正确理解相对论中的时间膨胀公式及其适用条件——对常文利主编《大学物理教程》中一道易错题的反思

王瑞珍

(西安汽车职业大学理学院 陕西 西安 710600)

蔡志东

(镇江高等专科学校丹阳师范学院 江苏 镇江 212310)

1904年，狭义相对论诞生“前夜”，荷兰莱顿大学的物理学家亨德里克·安东·洛伦兹(1853-1928)为了解释迈克尔孙-莫雷实验(1887年)的“零结果”(即测不到地球相对于“以太”参考系的运动速度)，提出了洛伦兹收缩的概念(物体沿运动方向会发生实质性收缩)以及相应的时空变换公式——洛伦兹变换，该变换式是狭义相对论的基础.

与洛伦兹为了解释实验现象而拼凑公式不同，爱因斯坦根据两条基本原理(狭义相对性原理和光速不变原理)建立了系统的相对论[1].其运动学部分主要包括洛伦兹变换公式以及它的一系列重要推论，如“尺缩钟慢”效应等.但是，初次接触相对论的学生，由于理解不深，往往只会乱套公式，而不会根据实际情况灵活应用.

为了解决这一教学困境，笔者以一道易错题为例，剖析了学生错解的原因，阐明了固有时和坐标时的区别以及“时间膨胀”公式的适用条件，指出了“相对速度”的两种不同理解以及它对时间计算的影响，希望能给其他高校物理教师一些启示，以提高大学物理的教学质量.

1 一道简单的相对论习题及其错误解答

原题摘自文献[2]，为便于分析讨论，现将题目叙述如下.

【原题】固有长度为L的火箭，相对地面竖直向上做速度为v1的匀速直线运动，火箭后端发射了一相对火箭速度为v2的子弹，方向指向火箭前端.问在地上测得子弹从射出到击中火箭前端靶子的时间间隔[2].

学生错解:火箭为S′系

地面为S系

(1)

评注:学生的这个解答过程主要是依据狭义相对论的一个结论，即时间膨胀公式

该式中的Δt为(地面静止惯性系中的观察者测出的)坐标时，Δτ为(相对于地面做匀速直线运动的惯性系中的观察者测出的)固有时.但是，不少学生并不知道这个公式的适用条件，只是机械地乱套公式，从而得出了这个错误结论.为了从源头上分析其错误的原因，我们要先从洛伦兹变换讲起.

2 洛伦兹变换及其适用条件

设有一个质点(或某种波的波阵面上的一个点)，它在静止惯性系S中的时空坐标为(x,y,z,t)，在(相对于S做速度为v的匀速直线运动的惯性系)S′中的四维时空坐标为(x′,y′,z′,t′)，则根据狭义相对论的两条基本原理可得洛伦兹变换式(2).两边同取Δ(也可取微分d)，可得爱因斯坦-洛伦兹变换式(3).把速度v→-v,带撇和不带撇的4个坐标交换位置，可得洛伦兹逆变换和爱因斯坦-洛伦兹逆变换.洛伦兹变换式(2)表明了同一个质点在两个惯性系中的时空坐标关系，而爱因斯坦-洛伦兹变换式(3)表明了两个事件之间(或一个运动质点所经历)的时间间隔和空间间隔之间的关系[3].在实际应用中，式(3)更为常用.

(2)

(3)

3 爱因斯坦-洛伦兹变换的推论

3.1 “尺缩钟慢”效应

3.1.1 时间膨胀——钟慢公式

式(3)中的最后一式即

其逆变换为

(4)

此式中的Δt,Δt′分别为S,S′系中的观察者测出的坐标时间，它表示一个物体沿着x(x′)轴从A点运动到B点所经历的时间间隔，由于(异地)同时的相对性以及运动对物质属性的影响等原因，导致测出的结果一般是不同的.无论物体相对于S′系是运动还是静止，式(4)都适用.Δx′为S′系中测出的物体的运动距离.

如果一个物体相对于S′系(或固定于S′系中的原点O′的一只钟)是静止的，那么，它所经历的时间就叫做固有时，通常用Δτ来表示.简单一点，一只钟与物体相对静止，这个钟所测出的该物体所经历的时间叫做固有时，一只钟与物体相对运动，这个钟所测出的该物体所经历的时间叫做坐标时.固有时是真实的、客观的，它在任何惯性系中都相同(是一个洛伦兹不变量).而坐标时，因为物体和钟(或观察者)相对运动，它是可变的，与相对速度有关.

根据固有时的定义可知，如果在式(3)中令Δx′=0(物体固定于S′系中的一点)，则此时测出的Δt′即为固有时(等于Δτ)，于是有

(5)

式(5)即为时间膨胀——钟慢公式.时间膨胀是针对S系中的钟而言的，因为在S系中的观察者看来，他的钟所测出的时间比S′系中的钟所测出的时间要长，时间似乎膨胀了.钟慢是针对S′中的钟而言的，因为该钟计时比S系中的钟少，所以它似乎走慢了(钟走得慢，计时才会少).再强调一遍，式(5)成立的前提条件是物体相对于S′系静止.

3.1.2 “尺缩”公式

Δt=0 Δx′=L0ΔX=L

可得动长L和静长L0之间的关系式

或

(6)

因为L

3.2 速度变换公式

根据速度的定义可知

u′=(u′x,u′y,u′z)

u=(ux,uy,uz)

分别为S′系和S系中的观察者测出的同一物体的速度.根据式(3)和速度的定义，立即可得相对论速度变换公式[4]

(7)

除了“尺缩钟慢”和速度变换公式之外，还有加速度变换公式等，这里暂且不谈.

4 一道简单的相对论习题的正确解答

4.1 对“相对速度”的第一种理解及第一个正确答案

原题中说，子弹相对于火箭的速度为v2，但是题目中没有讲清楚，这个“相对速度”究竟是火箭惯性系S′中的观察者测出的还是地面惯性系S中的观察者侧出的？现在我们假定是第一种情况，即相对速度v2是火箭惯性系S′中的观察者测出的，此时，显然有

其中的Δx′=L为子弹从火箭尾部到前端运动的距离即火箭的固有长度.

代入式(4)并注意v=v1得

(8)

4.2 对“相对速度”的第二种理解及第二个正确答案

如果子弹相对于火箭的速度v2不是火箭上的观察者测出的(由于火箭是密闭的，它里面的观察者实际上很难测出火箭外面子弹的速度)而是地面观察者测出的(他是很容易测出的)，那么，此时地面观察者测出的火箭的长度是运动长度

子弹从火箭尾部运动到前端的时间为

(9)

式(8)、(9)两个答案都是正确的，因为相对速度有两种不同的理解，所以有两个答案.

笔者要提醒大家注意的是，原题中“固长”(固有长度)用L来表示是非常不恰当的，几乎所有的权威相对论专著中，L都表示运动长度而非静长或固长(用L0表示固长)，原题中的做法极易使人混淆概念.

5 原题中存在的问题及出题时应注意的事项

首先，该题目完全脱离实际.在火箭的尾部搞一个子弹发射装置，前端搞一个靶子，只有傻瓜才会这样做.为了减少阻力，火箭的外部最前面是圆锥形，后面是是圆柱形，而且表面比较光滑，在火箭的前端搞一个子弹的靶子，是比较荒唐的行为.

其次，出题者基本是胡编乱造.一般而言，子弹的速度没有火箭的速度快，子弹是追不上火箭的，当然，如果你在火箭的尾部搞一个发射装置，那子弹总是可以跑得比火箭快的，问题在于，在火箭上升过程中，它是做加速运动，此时不能作为惯性系看待.退一万步，即使在某一段时间内，火箭可以近似看做匀速运动，但是子弹做竖直上抛运动，绝对不能作为匀速运动(任何一个高中生都知道)，你把子弹实际的减速运动看做匀速运动，所导致的时间计算上的误差，将远远大于相对论效应，这个题目将变得毫无意义.

第三，题意不清.题目中，子弹相对于火箭的速度v2究竟是火箭惯性系S′中的观察者测出的，还是地面惯性系S中的观察者测出的？没有明确指出，这是一个致命的问题.

在多数相对论专著中，一般是选地面惯性系为S系，相对于地面做匀速运动的火车惯性系为S′系，也可选择远离天体的两个匀速运动的飞船来讨论，其中一个飞船甲可以看做S系，另一个相对于它做匀速运动的飞船乙为S′系，这样讨论问题比较合理.题目中要明确指出，火车(或飞船乙)中的观察者测得车内(或飞船乙内部)物体相对于它的速度为u′，然后问S′系和S系中的观察者测得运动时间分别是多少； 切不可脱离实际，胡编乱造.

6 主要结论

(1) 时间膨胀或钟慢效应是相对论的一个重要结论，但是，要注意公式(5)的适用条件，只有物体相对于S′系静止时才可以用，如果物体相对于S′系是运动的，则必须用一般的逆变换式(4).

(2)出题时务必注意其合理性，不能完全脱离实际胡编乱造，即使是想象，也要有一定的合理性.

(3)题意一定要清楚，不能似是而非，模棱两可.尤其是相对速度，一定要讲明是哪个惯性系中的观察者测出的，否则，初学者无从下手.

(4)不要眉毛胡子一把抓，要分析学生犯错的直接原因而非间接原因:子弹从发出到击中靶子，这两个事件原本就不同时，而击中靶子是一个客观事实，在两个惯性系中是一致的，子弹运动时间上的差异与“同时的相对性”并无直接关系，主要是S′系中的钟走得较慢导致的.