose-Einstein condensation; boson; free particle; energy level

1 問题提出

玻色-爱因斯坦凝聚已经被实验证实[1]并在2001年获诺贝尔物理学奖。预期该现象从计算体积为V的箱子中N个玻色气体的统计行为出发。[2]在温度为T和化学势为 的情况下，系统的总粒子数用下式计算

对于实际的箱子可以视为零。[8]然而按照汪志诚先生的表述，严格的零能级，才导致化学势不大于零，这是出现玻色-爱因斯坦凝聚的重要论据。任何一个小能量值，在温度趋于绝对零度时都会被放大为不能忽略。

4 问题解决

如果认为箱壁是很高的势垒，但仍有一定概率穿透，那么零能级解是存在的。[11]而且由于此时粒子原则上可以出现在无穷远处，所以零动量并不与不确定关系矛盾。

针对周期性边界条件情况，我们依然可以认为粒子活动区域趋于无穷，这符合热力学极限。这样零能级也是合理的。

严谨地说，上述矛盾的出现源自没有考虑玻色子间的相互作用，实际上玻色子间有（等效的）吸引，这会使系统出现零能级，从而使描述系统整体性质的化学势不大于零。

5 其它问题

（1）对于如式（10）表达的次低能级，其中， 对应的动量也是确定的，为什么不受不确定关系的约束？实际上次低能级还有两个简并态，例如，粒子究竟处于哪个态是不确定的，因而有一个动量不确定度，不确定关系在箱中是成立的。

（2）对于多粒子系统，欲写出系统的波函数，会涉及粒子的位置交换对称性。例如电子（费米子），可以用Slater行列式构建一个反对称波函数：[3]

（3）（7）式和（10）式量子数的取值范围分别为自然数和整数，对应能量等能面在量子数空间分别画出是一个球面和第一象限的八分之一球面。这似乎会导致态密度不同，但注意到两式中的波矢相差2倍，所以最终态密度的表达是一致的，不因模型不同而有所差异。[7]

6 结语

采用有限高的箱壁势垒模型或者无限大的体积的周期边界模型，自由粒子才存在零能级，使玻色-爱因斯坦凝聚的理论解释内部自洽。

基金资助：单一氧化物超级电容器填充材料微结构对提高储能效率影响研究，河南省科技厅工业公关项目， 182102210298;基于莫尔条纹的工艺品设计，国家级大学生创新训练项目，S201810464012;基于莫尔条纹编码的防伪技术研究，河南科技大学大学生研究训练计划项目2019213

参考文献

[1] M. H. Anderson，et al. Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor[J]， Science， 1995， 269， P198; K. B. Davis， et al.， Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms[J]， Phys. Rev. Lett. 1995， 75， P3969.

[2] 包景东.热力学与统计物理简明教程[M].北京：高等教育出版社，2011.11：104-105.

[3] [德]W.顾莱纳 L.奈斯 H.斯托克著.热力学与统计物理[M].钟云霄，译.北京：北京大学出版社，2001.12：239.

[4] Ashley H. Cater， Classical and Statistical Thermodynamics[M].北京：清华大学出版社，2007.12：226-228.

[5] Kittel Charles， Thermal physics[M]， W. H. Freeman and Company（US）， Twenty-first printing， 2000， P72.

[6] Walter A. Harrison， Applied Quantum Mechanics[M]， World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.（Singapore）， 2000 first published， P16-24.

[7] 汪志誠.热力学·统计物理[M].北京：高等教育出版社，2013.1：230-233.

[8] 林宗涵.热力学与统计物理[M].北京：北京大学出版社，2007.1：254.

[9] 梁希侠，班士良.统计热力学[M].北京：科学出版社：9.

[10] M.Toda， R.Kubo， N.Saito， Statistical Physics[M]， Springer-Verlag， Beijing， Second Corrected Pringting，1995：31-32.

[11] L.I.席夫著.量子力学[M].李淑娴，陈崇光，译.北京：人民教育出版社，1981.9：40-45.