生活中的一次函数

吴娟

一次函数是刻画实际生活中变量关系的一个有效模型，许多生活中的实际问题都可以通过构造一次函数模型来解决.下面举例说明，以期帮助同学们学会用数学的眼光观察生活，用数学的思维思考生活，用数学的语言描述生活.

一、合脚购鞋问题

例1（2021·安徽）某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系. 若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为（ ）cm.

A. 23 cm B. 24 cm C. 25 cm D. 26 cm

分析：设[y=kx+b]，分别将（22，16）和（44，27）代入，求出一次函数解析式，将[x=38]代入即可求解.

解：∵鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，

∴设一次函数解析式为y = kx + b（k ≠ 0），

由题意知，当x = 22时，y = 16，当x = 44时，y = 27，∴[16=22k+b，27=44k+b，]解得[k=12 ，b=5，]

∴一次函数解析式为y[ =12]x + 5.当x = 38时，y[ =12 ×] 38 + 5 = 24（cm）.故应选B.

反思：本题告诉我们，鞋子的“码”数与鞋子的长度满足一次函数关系，这样我们在买鞋时就可以心中有数，购适合自己脚的鞋.

二、适时加油问题

例2（2021·浙江·丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地. 行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图1所示（中途休息、加油的时间不计）. 当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒. 设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程;（2）求s关于t的函数表达式;（3）当货车显示加油提醒后，行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？

分析：（1）根据图象可以直接得出结论;（2）根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式;（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶路程，根据函数解析式求出对应的t值，即可求得t的取值范围.

解：（1）由图象可知，当t = 0时，s = 880，则工厂离目的地的路程为880千米.

（2）设s=kt + b（k ≠ 0），

将（0，880）和（4，560）代入s = kt + b，得[880=b，560=4k+b，]解得[k=-80，b=880，]

则s关于t的函数表达式为s = -80t + 880（0 ≤ t ≤ 11）.

（3）当油箱中剩余油量为10升时，s = 880 - （60 - 10） ÷ 0.1 = 380（千米），

∴380 = -80t + 880，解得t [=254];

当油箱中剩余油量为0升时，s = 880 - 60 ÷ 0.1 = 280（千米），

∴280 = -80t + 880，解得t [=152];

∵k=-80<0，∴s随t的增大而减小，∴t的取值范围是[254 <] t [<152].

反思：本题用一次函数的增减性来确定加油的时间范围.生活中应注意行车需安全，加油要适时.

三、最佳带长问题

例3（2021·湖南·衡阳）图2是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成. 小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm. 经测量，得到右表中数据. （1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式;（2）按小文的身高和習惯，背带的长度调为130 cm时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度;（3）设背带长度为L cm，求L的取值范围.

分析：（1）设y与x的函数关系式为y = kx + b，代入表中数据求出待定系数k，b即可;（2）根据函数关系式和背带长度为130 cm，列二元一次方程组求解;（3）根据x和y都为非负数求出L的最大值和最小值，即可确定L的取值范围.

解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx + b，由题意知[148=2k+b，136=8k+b，]解得[k=-2，b=152.]

∴y与x的函数关系式为y = -2x + 152.

（2）根据题意知[x+y=130，y=-2x+152，]解得[x=22，y=108，]

∴此时双层部分的长度为22 cm.

（3）由题意知，当x = 0时，y = 152，当y = 0时，x = 76，∴76 ≤ L ≤ 152.

反思：适度的背带长度可以使我们背包时感到更舒服，要达到最好的效果，可让一次函数来帮忙.

（作者单位：江苏省兴化市安丰初级中学）