古题今解 妙趣横生

费珊博

摘 要：《九章算术》中的两鼠穿墙问题的解法：逐一计算、盈不足术、解方程组法、等比数列求和、计算机编程语言（条件结构、循环结构），两鼠穿墙问题从古至今的解法就是一部活生生的数学发展史。

关键词：《九章算术》;两鼠穿墙;盈不足术;解方程组;等比数列求和;计算机编程

古往今来，数学与人类生产生活密不可分，数学是社会进步的产物，也是推动社会发展的动力，可以说没有數学的发展，就不会有今天高度发展的文明社会。近几年高考数学题中，由古代数学著作改编的题目屡见不鲜，我们也应该在教学活动中渗透数学知识的古往今来，前世今生。不仅有助于学生在审题和解题中领略到古代数学的博大精深，也能让学生认识到中国古代数学的辉煌成就，激发学生的民族自信心和自豪感。

笔者对《九章算术》中两鼠穿墙问题从古至今解题方法有过粗略的研究，并且设计了一堂课与同学们共同探讨两鼠穿墙问题用逐一计算、盈不足术、解方程组法、等比数列求和及计算机编程语言（条件结构、循环结构）等方法解题的过程，领略不同时代解题的妙处和局限性，以及改进方法的必要性。解题方法的进步折射出时代的发展、科技的进步，让同学们感受到方法的进步、科技的进步给人类生产生活带来的便捷。

以下是人教版必修2.5等比数列的前n项和（第一课时）中的某个教学片断：

师：（新课引入）同学们，我们的老祖宗在几百年前甚至几千年前就给我们留下了许许多多的高考数学题目，这些题目经命题专家精细加工，再渗透现代的数学思想方法，编制出精妙绝伦的当今数学高考题。今天我们一起来研究数学著作《九章算术》中的一个经典数学问题。

生：（迫不及待）老师，是什么问题？

师：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几何？我们把这个问题取名为“两鼠穿墙”问题。

生1：两只老鼠第一天打洞1+1=2尺，第二天打洞，2+0.5=2.5尺，两天打洞共4.5尺，第三天只要再打洞0.5尺即可，所以第三天就可以把墙打穿。

师：哪位同学能够精确到几分之几天呢？

生2：（补充）第三天两鼠的速度和为4+0.25=4.25，第三天只用了天，总共用了天。

师：很好，我们的古人就是这么思考问题的。但是随着社会的发展，这种解法越来越不能满足生产、生活当中产生的数学问题的解答。因此古人总结出了解决此类问题的一个机械的算法公式，收录在《九章算术》里面。

2天穿墙后差0.5尺，3天穿墙后多3.75尺，古人利用公式得到两只老鼠相遇的天数：天。

生：（疑惑不解）老师，这个公式是什么意思？

师：我们的古人那时侯还没有设参数，解方程的思想。所以他们通过长时间的积累总结出了很多的算法公式，用以解决日常生活中的数学问题。解决“两鼠穿墙”问题的公式是“盈不足术”当中的一个算法公式。

生3：老师，什么叫做“盈不足术”？

（给学生简单介绍一下《九章算术》中收录的内容）《九章算术》共收录有246个数学问题，分为九章，主要内容有：第一章：“方田”，主要讲述平面几何图形面积的计算方法;第二章：“粟米”，主要讲述谷物粮食的按比例折算;第三章：“衰分”，主要讲述比例分配问题;第四章：“少广”，主要讲述已知面积、体积，反求其边长和径长的问题;第五章：”商功”，主要讲述土石工程、体积计算;第六章“：均输”，主要讲述合理摊派赋税;第七章：”盈不足”，即双设法，主要讲述“盈亏问题”;第八章：“方程”，主要讲述一次方程问题（这里的方程不是我们现在学的方程，古时候人们用算筹来布置方程，主要思想是加减消元法）;第九章：勾股，主要是对勾股数的研究。简单地说古人把生产生活中遇到的数学问题分为九类，解决每一类问题都要套用书中给出的公式，我们上面的解法就套用了“盈不足”里面的一个公式。那么这个公式究竟是什么意思呢？

师：初中数学里我们学习了一元一次方程、二元一次方程。方程的思想源于13世纪，意大利大数学家斐波那契提出的单设法、双设法。斐波那契的双设法就是盈不足术。中国的盈不足术是通过阿拉伯传到西方的，比西方的双设法整整早了1000多年。下面我们就用方程的思想来介绍一下盈不足术。我们先来看另外一个简单的问题

引例：x人出y元购物，每人出a钱则盈（多）m钱，每人出b钱则亏（少）n钱，问：每人出多少钱正好？（用a、b、m、n表示）

（学生兴趣十足，跃跃欲试）

生：可以列出方程组：

∴每人出钱

师：以上的公式就是古人推出的盈不足术公式（当然古人可不是用解方程的思想推出的），两鼠穿墙问题我们就可以看成一个盈不足问题，请同学们回答这里的a，m，b，n分别指什么？

生4：a指穿墙3天，m指多穿3.75米，b指穿墙2天，n指少穿0.5米，穿墙的天数为。

师：请同学们把穿墙天数求出来。

生5：x，y，x指两鼠的平均速度，y指距离，

这种推导的思想就是“盈不足术”的思想方法。在没有计算机的古代，“盈不足术”已是非常先进的算法工具，西方人甚至把它称为“黄金方法”。它避开了每天变化的速度，把含有变量的数学问题转化为常量的数学问题。

我们再用方程的思想求解两鼠穿墙问题就不再那么难了。设两鼠的平均速度x（变量转化为常量是解题的精华），穿墙的距离和为y，2天差0.5尺，3天多3.75尺，列方程组为，穿墙的天数为，

，

师：接下来我们很容易就能解决第二个问题了，两只老鼠分别穿墙几尺呢？

生6：大鼠穿墙：尺，小鼠穿墙：尺。

师：同学们，方程的求解经历了漫长的历史发展过程，我们的古人尽管在《九章算术》成书时代就掌握了负数概念、分数运算法则、以及移项的方法，但由于代数符号的缺失，方程的求解体系无法形成。直到韦达创立符号代数之后，方程的现代解法才变得可能。盈不足术和解方程组的思想虽然先进，但是会耗费我们大量的时间和人工，虽然已知公式，已知方法，但是计算过程非常繁杂，计算结果难免会出现这样那样的错误。

接下来我们就来学习“两鼠穿墙”问题的现代解法。（学习等比数列求和公式）

师：同学们，我们学习了等比数列的求和公式后，再来解决“两鼠穿墙”问题是不是更加方便了呢？

生7：n天穿墙距离为

师：同学们，这个方法又会给我们带来什么局限性呢？

生8：n是整数，不能够精确到几分之几天。

师：很好，我们能用我们所学的知识求出时，n的值吗？

生9：用零点存在性定理解决。

师：接下来我们就用零点存在性定理解决。

设

∴s（2）·s（3）<0∴存在x0∈（2，3）使得s（x0）=0

取

，使得时

依次类推，只要给出一个精确度，就可以求出：时x0的值。

师：利用数列求和公式解决就是一个非常简洁的数学问题，特别是求n的整数值。局限性仍然是计算量特别大的问题。

师：《九章算术》所创立的机械算法体系显示出比西方欧几里得几何学更高的水准。并将其扩展到其它领域，其算法体系至今仍推动计算机的发展与应用。特别是《九章算术》中的循环结构思想对无穷数的推衍和论证起到了至关重要的作用，也对计算机算法史影响深远。我们也可以利用计算机编程语言编写两鼠穿墙问题。

师：同学们：我们可以输入任一个T（表示墙的厚度），利用方法一的编程语言，计算机直接会得出精确的穿墙天数;我们也可以输入精确度m和初始值a，b，利用方法二的编程语言，计算机就会帮我们算出几乎精确（只要精确度够小）的穿墙天数。这大大减少了我们的计算过程，降低了人力物力成本。当然由于老师的水平有限，这两个程序不是最完美的，学过编程的同学可以去尝试编写一个更加简洁完美的程序语言来解决此类问题。

中国古代有很多跟数学相关的著作，例如《九章算术》、《周髀算经》、《数学九章》、《孙子算经》等，这都是有可能提取出高考数学试题素材的书籍。国外的书籍中，古希腊数学家欧几里得的《几何原本》也是可能的出题素材。另一方面，两鼠穿墙问题从古至今的解法就是一部活生生的数学发展史。這节课有助于学生了解数学文化、了解数学的发展史。

结束语

数学的发展历史是曲折的，数学文化的内涵不仅仅是它本身的知识，更重要的是它的历史进程，以及在历史进程中的重要地位。数学作为一门科学，它不是任何一个时代、任何一个民族的单独产物，而是若干个年代，许多个民族的共同产物。数学的每一次发展都是对之前理论体系的的提炼与升华，前人思考问题的方式给了我们解决新问题的灵感和方向。适当将数学的历史引入课堂，可以丰富学生的数学知识和学生的数学视野。5G的推广、人工智能的应用，航天事业的发展、宇宙的探秘等未来科技行业需要更多优秀的数学家参与其中，未来的社会将会更加发达，人类将涌现更多更优秀的数学家，我们的学生也将会是其中一员。

参考文献

[1]《九章算术》第七章“盈不足”