运用直观模型，突破教学重难点

浙江省永康市城北小学 胡兰钦

在营盘街小学支教期间，课堂上我尽量用精彩的讲述、循循的诱导、积极的鼓励来吸引每一个学生，建立起学生对我的信任感。同时，根据人教版数学教材的特点和学生学情，我尝试运用直观模型开展数学课堂教学。直观模型是指具有一定结构的操作材料和直观图形呈现出来的数学知识模型。教师可以运用教具、学具或直观图来呈现直观模型，这样可以让学生在主动探究知识的过程中提升数学学习水平。

一、运用直观模型呈现数学概念

小学生在学习数学概念时，常常不能把抽象化的概念与具象化的案例结合起来，这与小学生的思维特点有关。教师可以运用直观模型为学生建立一个具象化的学习环境，让学生对应着抽象化的理论学习抽象化的知识。

以学习《大数的认识》为例。

师：参看图1，请在数轴上标注906000 和960000这两个数。

图1

生：这个数轴开始的数字是90 万，最末的数字是100 万，两者之间差10 万。用线段图来表示，一格就是一万，在图1 这个数轴上，我标出了两个数字。

师：那么你认为90 万这个数，全部运用数字该如何表示？同理，100万这个数全部运用数字该如何表示？

生：90 万＝900000，100 万＝1000000。

师：结合体验，我们为什么要运用90 万来表示900000 呢？

生：因为如果数字太大，我们计位和数零的时候容易出错，一个不小心数错了，可能计算就出现错误。为了让读写更简洁，在遇到大数时，我们运用90 万来表示900000。运用了这样的方法，我们就等于以“万”为单位来表示大数，1 万就是10000，以此类推。

师：你如何在数轴上运用这个数轴来表示？

生：906000 这个数字，它没有到910000，于是这个数字在900000 和910000 之间。为了在数轴上标出906000 这个数字，我把900000 之后的一格平均分成了10 小格，如果说数轴上的一个大格表示10000，那么我分出的一个小格就代表1000，我将906000 这个数字标注在900000 之后的第6 个小格上。

师：运用数轴说出你对大数的理解。

生：我们要计算的数很多，有些数是从1000 开始计数，或者从10000 开始计数。为了表达这些大数，我们运用“千”或者“万”这样的计数单位来计数，运用这样的方法计数，能让数字的表达变得简单。在运用大数的方法来计数时，1 千＝1000，1 万＝10000。运用大数的方式计数，只是为了便于表达数字，它不改变十进制方法的本质。

像这样，运用一幅图片呈现出数学概念，让学生结合一个具象化的模型来分析抽象的数学知识，让学生从体验的角度学习数学知识。在把模型和知识相结合的过程中，学生能够更加深入地理解数学知识。

二、运用直观模型探究数学问题

在学习数学时，教师可以运用直观模型为学生呈现一个典型的数学问题，引导学生以探究的方式去挖掘数学模型中包含的数学问题，找到需要解决的数学问题。在探索的过程中，学生将找到理论学习的方向。运用直观模型开展教学，教师能改变学生被动学习的状态，使其积极主动地开展学习。

以学习《条形统计图》为例。

师：参看图2，结合你学习到的统计知识，你能发现一些什么数学问题？

图2

生A：表格和条形统计图反映的是同一个数学问题，即某段时间内各种天气的天数。在统计图中，横轴代表的是天气类别，纵轴代表的是天数，1 格为1 天。从图形和表格中看，这段时间晴天最多，雾霾天气次之，多云再次之，小雪又再次之，天数最少的是大雾。

师：回答得很好，其他同学能不能给他补充，在这幅图中，还可以挖掘出哪些我们学过的知识？

生B：绘制统计图的方法不止一种，我们可以结合图2 的表格和数据探讨，能不能把条形统计图转换为饼状统计图或者折线统计图呢？

师：既然你已经提出这个数学问题，你能否呈现出探索的结果呢？

生B：好的。（生B 在教师的引导下，绘出其他的统计图形）

师：以上，我们都从理论的角度来挖掘数学问题，现在我们能不能从其他的角度来提出数学问题？比如，从生活的角度，或者从开放题型的角度。（教师提出的问题激发起学生的想象力，学生发现自己不再只是被动做数学习题的人，而是能够借助学具自己创造问题，于是他们的学习兴趣及想象力被激发）

生C：我是小哲的妈妈，小哲现在要出门，我不知道今天的天气会是什么样，看着图2 的数据及条形统计图，你认为我应该给予孩子什么样的生活建议？（生C 提出来的问题与生活紧密联系，学生结合自己的生活一一探讨）

生D：小伟去办公室拿文件时，咖啡将表格泼湿了，有几个字没显示出来，请问，你能不能根据图2 中的条形统计图补充完整表格中的数据？

生E：我们能不能把条形统计图用线段图呈现出来呢？为什么在统计数据时，我们不用线段图完成统计呢？线段图难道没有统计数据的优势吗？（生E 的探讨视角让其他学生感到新奇，大家开始专门探讨这一问题）

教师借助直观模型，让学生自己提出问题，可以发挥其想象力，把直观图形中的数学问题与理论联系起来、与生活联系起来、与学习技能联系起来。学生自己提问并且自己回答问题，可以发挥学生学习的主观能动性，让学生在探索的过程中感受到深入学习的乐趣。

三、运用直观模型深入数学体验

小学生擅长在体验的环境中学习。教师可以使用教具引导学生体验，令学生在直观模型的环境下充分学习知识，感受数学理论形成的过程。在体验的过程中，教师可引导学生描述数学理论知识运用的方法，引导学生深入思考，让学生在逐渐体验的过程中把理论知识转化成实践的方法。

以学习《除数是两位数的除法》为例。

图3

（教师给予学生一些小棒，其中1 捆小棒为10 根）

师：请运用这些小棒来说明你对“126÷18=？”的理解。

生：这道算式是指把126 根小棒，拆成每18 根为1 组，问一共能拆成多少组？拆完以后有没有多余的小棒？（学生边实践，边结合自己的理解说明算式的意思。通过实践，学生理解了在这道算式中除数、被除数、余数、商代表的意义）

师：那么你以什么样的方式完成计算呢？

生：我是从高位开始计算。（学生一边摆小棒，一边说明）将12 捆小棒拆成每18 根为一组，然后发现将120 根小棒分成6 组以后，剩下了12 根小棒，它不能够凑成一组。于是把个位数上的6 根小棒相加，刚好它凑成18 根小棒，于是120÷18=6（组）+12 根，12 根+6根=1（组），6 组+1 组=7 组。运用这样的方法，我完成了除数是两位数的除法的计算。

师：能否结合你自己的实践，运用数学理论来讲明白自己的计算方法呢？

生：（学生一边列数式，一边说明自己刚才摆小棒实践的过程，结合具象化的案例说明自己完成的数学探索形成的理论）从被除数的最高位除起，先看被除数的前两位，前两位不够除（比除数小），就看被除数的前三位……

像这样，让学生运用小棒来感受数学算式计算的算理，从算理的角度分析算式计算理论运用的方法。学生从直观的体验这一角度来感受抽象理论运用的方法，把体验和感知相结合，可以有效理解理论知识为什么要如此运用，以及理论知识转换的步骤与过程。

教师可以运用图片、图文资料、教学用具为学生营造直观的学习环境，引导学生去发现数学直观模型中出现的数学知识、需要探究的数学问题、需要去实践的数学问题等。在直观化的学习环境中，学生发挥自己的优势，将会体验到数学理论知识形成的机理，找到需要学习数学知识的切入点，结合实践来感受数学知识运用的方法。