居家实验：“揉纸团”中的分形现象

罗 洁,钱 钧

(南开大学 物理科学学院，天津 300071)

分形理论是上个世纪80年代兴起的学科，它研究的对象往往是没有特征长度却具有自相似性的复杂结构[1-3].分形可分为“规则分形”和“无规分形”两类，规则分形是按照一定规则构造出的具有严格自相似性的分类[1,4,5],如科赫(Koch)曲线等；无规分形是在自然界和许多物理问题中产生的分形，如海岸线，云彩，湍流等等.1982年美国学者曼德布罗特(B.B.Mandelbort)出版了著名专著《自然界中的分形几何》(The Fractal Geometry of Nature)，标志着分形理论的初步形成.近年来，分形在物理学中的研究蓬勃发展，在相变、湍流、自组织、分形生长等领域都有相关的研究进展[2].

纸团是生活中常见的无规则分形结构，在疫情期间，我校面向一、二年级本科生开设了学生居家物理实验，其中“揉纸团”实验由于材料准备简单、动手测量相对容易，选做的同学较多.本文研究了“揉纸团”实验中的分形现象，引入内部无规则纸团中分形维数的定义，并通过实验测量和讨论了不同纸张硬度以及纸张层数等对纸团分形维数的影响.

1 纸团的分形维数

1.1 分形维数的定义

分形结构具有自相似性，这里的自相似性是指：从不同的空间尺度来看，或者对局部和整体进行放大或缩小后来看，结构都是相似的.但是，表征这种自相似结构的定量性质如分形维数，并不会由于放大或者缩小等操作而变化，这一点被称为“伸缩对称性”，或者叫“标度不变性”.自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性.

在实际问题中，根据研究对象的不同，分形维数的定义方式有多种，往往并不是整数.本文直接利用分形的自相似性来定义分形维数[1]：对于具有自相似结构的对象，它的均匀分布的物质质量满足如下齐次泛函方程：

M(bl)=bqM(l)

(1)

其中M(l)代表线度为l的对象的物质质量，M(bl)为增大b倍以后的物质质量，q就是分形维数，从物理意义上可以看作是质量元(体积元)对于空间的“填充”程度. 这一方程存在唯一解：

M(l)∝lq

(2)

1.2 纸团的分形维数

图1 整张和1/2张A4纸揉成纸团的中间剖面

M(d)=kdq

(3)

其中M(d)为纸团质量，d为纸团线度，此处选择用纸团的直径来表示，k为一常数.q为纸团的分形维度，从物理含义来说，q对应纸团质量元(体积元)对空间的“填充”程度，纸团内部越紧凑，对空间“填充”程度越高，q值越大. 纸团这一对象是介于面和体之间的，也就是它介于二维和三维之间的，假设极端情况，如果纸团仅有表面一层且不存在皱褶，其结构相当于球壳，则q=2；如果纸团填充非常紧密，则相当于一个均匀球体，则q=3. 而实际中的纸团分形维度q应满足

2

(4)

纸团的分形维数q会随着纸团的紧凑程度不同而发生变化.

2 纸团分形维数的测量和讨论

对公式(3)两边同时取对数，可以得到

lg(M)=qlg(d)+qlg(k)

(5)

对lg(M)和lg(d)进行线性拟合，得到的直线斜率就是该类型纸张的分形维数q.

图3 70 g打印纸lg(M)-lg(d)拟合图像

图面积70 g打印纸揉成纸团直径的分布直方图

图4 不同材料纸团的分形维数q值

在前面分形维数的定义中提到过，纸团的结构越紧凑，它对于空间的填充度越高，分形维数q越大. 而纸团的紧凑程度实际上取决于它产生的皱褶的形状，在一定的压力下，纸张的硬度越高，它产生的皱褶就相对尖锐，导致纸团结构中缝隙更多，纸团的紧凑度降低，分形维数也会随之变小. 对于不同面密度(克数)的纸张来说，纸张的面密度越大，硬度相对也越大，从而对应纸团的分形维数q变小. 而对于同样克数的牛皮纸和打印纸来说，牛皮纸的硬度要更大一些，所以牛皮纸制成的纸团分形维数要比打印纸小一些.

本文还研究了将不同层数的纸张叠放在一起，然后再揉成纸团后的分形情况. 选取70 g打印纸，将两层打印纸(五种不同尺寸下)重合叠放在一起，然后再揉成纸团，测量它们的平均直径和质量，并拟合得到纸团的分形维数. 按同样方法测量了3层打印纸重合叠放后再揉成纸团的分形维数. 测量数据如图5所示，随着纸张层数的增多，纸团的分形维数是增大的.

将2层纸张叠放在一起再揉成纸团，并不等效于将2倍面密度的纸张直接揉成纸团. 因为这两层纸之间并没有粘附力，从力学结构上来说不能当成一张纸，它们之间压力传递仍然是由皱褶结构承担的. 而由于两层纸重合叠放后，纸张之间的距离更小，由叠放后的纸揉成纸团后，纸团内部形成的间隔要比单层纸张揉成的纸团内部间隔要小，纸团结构就会更加紧凑，导致纸团的分形维数变大. 所以从图5中可以看到，随着层数的增加，纸团的分形维数变大.

图5 不同纸张层数揉成纸团的分形维数q值

3 结论

本文研究了“捏纸团”实验中的分形现象. 引入了内部无规则纸团分形维数q的定义，纸团的分形维数代表纸团对于空间的填充程度. 通过实验测量了普通打印纸的分形维数q在2～3之间. 本文还研究了纸张的硬度以及纸张层数等对于纸团分形维数的影响. 实验发现，随着纸张的硬度增大，纸团的空间填充度变小，分形维数随之变小；随着纸张层数的增多，导致纸团的空间填充度变大，纸团分形维数随之变大. 本实验作为居家实验，简单易行，便于学生完成. 通过对日常生活中常见的“纸团”进行实验研究，有助于学生理解分形结构的自相似性，标度不变性以及分形维数等分形理论基本概念.