一种基于蒙特卡洛模拟的航空公司机票超售数量确定方法

王航臣 曹宇露 赵 迪

(1. 中国南方航空股份有限公司北京分公司 运行指挥部, 北京 102600；2. 湖南电子科技职业学院电商教研室，长沙 410217；3. 河北省城市客运管理局，石家庄 050000)

0 引言

机票的超售是国内外航空公司普遍采用的一种收益管理的方法。这种方法对于解决乘客退票，航司短时间内无法售出被退机票这一问题较为有效，可以避免座位的虚耗，提升上座率。但在通过超售机票提升收益的同时，也可能使得乘客到达机场后无法办理登机，航空公司由于未尽运输合同约定的义务，构成违约，也需要承担相应的赔偿。所以，如何根据实际情况，快速、准确地给出最优超售的数额，是十分有意义的。

关于机票的超售问题，国内外的研究相对较少。2019年，高金敏等提出了一种两阶段的计算方法，分别从确定性模型和随机模型2个角度计算了不同票价条件下的机票定价与舱位控制方法。2017年，ZHAO Xuan等研究双头垄断的联合定价和容量分配决策问题，研究了需求不确定情况下折扣商品与常规价格易腐商品的销售，航空业舱位控制与机票销售问题与之类似，都具有一定的不可储存性。2016年，高金敏等从订票和退票两个角度进行考虑，通过离散时间的方法，界定订票与退票的时间窗，及其在时间窗内定价与舱位控制策略。周蔷等从拆分航线网络的角度对机票超售的问题展开研究，由于以往的研究中一般通过单航段、单期航班来确定最佳的座位超售数，而这篇文章创新地将航线网络拆分为多航段，根据网络上的客流特点，对单航段和多航段进行组合，从而制定最优的超售策略。2014年，周蔷等建立了一种动态的超售模型，通过实际数据不断修正参数从而达到收益最大的目标。2013年，C. Cizaire等指出虽然在以往的研究中舱位控制问题与机票定价问题是分开研究的，但两者是一个系统，相互的关联性较强，所以本文提出了一种模拟定价和票价等级座位分配对实际旅客需求的综合影响的方法，目的是同时求解最优票价和票价等级订票限额。2010年，M. Bazargun等总结了座位超售的基本模型与方法，并指出机票座位超售可视为运筹学中“报童问题”的变种。2009年，CHEN Shaoxiang等首先将票价分级，然后探讨了3种类型的机票预订请求。2005年，CHEN Shaoxiang等详细推导了动态最优预定策略，通过动态定价与飞机座舱数控制实现航空公司的收益管理。

针对上述文献存在的不足，本文的创新点如下：

1)细化了目标函数中的成本，探讨了不同赔付额度下航空公司的超售策略；

2)以往经典模型确定座位超售的数量时，有时会出现过大的情况，且没有考虑客座率对航空公司超售的影响。本文考虑了客座率变化对机票超售策略的影响，并使用蒙特卡洛模拟仿真了这一过程。

3)不同的航线运行特点不同。本文区分了国际航线、高高原航线和普通国内航线3种，分别探讨了3种航线的运行特点及其座位的超售策略。

1 机票超售模型及超售的影响因素

1.1 变量与参数的约定

在建立机票的超售模型之前，先对参数进行约定，见表1所示。

表1 机票超售模型参数表

1.2 数学模型的建立

(1)目标函数

对于航空公司来说，座位超售的成本主要由两部分组成。第一部分是由于超售带来的补偿费用，即如果由于超售造成乘客的误机，则会产生

C

×

P

(

n

≤

T

)的成本。另一份是由于超售座位不足，出现空座带来的虚耗成本，用

C

×

P

(

n

>

T

)表示。航空公司的每个航班的净利润，主要由超售的数量

T

，机型

a

的座位数

s

，乘客预订机票后出现在航班上的可能性

P

，每个座位获得的收入

P

决定。所以可将目标函数设定为航空公司的收益最大，见式(1)所示。

(2)约束条件

在超售座位的数量方面，文献[5]给出了较为详细的过程。想要保证利润，需要超售的座位数量达到一个最优值，此时应有：

C

P

(

n

≤

T

)=

C

P

(

n

>

T

)

(2)

式中：

P

(

n

<

T

)+

P

(

n

>

T

)=1

所以，可将式(2)变换为式(3)的形式。

C

P

(

n

≤

T

)=

C

[1-

P

(

n

≤

T

)]

(3)

经过进一步地变化，可得式(4)。这样可以根据式(4)计算出的数值和误机乘客服从的分布，查误机旅客数量。

(4)

这里主要存在两个问题，一是文献[5]给出的这一过程只能确定出一个较为粗略的超售数，而且根据笔者的经验，其给出的值偏大，所以本文以文献[5]得出的值为超售数额的上限。故可得到超售数额约束，如式(5)所示。

(5)

式中：

f

(

x

)表示根据累积分布

x

求取分布函数的反函数。

二是很多概率分布求反函数是非常困难的，所以可以使用蒙特卡洛模拟法来进行计算机仿真。

此外，还需要保证超售的数额小于座舱座位数，可表达为：

T

<

s

(6)

按照航空公司的惯例，超售数额一般控制在3

%

～5

%

。所以结合式(5)，可表达为：

(7)

另外，超售的座位数量需要满足非负与整数约束，成本需要满足非负约束：

n

,

T

,

s

∈

Z

(8)

C

≥0

(9)

2 基于模特卡洛方法的机票超售净收入仿真

机票超售过程中，主要包括两个需要仿真的随机过程，一是乘客预定机票后是否出现在航班上(

Show

-

up

)的过程，二是航班预定的随机过程。

(10)

式中：如果0-1变量

δ

的取值为1，表明乘客预定座位后出现在了航班上；如果

δ

的取值为0，表明乘客预定座位后出现了退票、改签等行为。其次，要模拟航班预订的随机过程，并返回出现的旅客数量。其基本思想是，约定一个

i

用于循环计数，共循环

s

次，每一次都根据式(10)模拟了预订后出现在航班上的客户的随机过程。若变量

δ

的取值为1，则

T

=

T

+1，即购买机票并乘机的旅客人数增加一个，具体的算法流程见图1所示。

图1 航班预订的随机过程流程图

3 结果分析

3.1 不同超售座位数下航空公司的收益

3.1.1 国际航线

以中国南方航空北京分公司为例，2020年6月18日，南航北京使用空客A380执飞新开的北京大兴国际机场至伦敦希思罗机场航线。由于本节主要探讨超售座位数变化对收益的影响，所以其他变量的固定取值情况如下所示：

机票拟售价

P

=4 979元，这是该航线的基本售价，假设机票的售价固定不变；A380-800的座舱数

S

个，飞机的座舱数是飞机交付时就已固定的数值，所以这是一个常量。经过市场的调研分析，乘客预订机票后出现在航班上的可能性

P

=0.90左右，本节假设投运后航空运输市场稳定，

P

不会出现大幅度变化。

P

出现大幅波动的分析见3.3。由于《公共航空运输航班超售处置规范》并未对超售致使乘客不能登机的赔偿做出明确规定，所以本节假设

C

=2

P

,

C

=0.5

P

。

假设误机旅客服从正态分布，且平均值为20，标准差为10。由此可以推得：

T

≤max{13,28}=28

根据以上模型和参数取值，可以模拟不同数量的超额预订的过程，以确定最佳的超额预订量。由于这是一个随机过程，因此进行了1 000次模拟，以模拟1 000次航班，因此我们可以计算出每笔超额预订的平均净收入，并衡量航班之间的差异。

由图2可得，在使用大机型飞国际航线时，在不超售机票时，期望获得的收益最小，而越接近超售数额的约束值，获得的收益就越大，当超售的机票数在25～28张时增长趋于平缓。这是因为执飞国际航线的机型都相对较大，可用座位数较多，乘客误机概率的细小变化就会出现较多可用座位数的变化。

图2 国际航线机票超售仿真

3.1.2 高高原航线

正如前文中所述，高高原机场海拔超过8 000

ft

，空气稀薄，飞机常常不能满载运行。由于

A

319推重比大，适合高高原航线的运行，所以国内运营高高原航线的机队，主要是

A

319。以南航执飞的重庆江北机场至拉萨贡嘎机场为例，由于本节主要探讨超售座位数变化对收益的影响，所以其他变量的固定取值情况如下所示：

机票拟售价P=980元，这是这一航线的基本售价，假设机票的售价固定不会发生变动；

假设最大起飞重量允许

A

319的座舱数S319=124个。

经过市场的调研分析，乘客预订机票后出现在航班上的可能性P=0.70左右，本节假设投运后航空运输市场稳定，P不会出现大幅度变化。P出现大幅波动的分析见3.1.3。

由于《公共航空运输航班超售处置规范》并未对超售致使乘客不能登机的赔偿做出明确规定，所以本节假设

C

=2

P

,

C

=0.5

P

假设误机旅客服从正态分布，且平均值为10，标准差为5。由此可以推得：

T

≤max{7,6}=7

根据以上模型和参数取值，可以模拟不同数量的超额预订的过程，以确定最佳的超额预订量。与上面的情况一样，也进行了1 000次模拟，以模拟1 000次航班，因此我们可以计算出每笔超额预订的平均净收入，并衡量航班之间的差异。

由图3可知，从中位线的变化来看，不超售时净收入最低，而超售7张时期望净收入最高，整体的收入存在波动，但整体上随超售数额的增加而增加。从箱型图的分布来看，当超售3张机票时，净收入的分布较为集中。超售6张机票时，净收入的分布较为分散。在进行超售数量的决策时，可以考虑超售5～7张机票。

图3 高高原航线机票超售仿真

3.1.3 普通国内航线

本节界定普通国内航线为2小时航程圈能抵达的城市，以南航北京分公司执飞的北京大兴国际机场至上海虹桥国际机场的CZ8887为例。该条航线使用的机型是空客A321。变量的固定取值情况如下所示：

机票拟售价

P

=350元(2020年6月19日定价)；A321的座舱数

S

=179个；经过市场的调研分析，乘客预订机票后出现在航班上的可能性

P

=0.973左右，本节假设投运后航空运输市场稳定，

P

不会出现大幅度变化。由于《公共航空运输航班超售处置规范》并未对超售致使乘客不能登机的赔偿做出明确规定，所以本节假设

C

=2

P

,

C

=0.5

P

。

假设误机旅客服从正态分布，且平均值为10，标准差为5。由此可以推得：

T

≤max{7,9}=9

根据以上模型和参数取值，可以模拟不同数量的超额预订的过程，以确定最佳的超额预订量。与上面的情况一样，也进行了1 000次模拟，因此我们可以计算出每笔超额预订的平均净收入，并衡量航班之间的差异。

由图4可知，从箱图的中位数来看，超售数量0张～6张，净收入逐渐增多。在3张～6张时，净收入逐渐放缓。超售数在7张～9张时，净收入开始下降。从箱图的分布来看，虽然超售数额在4张～6张时中位数相近，但是超售3、5或6张机票时，净收入的分布较为分散，净收入降低的期望更大，所以可以考虑超售4张机票。

图4 普通国内航线机票超售仿真

3.2 不同赔付额度下的最优超售策略

以3.1.3中的情况为基础，调整赔付额度，令C∈[0.5P,3P]，仿真步长取0.5P。为了方便比较，统一取T=15。计算出的对比结果如图5所示。

图5 不同赔付额度对机票超售的影响

由图5可知，在超售机票的数量较小时，各种赔付方式的收益中位数差异较小，而随着超售数额的增加，各种赔付额度产生的影响才开始逐渐显现，3倍赔付比起原价赔付，利润的中位数少了6 475元。从各种赔付额度的变化趋势来看，赔付额度较小时，超售对收入的影响较小，而随着赔付额度的增加，超售带来的影响越来越明显，这说明在赔付额度较高的情况下，如为乘客安排改签、交通和住宿费用较高的情况下，更需要确定一个合适的超售数额。

3.3 客座率对航司超售的影响

接着以3.1.3为例，研究不同P对超售策略的影响。为了仿真航空业淡季和旺季对超售的影响，令P∈[0.8,1]，仿真步长取0.05。

由图6可得，在顾客一定会出现的情况下(P=1)，超售的机票数越多，净利润越低；而随着顾客出现概率的降低，净利润的中位数越低，此时超售的机票数越多，净利润越大。值得注意的是，在P=0.95时，出现了净利润中位数随着超售数量先增大后减小的趋势，所以有必要探讨在P=0.95附近，超售数与利润的变化关系，在P=0.95附近进一步细化仿真步长，以0.25为一个步长，可得结果如下图7所示。

图6 客座率对机票超售的影响

图7 高客座率时机票超售仿真

由图7可得，机票的超售中，是有一个较为敏感的区间的，在这个区间里，随着超售票数的增多，利润呈现先增大后减小的趋势，且旅客出现的概率越高，净收入曲线“拐点”出现的就越早。所以，航空公司要通过平常积累的历史数据，对各月乘客上座率有一个统计区间，这对于确定最优的机票超售数量，是非常有利的。

4 结论

通过蒙特卡洛模拟的方法，建立了乘客预订机票与飞机超售机票的随机过程，分别仿真了不同超售座位数下航空公司的收益、不同赔付额度下的最优超售策略和旅客退票概率对航司超售的影响，给出了一种基于计算机仿真的最优超售数量的确定方法，并且得到的结论如下：

1)航空公司要善于利用历史统计数据，各个航线的历史客座率对于机票超售数量的确定有着直接关系。历史客座率越高的航线，应尽可能地少超售机票；

2)使用重机型执飞国际航线时，如果历史客座率低于90

%

，超售的机票数量应尽可能地向航空公司允许的最大超售数量靠近；

3)高高原航线由于常常对飞机的最大起飞重量有限制，客舱时常难以满载，所以可以考虑超售的机票数量应尽可能地向航空公司允许的最大超售数量靠近；

4)不同赔付额度对超售策略的影响很大，航空公司应该详细评估当地由于超售导致旅客延误所带来的成本，因地制宜，根据当地的实际消费水平确定赔付额度后再确定超售的机票数；

5)旅客退票概率对超售策略的影响很大，航空公司应根据历史各月份的客座率与退票数据，确定机票的超售数量。