用数学思想探究有理数的奥妙

文／张卫明（特级教师）

有理数是同学们在小学所学数系的扩充。这一章概念较多，知识点较细碎。怎样才能轻松学好“有理数”呢？本文从以下三个方面解读有理数这一章所蕴含的思想方法，以帮助同学们感悟有理数的奥妙。

一、用分类讨论的思想思考问题

分类讨论思想是初中数学最常用的一种数学思想方法，即当某个问题有多重情况出现或结果不能唯一确定时，根据题目的要求，按不同情况分类，逐一研究解决再加以集中归纳的数学思想。掌握分类讨论思想，可以帮助同学们加深理解知识的本质，对提高数学思维的严谨性具有非常重要的作用。

有理数按数的正负性可分为：正有理数、0 和负有理数。一个数的绝对值的求解隐藏着分类讨论思想：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。计算两个有理数的加法或乘法时，也分为同号两数、异号两数以及两数中有一个是0 这三种情况。同学们可以根据具体问题的条件，对各种情况分类讨论，从而使复杂问题简单化。

例如，若ab≠0，求的值。因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，但a、b的正负性未知，所以我们要对a，b进行分类讨论：当a＞0，b＞0 时；当a＞0，b＜0 时；当a＜0，b＞0 时；当a＜0，b＜0时。

应用分类讨论思想必须遵循两个规则：1.每一次分类要按照同一标准进行；2.分类时要不重不漏。

二、用数形结合思想分析问题

数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来解决数学问题的一种数学思想，即代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，也可以使几何问题代数化。数形结合主要有三种类型：“以数化形”“以形得数”和“数形结合”。通过“数”与“形”之间的转化来解决数学问题，使得抽象问题具体化、形象化，从而可以优化解题过程。

数轴上的点与有理数、无理数建立了一一对应的关系，它揭示了数与形的内在联系，是最简单的数形结合思想的体现。有理数的绝对值可以借助数轴上表示这个数的点与原点的距离来得到。“符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数”这个概念的理解较为抽象，如果我们在数轴上画出5 和-5 所对应的两个点，观察它们的位置特征，可以很形象地认识到，互为相反数的两个点分别位于原点的两侧，并且它们到原点的距离相等。用数轴这个“形”，还可以很好地帮助我们掌握有理数大小的比较、有理数的加减法运算等有关“数”的知识。

例如，已知点A在数轴上表示的数是2，将点A先向右移动4 个单位长度，再向左移动5 个单位长度，则移动后的点A表示的数是多少？我们用数形结合，通过数轴（图1），可以很清晰地看出，移动后点A表示的数是1。

图1

“数无形，少直观；形无数，难入微”，利用数形结合，可以化难为易、化繁为简，利于同学们的直观理解，从而提高知识迁移能力。

三、用转化思想解决问题

转化思想也称化归思想，就是在已有的、简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。具体来说，就是将“新知识”向“旧知识”转化，将“未知”向“已知”转化，将“复杂”向“简单”转化。数学转化思想是解决新问题、学习新知识的重要思想方法。

有理数的减法运算就是利用“相反数”这个已学概念转化为加法来运算，得到减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数的加减法通过这一转化就得到了统一。有理数的除法是利用“倒数”转化为乘法运算，得到除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数。通过这一转化，有理数的乘除也得到了统一。

转化思想是解决数学问题的最基本的数学思想方法，通过对未知问题的分析，将其转化为已有知识范围内可解决的问题，从而达到“思路清晰化，方法简单化”。

总之，分类讨论、数形结合、转化是数学中的重要思想方法，相信同学们只要在“有理数”一章的学习中细心体会，灵活运用，定会达到事半功倍的效果。