三角形中的最值与范围求解方法

梁光丽

摘要：三角形中的范围与最值问题是高考的一个热点，也是学生的一个难点，它不仅用到正、余弦定理、面积公式等，还与三角恒等变换、基本不等式、函数等相关知识紧密联系，本文结合实例谈谈三角形中的最值与范围的求解方法。

关键字：三角形;最值;正、余弦定理

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-31-467

评析：本题第二问属于三角形中周长的取值范围问题，在已知对边及对角的条件下，可以采用函数法和不等式法，其中函数法为通法，它主要借助正弦定理列出目标式，依据三角函数相关知识求出最值，求解最值时要注意角的取值范围。而不等式法适用范围小，它主要借助余弦定理列出目标式，依据基本不等式求出最值，并且可以推出，当三角形为等腰三角形时，三角形的周长取得最大值。如果在题目条件不变的情况下，求三角形的面积的最大值，仍然可以采用两种方法求解，但是不等式法求解要简单些。具体方法的选择需要根据已知条件确定，由此得出求解三角形中的最值与范围问题的思路，求谁的最值，就借助正、余弦定理等相关知识列出谁的目标式，然后根据目标式的结构特征选择合适的方法求解。

评析：本题第二问属于三角形的面积的取值范围题，与例1相比，它所给的条件不是对边及对角，两种方法比较发现，第二种方法解答简单些，不管采用何种方法，三角形中的最值问题最终都回归为三角形中边、角的取值范围问题，特别注意一些限制条件。三角形中的最值与范围问题除了上述所讲的函数法和不等式法外，可能还有一些更好的方法，有待于进一步的探索与研究。考点有限，题海无涯，茫茫题海，何处是岸，题目是永远解不完的，让学生适当的做题，不要盲目机械地搞题海戰术，在有限的时间内，只能精讲精练，对基础知识进行灵活变通，对典型题目进行归纳总结、对典型错误深入剖析，对必考点反复琢磨。进而提高数学教学的有效性和针对性。

参考文献

【1】葛军，新编高中数学竞赛指导【M】.南京：南京师范大学出版社，2014