由“烙饼”问题引发的思考

高彩云

中图分类号：A  文献标识码：A  文章编号：（2021）-29-328

“烙饼”问题是人教版教材四年级上册“数学广角”的教学内容，教材中的主题图只有三段对白，也就提供了三个条件：1.每次最多烙两张饼，正面和反面都要烙，烙熟每面费时3分钟;2.父母和女儿三人，每人一张饼;3.如何在最短的时间内烙熟所有饼。

教材设计这种形式的素材无非就是要传导基本活动经验，让学生从生活实际出发优化行动方案;但除了传导基本活动经验，优化行动方案外，是否能让学生获得更长足的发展呢？现参照本校教师执教“烙饼问题”的交流课谈一些浅见。

一、教学中带来的疑惑

执教老师对教材做了适当改编，并在课前指示学生自制学具，用硬币充当烙饼，给硬币编号：饼1、饼2、饼3。其中硬币字面视为正面，花纹面视为背面;用圆形的硬纸充当平底锅。将全班学生分为6个探究小组，导入问题情境之后呈现第一个问题：一次只能烙两张饼，每张饼都要分别烙两面，烙熟饼的一面耗时3分钟，那么彻底烙熟一张饼需要花费多长时间？要求学生仔细审题并回答：解决这个问题时，你已经知道什么？需要弄清什么？生1：“我已知三个条件：1.一个锅里一次最多放置两张饼;2.每张饼两面都要分开烙才能熟透;3.烙熟饼的一面费时3分钟。需要弄清的问题是：彻底烙熟一张饼需要花费长时间？”师：“你们觉得这位同学说得有理吗？有无异议？”全体学生：“有理。完全同意，无异议。”师：“老师也赞同，我们为他鼓掌。”接着，教师让学生动手操作来验证这个问题，然后抛出第二个问题：每回只能烙两张饼，每张饼的正反面要分别烙，烙熟一面用时3分钟，问烙熟两张饼需要多久？师：“请你们仔细对比前后两个问题，有什么异样？”生2：“已知条件完全相同，问题有区别，第二次是烙两张饼。”教师表扬生2，再次让学生动手操作实践，小组合作探究，然后汇报展示。结果6个小组得到的答案都是“6分钟”。师：“我有两种烙饼的方法，方法A：先烙熟第一张饼的正面，再烙熟它的反面;然后烙熟第二张饼的正面;最后烙熟第二张饼的背面。方法B：先烙熟第一张饼的正面，然后烙熟第二张饼的正面，再同时一次性烙熟两张饼的背面。你们觉得以上两种方案合理吗？分别需要花费多长时间？跟你们策划的方法相比，谁更好？为什么？”生3：“这两种方法都可行，分别耗时12分钟和9分钟。”生4：“我们小组策划的操作方案更好，更省时。”师：“你们都很有主见，那么怎么做才省时？省时有什么好处？”生5：“我们每次烙饼时平底锅的锅底都充分利用了，挤满了两张饼;而之前采用的方法烙饼锅底仍有空闲空间，这样效率降低。”生6：“省时当然好，可以提前吃到饼;节省下来的时间，可以做别的事，还可以节省燃煤燃气。”

二、用表格数据总结浅显的规律

教师呈现第三个问题：每次只能烙两张饼，每张饼的正反面分别烙熟，烙熟一面耗时3分钟，如果要烙熟三张饼，共需花费几分钟？教师让学生先独立思考，大胆猜想，然后动手验证，交流学习，并把烙饼方法形成文字材料，最后指派学生代表演示烙饼方法。第1、3、4、6组：花费12分钟。开始同时烙饼1、2的正面，待正面烙熟后，再烙饼1、2的反面，然后分两次烙熟饼3的正反面。第2、5组：花费9分钟。先烙熟饼1、2的正面，然后同时烙熟饼1的反面和饼3的正面，最后烙熟饼2、3的反面。师：“通过对比可以发现，第2、5组的烙饼方法更精妙，请这两组的同学陈述一下设计思路。”生：“我们组开始也采用常规方法，但是發现烙饼3时，锅底有闲置空间;后来反复琢磨发现：如果第二次撤下一张饼的反面，代之以饼3的正面，那么最后就可以同时烙两张饼的反面。”师：“言之有理，看来烙饼时我们应该统筹考虑、合理规划，尽量每次都是烙两张饼，有效利用锅底空间。”至此本课的教学难点已经突破，教材中的问题得以解决。教师还设计了表格数据以揭示规律。

教师指导学生分析饼的数量与烙制时间的对应关系：当饼的数量多于1张时，最少时间=饼的数量×烙饼一面所需的时间。

听到这里，笔者心里打鼓，这个规律有必要归纳出来吗？这个规律不具有普遍性，如果每次烙饼的条件都是“一次只能烙两张饼”，那肯定适用，但是限制条件一旦有变，又该怎么办？

三、延伸拓展，寻求通用性公式

可以说执教老师已经成功地完成教学，她合理地加工改编了课本素材，让学生深入理解烙饼问题的意思，然后通过提取主干，使学生能自觉思索、主动操作、归纳总结。倘若把限制条件“一次只能烙两张饼”改成“一次能烙3张（或者更多张）饼”，最短用时又是多少呢？此时，前面总结出的规律早已失效，如果再次进行拓展研究，二次实践验证，时间不够，也超出了学生的接受能力。那么能否在“一次只能烙两张饼”的限制下，总结出更普遍的规律呢？

四、思维升华，建立一般模型

经过深思熟虑，笔者发现可以定性地得出更一般的规律。在限制条件是“一次只能烙两张饼”时已经得出：当每次烙饼时煎锅里随时保持两张饼的任务量，所费时间最短。此时可以引发三问：（1）所有烙饼需要烙制的总面数是多少？学生会很快得出结果：饼的张数×2。（2）为了提高效率，每次保证锅底有两张饼，需要烙几次？这也很容易求解：总面数÷每回能烙的面数。（3）烙完所有饼面需要多久？也很容易算出结果：烙的总次数×烙熟一面所需时间。这个时间即是最优化的时间。回答完这三个问题，就大致可以建立起烙饼所需时间模型：（1）需烙的面数=饼数×2;（2）需烙饼的次数=需烙饼的面数÷每次能烙的面数（有余数则采用“进一法”取近似值）;（3）最少时间=需烙的总次数×烙一面饼需花费的时间（模型适用的条件是：煎锅一次性放不下所有烙饼，煎锅一次性能放下所有烙饼，一律烙两次）。这个模型不但适用于一次只能烙两张饼的限制条件，对于“一次能烙3张（或者更多张）饼”的限制条件一样适用。模型中的第二步计算会出现余数，一旦有余数就要采用“进一法”核算，这样这个模型就具有普适性。只要这个模型建立起来，且只是求算最短时间，还是很好掌握的。

最后，笔者还发现，这个模型还能反推烙制流程，结论是：在模型中的第二步计算，算出总次数=总面数÷每次同时烙的面数，（1）当这个结果没有余数，且是偶数时，就一正一反一直烙到最后所有反面;如果是奇数，则必须在倒数第二次烙制上一批所有反面时撤换面饼;（2）当这个次数有余数，商是偶数时，必须在倒数第二次时调换正反面下锅次序;若商是奇数，则按照先正后反的顺序逐步烙完。对于这些在此就不一一展开讲解了。