基于扩张状态观测器的永磁同步电机重复学习控制

陈 强,许昌源,孙明轩

(浙江工业大学信息工程学院,浙江杭州 310023)

1 引言

永磁同步电机由于其效率高、鲁棒性强、转矩惯量比高、功率密度高、转动惯量小等优点,在高精度伺服控制领域取得了广泛应用[1–2].与其他控制方法相比,滑模控制方法能够实现对被控系统的降阶控制,具有稳定范围宽、动态响应快、鲁棒性强、控制实现简单等优点,适用于永磁同步电机控制器设计.在实际工业生产过程中,电机伺服系统往往执行周期性重复作业任务.然而,现有的非线性控制技术如滑模控制[3]、自适应控制[4]、有限时间控制[5]和鲁棒控制[6]等,在控制器设计中鲜有考虑和利用电机期望轨迹的周期特性.重复学习控制适用于在无限区间上周期运行的被控对象,利用上一周期运行的数据修正当前周期的控制输入,实现对周期轨迹的零误差跟踪.经典的重复学习控制通常也被称为重复控制,通过在频域内应用内模原理构造周期为T的任意周期信号内模,实现对周期信号的完全跟踪[7–8].

近年来,基于Lyapunov方法的重复学习控制引起了广泛关注[9–11].文献[12]针对一类时变参数不确定非线性系统,提出一种周期自适应学习控制方法,并证明闭环系统的全局渐近稳定性.文献[13]针对一类非线性参数化系统提出一种自适应重复学习控制方法,在存在未知常数和周期时间函数的情况下,可以实现自适应系统的全局稳定性和跟踪误差的渐近收敛.然而,永磁同步电机中存在的负载转矩和未建模动态等非参数不确定性使得参数化的重复学习控制方法不能直接适用.

针对带有非参数不确定性的非线性系统,文献[14]提出一种基于backstepping的重复学习控制方法,实现对给定周期轨迹的精确跟踪.文献[15]针对分数阶多涡卷混沌系统,考虑非参数化不确定、周期时变参数化不确定、常参数化不确定和外部扰动等问题,设计自适应重复学习同步控制器,实现主系统和从系统的完全同步.文献[16]针对带有非参数不确定性的步进电机,设计鲁棒重复学习控制器,保证转子位置跟踪误差指数收敛到极小的范围内.文献[17]针对工业双轴精密龙门提出一种自适应鲁棒重复控制方法,利用傅立叶级数展开估计和补偿周期性不确定性,进而设计非线性鲁棒项减小轮廓误差.上述文献中,非参数不确定性的界限要求在控制器设计中已知或部分已知,且学习律大多设计为部分限幅学习律,难以保证将学习项限制在指定的界内.文献[18]针对一类非参数不确定系统提出一种自适应重复学习控制方法,设计全限幅学习律对构造的参考输入信号进行学习,但其需要利用Lipschitz条件对非周期项进行放缩且只给出仿真结果.

扩张状态观测器的基本思路是将外部干扰和系统不确定性扩张为新的状态变量,并通过设计状态观测器精确估计和补偿系统不确定性[19–20].目前,基于扩张状态观测器的重复学习控制研究较少,且已有工作多基于内模原理,在频域下设计重复控制器.扩张状态观测器可分为线性扩张状态观测器和非线性扩张状态观测器,线性扩张状态观测器由于其设计简单和易于实现而引起广泛关注和研究[21–22].文献[23]针对直流电机伺服系统,设计广义线性扩张状态观测器对系统中的干扰进行估计,并设计重复控制器实现对周期信号的精确跟踪.文献[24]针对一类带有周期性和非周期性干扰的二阶系统,设计线性扩张状态观测器对非周期性干扰进行估计和补偿,并在频域下设计重复控制器抑制周期性干扰,实现较好的跟踪效果.

基于以上讨论,本文针对非参数不确定永磁同步电机伺服系统,提出一种基于扩张状态观测器的全限幅重复学习控制方法,实现对周期性期望轨迹的高精度跟踪.将永磁同步电机中的非参数不确定性分为周期性部分与非周期性部分,其中周期性部分通过设计重复学习律进行处理,非周期性部分则由扩张状态观测器进行估计和补偿,避免使用Lipschitz假设条件.此外,设计全限幅学习律估计周期性期望控制输入,与已有的部分限幅学习律相比,该学习律可保证估计值被限制在指定界内.

2 问题描述

永磁同步电机在旋转坐标系下的数学模型可表示为[16]

其中:iq为q轴定子电流,J是惯性系数,B为粘滞摩擦系数,np是极对数,ϕf是磁链,TL(θ)表示与位置有关的负载转矩.θ,ω分别是转子位置和角速度,d表示除负载扰动以外的非线性摩擦等时变非周期扰动.

本文永磁同步电机伺服系统系统结构图如图1所示.

图1 永磁同步电机伺服系统结构图Fig.1 The schematic of the PMSM servo system

图1中:RLC表示重复学习控制器(repetitive learning controller),LESO表示线性扩张状态观测器(linear extended state observer).为便于分析,令x1θ,x2ω,uiq,则式(1)可写为

本文根据期望轨迹x1r的周期性,将α(x1)分为两部分α(x1)α(x1r)+[α(x1)−α(x1r)].其中周期项α(x1r)可设计重复学习律进行估计;非周期项α(x1)−α(x1r)可设计扩张状态观测器进行估计和补偿.

本文的控制目标为,针对系统(1)设计重复学习控制器u,保证位置状态x1能够精确跟踪周期性期望位置信号x1r.

3 基于扩张状态观测器的重复学习控制

3.1 误差定义与滑模面设计

定义跟踪误差为

其中:x1r,x2r分别为期望位置信号与期望速度信号,x1r,x2r满足

其中ur表示期望控制输入信号,根据式(4)可得

由xir的周期性可知,ur同样为周期性为T的周期信号,即ur(t)ur(t −T).

将式(2)与式(4)相减可得

为估计系统中的非周期性扰动,设计扩张状态观测器,定义观测误差为

其中zi为状态xi的观测值.设计滑模面为

其中λ为大于0的常数.对式(8)求导,并由式(6)可得

根据式(9),设计控制器u为

注1相较于文献[25]的滑模面设计,即σ本文设计的滑模面(8)中不含状态变量x2,因此,在控制器设计中能够避免使用系统状态x2,从而有效降低扰动对速度测量精度的影响.

3.2 重复学习律设计

根据期望控制输入ur的周期特性,设计以下全限幅重复学习律用以精确估计ur,即

其中:µ>0为学习增益,sat(·)为限幅函数,对于任一标量a有

将式(10)代入式(6),可得

注2为处理非周期不确定项α(x1)−α(x1r),现有文献[26–27]多采用局部Liptchiz条件将其放缩为参数不确定进行处理.与文献[26–27]不同,本文采用扩张状态观测器直接估计该非周期不确定项,从而避免使用Lipschitz假设条件.

注3为保证估计值的有界性,现有文献[16,26]中多采用部分限幅形式的学习律,形式为

然而,未限幅项φ(t)µσ的存在,使得难以被限制在指定界内.与文献[16,26]不同,本文设计的全限幅学习律(11)由于对和(t −T)分别进行限幅,因此能够确保被有效限制在指定的界内.

3.3 扩张状态观测器设计

其中:b0>0为大于0的正常数,可以根据先验知识得到;h为连续有界函数.

针对系统(15),设计扩张状态观测器为

其中ω0表示扩张状态观测器的带宽.将式(15)–(16)相减可得

根据式(17),未知动态h和观测器输出误差˜z1之间的传递函数可以计算为

因此,式(17)的特征多项式为

其中:A为Hurwitz矩阵,M[0 0 1]T.

引理1[22]针对系统(15),在扩张状态观测器(16)作用下,存在正常数ρi >0,c>0,以及有限时间T >0,使得

成立.

注4引理1可以保证观测误差的有界性,且通过增大带宽参数ω0可以减小观测器误差.然而,过大的ω0可能会降低扩张状态观测器的鲁棒性和产生高频振荡.因此,参数ω0设置应综合考虑观测精度与鲁棒性.

3.4 重复学习控制器设计

定义如下Lyapunov函数:

对式(21)求导,并将式(9)代入可得

4 收敛性分析

引理2[8]对于给定标量a和b,若|a|≤,其中为b的上界,以下不等式成立

定理1针对系统(1),给定周期性期望轨迹x1r,设计扩张状态观测器(16)、重复学习控制器(10)以及学习律(11),则系统的跟踪误差可收敛至原点附近的邻域内.

证定义类Lyapunov函数为

由式(41)可知,在误差上界δk,ρ2,τ恒定时,可以保证最终收敛到原点附近的邻域内,且该邻域随着增益k1以及滑模面参数λ的增大而减小.然而,参数k1与λ选取过大将引起高转矩和高频振荡,因此,选定控制器增益k1以及滑模面参数λ应综合考虑跟踪精度与高频振荡. 证毕.

5 仿真分析

为验证本文所提控制方法的有效性,本节给出了基于永磁同步电机模型(1)的仿真结果.仿真中永磁同步电机参数与初始条件设置均与实验分析中实际永磁同步电机实验平台的电机参数相同,如表1所示.其中,负载TL关于位置相关,为不失一般性,设置负载TL为0.5 sinx1.控制器、重复学习律和扩张状态观测器的表达式分别为式(10)–(11)和式(16).

表1 永磁同步电机模型参数Table 1 Parameters of the PMSM

仿真中设置转子位置的参考轨迹为x1r(t)0.2π×sin(2πt),其周期为T1 s.永磁同步电机的初始状态设置为x1(0)0,x2(0)0.控制参数设置为b04000,k0.1,λ50,其他参数设置为µ1,ω05.时变干扰d设置为d0.1 rand.

仿真结果如图2–6所示.其中,图2–3分别为位置跟踪效果及跟踪误差图.从图2–3可以看出,本文所提重复学习控制方法能够实现对给定周期位置信号的精确跟踪.图4给出扩张状态观测器对永磁同步电机状态x1,x2,x3的观测效果,由图可知本文设计的扩张状态观测器(16)能够实现对x1,x2,x3的精确估计.图5可以看出本文设计的重复学习律(11)可实现对周期性期望控制输入的准确估计.图6给出了本文所提重复学习控制方法的控制输入.从图2–6可看出,本文设计的扩张状态观测器和重复学习控制器能够实现对系统状态的准确估计以及对周期性期望轨迹的精确跟踪.

图2 位置跟踪效果Fig.2 Position tracking performance

图3 位置跟踪误差Fig.3 Position tracking error

图4 x1,x2,x3的观测效果Fig.4 Observation performance of x1,x2,x3

图5 期望控制输入ur的估计Fig.5 Estimation of the desired control input ur

图6 控制输入Fig.6 Control input

6 实验分析

为了显示本文所提出方法(M1)的有效性,实验中将本文方法与文献[25]中的基于扩张状态观测器的滑模控制方法(M2)以及文献[16]的鲁棒重复学习控制方法(M3)进行对比.实验中永磁同步电机平台参数以及初始状态设置均与仿真中一致.M1方法的重复学习控制器、重复学习律以及扩张状态观测器的设计与仿真中一致,表达形式如式(10)–(11)和式(16)所示.M1方法的参数设置为µ0.15,b04000,ω010,k0.1,λ50.

M2方法的滑模面定义为

控制器设计为

扩张状态观测器设计为

设置M2方法的扩张状态观测器增益为ω050,其他参数选取与M1方法一致,即b04000,k0.1,λ50.

M3方法的控制器设计为

其中:kv0.02,kω0.01,而与其他参数设置均与M1方法一致,即µ0.15,b04000,k0.1,λ50.

实验装置如图7所示,其中三相PMSM额定负载、电压和功率分别为1.5 N·m,220 V和550 W.用于驱动PMSM的逆变器是智能电源模块(IPM)PS21765,100 V的DC总线电压由DC电源MP3003D产生.实验中使用的控制板是TI的DSP TMS320F28335,它通过CCS6.0编程环境连接到PC.相电流通过霍尔电流传感器测量,转子位置通过编码器测量(分辨率:2500脉冲/转).实验是基于单位系统进行的,基线值设置为x1B2πrad,x2B100πrad/s,UBIB10 A.实验中采用场定向控制(field oriented control,FOC)方案.d轴参考电流将设置为零以解耦速度和电流,并且q轴参考电流为外环自适应重复学习控制器输出,即u.id和iq由两个PI控制器调节,则电流瞬变相对于机械瞬变可以忽略不计,且控制参数设置为kp0.8706和ki0.0136.PWM切换频率为20 kHz,死区时间为2µs.电流环和位置环的采样频率分别设置为20 kHz和1 kHz.

图7 实验装置图Fig.7 The experimental setup

给定周期性期望轨迹x1r(t)0.2πsin(2πt),其周期为T1 s,实验结果如图8–10所示.图8为M1–M3方法的位置跟踪误差对比图,通过M1和M2的对比可看出,M2方法的跟踪误差仍具有一定的周期性.与M2相比,M1方法和M3方法由于能够有效补偿周期不确定性,因而可以减小稳态跟踪误差,实现对给定周期性期望轨迹的精确跟踪.此外,在ESO对系统不确定性的补偿作用下,M1方法相比M3方法具有更好的瞬态性能和更小的稳定误差.

图8 跟踪误差效果Fig.8 Position tracking error performance

图9给出了M1方法的重复学习律对期望控制输入ur的估计图,可看出由于式(11)的φ(t)的设计,使得参考输入的估计值保持连续性,且看出重复学习律(11)对于周期性非参数不确定性实现了较好的补偿性能.图10给出了M1–M3这3种方法的控制输入,可以看出,3种方法的控制信号幅值较为接近.实验结果表明,本文所提出的M1方法能够较好地补偿系统中的非参数不确定性,实现对给定周期期望轨迹的精确跟踪,与仿真结果描述一致.

图9 期望控制输入ur的估计Fig.9 Estimate of the desired control input ur

图10 控制输入Fig.10 Control input

7 总结

本文针对一类具有非参数化不确定性的永磁同步电机系统提出一种基于扩张状态观测器的重复学习控制方法.利用期望周期轨迹的周期特性构造周期控制输入信号,并设计全限幅学习律进行估计,保证学习项的有界性.基于Lyapunov方法设计重复学习控制器,并设计扩张状态观测器对非周期不确定性及干扰进行估计,使跟踪误差收敛于零点附近的邻域内,实现高精度跟踪.最后,基于Lyapunov方法对误差收敛性进行了分析,并通过仿真以及电机实验验证本文所提方法的有效性.